第17講 相似三角形常見模型之平行相似 (原卷版)

第17講相似三角形常見模型之平行相似【知識點睛】A字圖及其變型“斜A型”當DE∥BC當DE∥BC時△ADE∽△ABC性質(zhì)：當∠ADE=∠ACB時△ADE∽△ACB性質(zhì)：變型☆：斜A型在圓中的應(yīng)用：如圖可得：△PAB∽△PCD☆：“A字圖”最值應(yīng)用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，☆：“A字圖”最值應(yīng)用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，矩形面積達到最大值！當∠A=∠C當∠A=∠C時△AJB∽△CJD性質(zhì)：當AB∥CD時△AOB∽△DOC性質(zhì)：變型☆：“蝴蝶型”常見應(yīng)用☆：“蝴蝶型”常見應(yīng)用常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關(guān)此時注意“同弧所對圓周角相等”的應(yīng)用出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”☆☆：A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此兩種模型常見“∥”的引入方式：直接給出平行的已知條件平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行由很多中點構(gòu)造的“中位線”的平行根據(jù)線段成比例的條件或結(jié)論自己構(gòu)造平行輔助線【類題訓練】1．已知，在?ABCD中，E是BC邊上的點，AE與BD相交于點F．若BE：EC＝3：2，則△ABF的面積與△ADF的面積之比為（）A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若內(nèi)接矩形DEFG鄰邊DG：GF＝1：2，則△GFC與四邊形ABFG的面積比為（）A． B． C． D．3．如圖，正方形ABCD由四個全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)HF交DE于點M．若，則的值為（）A． B． C． D．4．如圖來自清朝數(shù)學家梅文鼎的《勾股舉隅》，該圖由四個全等的直角三角形圍成，延長BC分別交AG，HG于點M，N，梅文鼎就是利用這幅圖證明了勾股定理．若圖中記△MNG的面積為S，△GDF的面積為9S，則陰影部分的面積為（）A．20S B．21S C．22S D．24S5．如圖，在?ABCD中，AB＝9，AD＝8，E為AD延長線上一點，且DE＝4，連接BE交CD于點F，則CF＝．6．如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為△A′B′C′，邊A′B′剛好經(jīng)過邊BC的中點D，已知△ABC的面積為16，則陰影部分△A′DC的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．47．如圖，已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：48．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線于點E，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G∥DE，若BC+FG＝15，則DE的長為．10．如圖所示的網(wǎng)格是由邊長為1的小正方形組成，△ABC和△DEF的頂點均在格點上，BC、EF交于點G，BC、DF交于點H．（1）請寫出圖中與△CFG相似的三角形：（2）GB的長是．11．如圖，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于點E，DM⊥AN于點M，CN⊥AN于點N，G為MN的中點，GH⊥MN交CD于點H，且DM＝m，GH＝n．?（1）∠DCN＝．（2）線段CN的長為．（用含m，n的代數(shù)式表示）12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在BC邊上．連結(jié)AD，將△ABD沿直線AD翻折，點B落在點E處，AE交BC邊于點F．已知AC＝3，BC＝4，若△DEF為直角三角形，則△DEF的面積為．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝8，點E，F(xiàn)在BC上，點G是射線DC與射線AF的交點，若BE＝1，∠EAF＝45°，則AG的長為．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連結(jié)DE并延長，與BC的延長線交于點F，若⊙O的半徑為4，AD＝3，則CF的長是．15．研究任務(wù)畫出平分直角三角形面積的一條直線研究成果中線法分割法等積法BD是AC邊上的中線若，則DE∥BF成果應(yīng)用如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直線EF平分△ABC的面積．①若EF⊥AC，，則AC的值為；②若BE＝CF，AE＝EF，則AC的值為．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分線．（1）求證：△APC∽△DPB；（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的長．17．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．18．以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D均在格點上．（1）在圖①中，的值為；（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在AB上找一點P，使AP＝3；②如圖③，在BD上找一點P，使△APB∽△CPD．19．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F(xiàn)分別是線段AB和AB的延長線上的一點，且BF＝BE，連接CE，DF交于點G，連接BG．設(shè)＝k（k＞0）．（1）當k＝1時，求CE的長；（2）在（1）的條件下，求BG的長；（3）求△DCG的面積（用含k的代數(shù)式表示）．20．如圖，在△ABC中，點D是AC上的點，過點D作DE∥BC交AB于點E，AB＝3BE，過D作DF∥AB交BC于點F．（1）若BC＝15，求線段DE的長；（2）若△ADE的面積為16，求△CDF的面積．21．如圖1，在矩形ABCD中，＝k，E為CD邊的中點，連接AE，延長AE交BC的延長線于F點，在BC邊上取一點G，連接AG，使AF為∠DAG的角平分線．（1）求證：GE⊥AF；（2）如圖2，若k＝1，求的值；（3）若點G將BC邊分成1：2的兩部分，直接寫出k的值．22．綜合與實踐瑩瑩復習教材時，提前準備了一個等腰三角形紙片ABC，如圖，AB＝AC＝5，BC＝6．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點B與點C重疊對折，得折痕AE，展開后，她把點B與點A重疊對折，得折痕DF，再展開后連接CD，交折痕AE于點O，則點O就是△ABC的重心．教材重現(xiàn)：如圖4﹣15，用鉛筆可以支起一張均勻的三角形卡片．你知道怎樣確定這個點的位置嗎？在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線（median）．如圖4﹣16，AE是△ABC的BC邊上的中線．讓我們先看看三角形的中線有什么特點．?????（1）初步觀察：連接AF，則AF與BF的數(shù)量關(guān)系是：