專題03 三角恒等變換與解三角形-2024屆高考數(shù)學二輪專題復習考點分層與專項檢測（新高考專用）原卷版

專題03三角恒等變換與解三角形（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎考點】 5【基礎考點一】三角函數(shù)同角關系 5【基礎考點二】三角函數(shù)和差角公式 6【基礎考點三】三角函數(shù)倍角公式 7【基礎考點四】三角函數(shù)輔助角公式 7【基礎考點五】正弦定理、余弦定理 8【綜合考點】 9【綜合考點一】三角恒等變換應用（給角求值、給值求值、給值求角） 9【綜合考點二】三角形中線模型 10【綜合考點三】三角形角平分線模型 11【綜合考點四】三角形中的范圍、最值模型（對邊對角） 12【培優(yōu)考點】 13【培優(yōu)考點一】三角形中的范圍、最值模型（異邊異角） 13【培優(yōu)考點二】三角形中的結構不良型 14【總結提升】 15【專項檢測】 15備考指南備考指南考點考情分析考頻三角恒等變換2023年新高考Ⅰ卷T82023年新高考Ⅱ卷T72022年新高考Ⅱ卷T62021年新高考Ⅰ卷T62021年全國甲卷T93年5考三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)2023年新高考Ⅰ卷T152023年新高考Ⅱ卷T162023年全國乙卷T62022年新高考Ⅰ卷T62022年新高考Ⅱ卷T92022年全國甲卷T112022年全國乙卷T152021年新高考Ⅰ卷T42021年全國甲卷T163年9考解三角形及應用2023年新高考Ⅰ卷T172023年新高考Ⅱ卷T172023年全國乙卷T182022年新高考Ⅰ卷T182022年新高考Ⅱ卷T182022年全國甲卷T162022年全國乙卷T172021年新高考Ⅰ卷T192021年新高考Ⅱ卷T183年9考三角函數(shù)的圖象變換與解析式2023年全國甲卷T102021年全國乙卷T72年2考同角三角函數(shù)的基本關系2023年全國甲卷T7三角函數(shù)的誘導公式2023年全國甲卷T13預測：三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式是解決計算問題的工具；三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心.正弦定理與余弦定理以及解三角形是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積、周長等的計算.以三角函數(shù)、三角形為背景的最值及范圍問題是高考的熱點，常用的方法主要有：函數(shù)的性質(zhì)(如有界性、單調(diào)性)、基本不等式、數(shù)形結合等.全國卷近三年三角恒等變換與解三角形的考察注意以基礎性題型為主.建議在二輪復習時抓好查缺補漏，鞏固好基礎知識，掌握好基本方法，同時要加強鍛煉學生的邏輯思維能力.要關注如2022年新高考Ⅱ卷T18結構不良型試題.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和29．（2016下·上海金山·高三華東師范大學第三附屬中學?？计谥校┤?，則（

）A． B． C． D．10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距二、填空題11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．三、解答題12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．13．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知在中，．(1)求；(2)設，求邊上的高．14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.15．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．16．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：17．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．基礎考點基礎考點【考點一】三角函數(shù)同角關系【典例精講】（多選）（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知角的終邊不在坐標軸上，則下列一定成等比數(shù)列的是（

）A． B．C． D．二、多選題（2022上·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學?？奸_學考試）已知，，則（）A． B．C． D．三、填空題4．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┮阎瑒t.【考點二】三角函數(shù)和差角公式【典例精講】（多選）（2023·河南信陽·信陽高中?？寄M預測）已知，為坐標原點，終邊上有一點.則（

）A． B．C． D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·全國·鎮(zhèn)海中學校聯(lián)考模擬預測）已知為坐標原點，點，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題4．（2023·安徽·池州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知銳角滿足，則.【考點三】三角函數(shù)倍角公式【典例精講】（多選）（2023·浙江·模擬預測）下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．【變式訓練】一、單選題1．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是 B．，使C．在內(nèi)有4個零點 D．函數(shù)的圖像是中心對稱圖形三、填空題4．（2023·全國·模擬預測）已知角滿足，則．【考點四】三角函數(shù)輔助角公式【典例精講】（多選）（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）關于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的最大值為2C．直線是的圖像的一條對稱軸D．點是的圖像的一個對稱中心【變式訓練】一、單選題1．（2023·四川瀘州·四川省敘永第一中學校?？家荒＃┰阡J角中，若，且，則能取到的值有（

）A．2 B． C． D．42．（2022上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2017·安徽蚌埠·高二蚌埠二中階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則sinA+sinC的最大值是．三、解答題4．（2023·四川成都·成都七中校考模擬預測）已知向量，，．函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)設，，求的零點組成的集合A．【考點五】正弦定理、余弦定理【典例精講】（多選）（2023下·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最小值為【變式訓練】一、單選題1．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）在中，，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·山東·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，面積為S，且，則角的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預測）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，其中，且，若邊上的中點為，則（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考一模）已知的三個內(nèi)角A、B、C所對應的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數(shù)列，，，則的面積為．綜合考點綜合考點【考點一】三角恒等變換應用（給角求值、給值求值、給值求角）【典例精講】（多選）（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的零點是D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式訓練】一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）式子化簡的結果為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）若，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·?？既＃┮阎瘮?shù)，以下說法中，正確的是（

