浙江省2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期3月四校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線與直線互相垂直，則m為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的一般式的結(jié)論即可得出答案.【詳解】兩直線垂直，則有，即，解得.故選：C2.已知是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)，則公比，所以，則，所以，所以為遞增數(shù)列，若，此時(shí)數(shù)列遞增數(shù)列，而，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：B3.已知直線與圓相切于點(diǎn)，圓心在直線上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓心的坐標(biāo)，利用求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑，得解.【詳解】由題意，設(shè)（），圓的半徑為，，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程為.故選：D.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且成等差數(shù)列，則為（）A.244 B.243 C.242 D.241【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】由題意可知，且，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，得，.故選：A5.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，過的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的定義得到，再由等腰三角形的性質(zhì)得到，最后由二倍角的余弦公式得到離心率.【詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，又，所以，故選：B.6.已知正三棱臺(tái)的上?下底面的邊長分別為2和4，且棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角為，則此三棱臺(tái)的表面積為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得棱臺(tái)的斜高，進(jìn)而計(jì)算出三棱臺(tái)的表面積.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，設(shè)分別是正三角形和正三角形的中心，則，且，由于平面平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是棱臺(tái)的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，所以，過作，垂足為，則，所以，所以三棱臺(tái)的表面積為.故選：C7.已知曲線存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線斜率，∴切線方程為，∵切線過原點(diǎn)，∴，整理得：∵存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，∴，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，因?yàn)?，所以故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，，，.故選：BC.10.已知圓，，則（）A.在圓上存在點(diǎn)，使得B.在圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為C.在圓上存在點(diǎn)．使得D.在圓上存在點(diǎn)，使得【答案】AB【解析】【分析】求出判斷A；根據(jù)到直線的距離判斷B；轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系判斷C；求出垂直平分線與圓的交點(diǎn)判斷D.【詳解】由可得，圓心，半徑，對(duì)于A.，因?yàn)?，所以，，所以在圓上存在點(diǎn)，使得，正確；對(duì)于B，的方程為，即，到的距離為，到直線的距離，而，所以在圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離為，正確；對(duì)于C，以為直徑端點(diǎn)的圓，圓心，半徑，，兩圓外離，兩圓沒有交點(diǎn)，所以在圓上不存在點(diǎn)．使得，錯(cuò)誤；對(duì)于D，垂直平分線方程為，直線與圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，但是若為，時(shí)，，所以在圓上不存在點(diǎn)，使得，錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.異面直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的外接球的表面積為11πD.若點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M到直線的距離為，則點(diǎn)M的軌跡為一個(gè)橢圓的一部分【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用點(diǎn)到平面的距離公式處理即可，對(duì)于B，利用線線角的向量求法處理即可，對(duì)于C，利用球的方程解出半徑再求面積即可，對(duì)于D，利用圓柱與平面的截面即可判斷.【詳解】對(duì)于A：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)面的法向量，點(diǎn)到平面的距離為，則，，令，解得，，故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，故A正確，對(duì)于B：易知，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C:設(shè)三棱錐的外接球的方程為，將代入球的方程，可得，利用加減消元法可得，解得，代入方程中可得，解得，，故表面積為，故C正確，對(duì)于D：因?yàn)榈街本€的距離為，故的軌跡是以為對(duì)稱軸的圓柱，而又在底面上，底面與對(duì)稱軸不垂直，故在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：空間中的幾何體的外接球，可以通過綜合法確定球心的位置，也可以利用球的方程確定球心坐標(biāo)和球的半徑，而空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則需利用幾何體的特征確定動(dòng)點(diǎn)的幾何特征，結(jié)合線面關(guān)系確定軌跡．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程是_______.【答案】【解析】【分析】由題意可得出，求出的值即可求出其漸近線方程.【詳解】由可得：且，所以，所以，解得：，所以雙曲線，則其漸近線方程為：.故答案為：.13.在數(shù)列中，，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則_____________________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，求出和，得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，最后利用等比數(shù)列求和公式求和即可.【詳解】設(shè)，則為等差數(shù)列，設(shè)的公差為，，，，，則，，，則，，，.故答案為：.14.若對(duì)任意的、，且，，則的最小值是_______________________．【答案】【解析】【分析】分析出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】對(duì)任意的、，且，，易知，則，所以，，即，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，由，可得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，所以，，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為54，最小值為.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，并求出極值即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)果，比較區(qū)間內(nèi)端點(diǎn)值、極值大小，即可得最值.【小問1詳解】由題設(shè)，令，得或，當(dāng)時(shí)，即，解得或，單調(diào)遞增區(qū)間為和.當(dāng)時(shí)，即，解得，單調(diào)遞減區(qū)間為.函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】由，，，則且在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為54，最小值為.16.已知公差不為0的等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的的取值范圍．【答案】16.，17.【解析】【分析】（1）設(shè)出兩數(shù)列，借助基本量計(jì)算即可得；（2）借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算出后，解出不等式即可得.【小問1詳解】設(shè)、，又，則可得，，即有，解得或，又、，故，，即，；【小問2詳解】，則，，若成立，即，由，即，整理得，解得，又，故或，即使成立的的取值范圍為.17.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是菱形，且，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線段AE上是否存在點(diǎn)M，使平面MAD與平面MBC夾角的余弦值為．若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)，點(diǎn)為線段AE的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出，從而得出，利用四邊形是菱形，得出，再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；（2）設(shè)，，利用（1）結(jié)果，求出平面一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量為，再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形是菱形，且，所以，故以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，易知，則，，，，，所以，，得到，故，，得到，所以，又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．【小問2詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為，設(shè)，，則，所以，，．即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，所以，令，得，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得或(舍去)，所以，存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為，點(diǎn)為線段中點(diǎn)．18.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得有2個(gè)不同的根，令，則有2個(gè)不同的正根，利用根的判別式及韋達(dá)定理得到不等式，解得即可；（2）依題意可得，即可得到，即可得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而得證；【小問1詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，有2個(gè)不同的根，令，則有2個(gè)不同的正根，所以且，解得；【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有兩個(gè)極值且，因?yàn)?，所以，所以，又，，，則，設(shè)，則.函數(shù)在上單調(diào)遞減，，.19.已知拋物線，，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）若線段交軸于，兩點(diǎn)，判斷是否是定值，若是，求出該值，否則說明理由．（3）若直線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，是否存在整數(shù)，使得的重心恰在拋物線上．若存在，求出滿足條件的所有的值，否則說明理由．【答案】（1）（2），為定值（3）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程由韋達(dá)定理可得，即可求出拋物線的方程；（2）求出直線的方程得出的表達(dá)式，由韋達(dá)定理化簡可得；（3）利用弦長公式可求出關(guān)于的式子，再結(jié)合為整數(shù)即可得出.【小問1詳解】易知焦點(diǎn)，設(shè)過焦點(diǎn)的直線的方程為；聯(lián)立直線與拋物線方程可得，易知，可得，解得，所以拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以直線的方程為，如下