）A．函數(shù)關于點對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當時，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，所得圖像的解析式為三、填空題4．（2023·全國·模擬預測）若，則．【考點二】三角形中線模型【典例精講】（多選）（2021下·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即.現(xiàn)有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是（

）A．周長為B．三個內(nèi)角A，C，B滿足關系C．外接圓半徑為D．中線CD的長為【變式訓練】一、單選題1．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預測）在銳角中，，，則中線的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，為邊上的中線，，且，則的面積為(

)A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考一模）中，，BC邊上的中線，則下列說法正確的有（

）A．為定值 B．C． D．的最大值為30°三、填空題4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是．【考點三】三角形角平分線模型【典例精講】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角所對的邊分別是，其中，，.若B的角平分線BD交AC于點D，則.【變式訓練】一、單選題1．（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在中，的角平分線交于點，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·青海玉樹·統(tǒng)考模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，若，為的角平分線，且，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2021下·江蘇南京·高一金陵中學校考期末）在中，角所對的邊分別為，角的角平分線交于點，若，且，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2023·安徽·池州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知中，，的角平分線交于點，且，則的面積為.【考點四】三角形中的范圍、最值模型（對邊對角）【典例精講】（多選）（2022·遼寧·撫順市第二中學校聯(lián)考三模）在①，②，③這三個條件中，任選一個，補充在下面問題中，問題：在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，_______．(1)求角B﹔(2)求的范圍．【變式訓練】一、解答題1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）記內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.問題：在中，角所對的邊分別為，且__________.(1)求角的大??；(2)已知，且角有兩解，求的范圍.3．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)設，當?shù)闹底畲髸r，求的面積．4．（2022上·福建廈門·高三廈門外國語學校?？茧A段練習）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，(1)求角B﹔(2)求的范圍．培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】三角形中的范圍、最值模型（異邊異角）【典例精講】（多選）（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預測）已知銳角中，角所對的邊分別為，滿足.(1)求；(2)若，當?shù)拿娣e最大時求.【變式訓練】一、單選題1．（2023·浙江·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（

）A． B．C． D．二、解答題2．（2022·全國·模擬預測）已知在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．(1)求角A的值；(2)若，求面積的范圍．3．（2022上·浙江溫州·高三蒼南中學校聯(lián)考階段練習）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)的值;(2)若b=2，當角最大時，求的面積.4．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）如圖，平面四邊形中，，，，.(1)若，求的值；(2)試問為何值時，平面四邊形的面積最大？【考點二】三角形中的結構不良型【典例精講】（多選）（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學校考一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)已知，，邊BC上有一點D滿足，求AD．【變式訓練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為，，D為BC上一點且AD為的平分線，則AD的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎娜齻€內(nèi)角所對邊的長分別為，若，則下列正確的是（

）A．的取值范圍是B．若是邊上的一點，且，，則的面積的最大值為C．若是銳角三角形，則的取值范圍是D．若平分交點，且，則的最小值為4．（2022下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件一定能夠使為等腰三角形的是（

）A． B．C． D．總結提升總結提升1.同角三角函數(shù)的基本關系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.誘導公式的記憶口訣：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導公式中“奇變偶不變，符號看象限”.3.熟記三角函數(shù)公式的兩類變形：(1)和差角公式的變形；(2)倍角公式的變形.4.正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑).5.余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).6.求三角函數(shù)式的最值或范圍問題，首先把函數(shù)式化為一個角的同名三角函數(shù)形式，接著利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解.7.三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量：根據(jù)題意畫出圖形，找出三角形中的邊、角，利用正弦、余弦定理求出相關的邊、角，并選擇邊、角作為基本量，確定基本量的范圍.(2)構建函數(shù)：根據(jù)正弦、余弦定理或三角恒等變換，將所求范圍的變量表示成函數(shù)形式.(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求函數(shù)的最值.專項專項檢測一、單選題1．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預測）已知角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·模擬預測）在中，若，則（

）A． B．C． D．4．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習）若，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·模擬預測）在，角的對邊分別為，若，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．6．（2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則當?shù)拿娣e最大時，（

）A． B．C． D．7．（2023·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且，則BD的最小值為（

）A． B．2 C． D．8．（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預測）（

）A．16 B．32 C．48 D．52二、多選題9．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎?，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為10．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的最大值為1B．的圖象關于點對稱C．在上單調(diào)遞增D．存在，使得對任意的都成立11．（2023下·四川·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則正確的是（