高中數(shù)學同步講義（人教A版必修二）第01講 6.1平面向量的概念（教師版）

第01講6.1平面向量的概念課程標準學習目標①能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別。②會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別。③理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念。1.通過閱讀課本，查閱資料，并能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系；2.認真閱讀課本，在讀書過程中學會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別；3.在認真學習的基礎上，理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．學會向量的表示方法；知識點01：向量的概念（1）向量在數(shù)學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.①我們所學的向量是自由向量,即只有大小和方向,而無特定的位置,這樣的向量可以作任意平移.②向量與向量之間不能比較大小.【即學即練1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）下列量中是向量的為（

）A．頻率 B．拉力 C．體積 D．距離【答案】B【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B（2）數(shù)量只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量,如年齡、身高、長度、面積體積、質量等（3）向量與數(shù)量的區(qū)別①向量與數(shù)量的區(qū)別:向量有方向,而數(shù)量沒有方向；數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小,而向量與向量之間不能比較大?、谙蛄颗c矢量:數(shù)學中的向量是從物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出來的,但在這里我們僅考慮它的大小及方向；而物理中的這些量,既同時具備大小和方向這兩個屬性,還具有其他屬性(如“力”就是由大小方向、作用點所決定的).知識點02：向量的幾何表示(1)有向線段具有方向的線段叫做有向線段①有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,其方向是由起點指向終點.以為起點、為終點的有向線段記作(如圖所示),線段的長度也叫做有向線段的長度,記作.表示有向線段時,起點一定要寫在終點的前面,上面標上箭頭.②有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向、長度,它的終點就唯一確定了.（2）向量的表示①幾何表示:向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向線段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母,,,…表示（3）向量的模向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.（4）兩種特殊的向量零向量:長度為0的向量叫做零向量,記作.單位向量:長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量①若用有向線段表示零向量,則其終點與起點重合.②要注意0與的區(qū)別與聯(lián)系:0是一個實數(shù),是一個向量,且有；書寫時表示零向量,一定不能漏掉0上的箭頭.③單位向量有無數(shù)個,它們大小相等,但方向不一定相同.④在平面內,將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點,則它們的終點構成一個半徑為1的圓.【即學即練2】（2023下·新疆·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．向量的模是一個正實數(shù) B．零向量沒有方向C．單位向量的模等于1個單位長度 D．零向量就是實數(shù)0【答案】C【詳解】對于A，零向量的模等于零，故A錯誤；對于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯誤；對于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；對于D，零向量有大小還有方向，而實數(shù)只有大小沒有方向，故D錯誤.故選：C.知識點03：相等向量與共線向量(1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量與平行,記作.規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量,都有.(2)相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量與相等,記作.兩個向量相等必須具備的條件是長度相等,方向相同因為向量完全由它的方向和模確定,故任意兩個相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點無關.（3）共線向量任一組平行向量都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也叫做共線.共線向量所在直線平行或重合,如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.【即學即練3】（2022下·遼寧大連·高一校考階段練習）下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【詳解】模為零的向量是零向量，所以A項正確；時，只說明向的長度相等，無法確定方向，所以B，C均錯；時，只說明方向相同或相反，沒有長度關系，不能確定相等，所以D錯.故選：A.題型01向量的有關概念【典例1】（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的個數(shù)是（

）（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；（2）零向量沒有方向；（3）向量的模一定是正數(shù)；（4）非零向量的單位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，對于（3），零向量的?？赡転?，不一點是正數(shù)，故（3）錯誤，對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，故選：A．【典例2】（2023上·安徽阜陽·高二?？茧A段練習）下列命題中錯誤的有（

）A．平行向量就是共線向量B．相反向量就是長度相等且方向相反的向量C．同向，且，則D．兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件【答案】C【詳解】根據(jù)向量的概念，可知A、B正確；對于C項，向量不能比較大小，故C錯誤；對于D項，根據(jù)平行向量以及相等向量的概念，可知D正確.故選：C.【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┫铝忻}：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.故選：A【變式2】（2023上·廣東湛江·高二?？奸_學考試）下列命題正確的個數(shù)是（

）（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯誤；（2）根據(jù)對零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯誤；（3）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；（4）根據(jù)對零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．故選：B題型02向量的幾何表示【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習）選擇適當?shù)谋壤?，用有向線段表示下列向量．(1)終點A在起點O正東方向3m處；(2)終點B在起點O正西方向3m處；(3)終點C在起點O東北方向4m處；(4)終點D在起點O西南方向2m處．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析．【詳解】（1）從向東作長度為3m的有向線段：

（2）從向西作長度為3m的有向線段：

（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：

（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：

【典例2】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學?？茧A段練習）對下面圖形的表示恰當?shù)氖牵?/p>

）．

A． B． C． D．【答案】C【詳解】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.故選：C.【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．也可以用表示B．方向是由M指向NC．起點是M D．終點是M【答案】D【詳解】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D．【變式2】（2023下·新疆·高一?？计谥校┮阎蛄咳缦聢D所示，下列說法不正確的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起點是 D．向量的終點是【答案】D【詳解】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.故選：D題型03向量的?！镜淅?】（2023下·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學?？茧A段練習）如果一架飛機向西飛行，再向南飛行，記飛機飛行的路程為，位移為，則（

）．A． B． C． D．與不能比較大小【答案】A【詳解】由題意，作圖如下：則該飛機由先飛到，再飛到，則，，，則飛機飛行的路程為，，所以.故選：A.【典例2】（2022·高一課時練習）如圖，已知是單位向量，求出圖中向量，，，的模.【答案】【詳解】因為是單位向量，所以圖中小正方形的邊長為；所以，由勾股定理可知，，.【變式1】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心，C為半圓上一點，且，，則等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【詳解】如圖，連接AC，由，得.因為為半圓上的點，所以，所以．故選：A.【變式2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，某船從點O出發(fā)沿北偏東30°的方向行駛至點A處，求該船航行向量的長度（單位：nmile）．

【答案】2nmile．【詳解】由題意，所以向量的長度為2nmile．題型04零向量與單位向量【典例1】（2022下·高一?？颊n時練習）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有大小，沒有方向B．零向量是唯一沒有方向的向量C．零向量的長度為0D．任意兩個單位向量方向相同【答案】C【詳解】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，任意兩個單位向量長度相同，方向無法判斷.故選：C.【典例2】（2022下·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）下列關于零向量的說法正確的是（

）A．零向量沒有大小 B．零向量沒有方向C．兩個反方向向量之和為零向量 D．零向量與任何向量都共線【答案】D【詳解】根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；零向量與任意向量共線，D正確．故選：D.【變式1】（2022·全國·高一假期作業(yè)）下列說法正確的個數(shù)為（

）①面積、壓強、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】①錯誤，只有速度，位移是向量．②錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的．③錯誤，④錯誤，非零向量的單位向量有兩個，一個與同向，一個與反向．故選：A.【變式2】（2020下·高一課時練習）下列命題中正確的個數(shù)是①向量就是有向線段

②零向量是沒有方向的向量③零向量的方向是任意的

④任何向量的模都是正實數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來，故①錯；零向量有方向，其方向是任意的，故②錯，③正確；零向量的模等于0，故④錯.故選：B.題型05相等向量【典例1】（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥校┫铝忻}正確的是（

）A．零向量沒有方向 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【詳解】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.故選：C.【典例2】（2023下·山東濱州·高一統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【詳解】對于A，單位向量的模長都相等，但方向不一定相同，所以選項A錯誤；對于B，若，說明兩個向量的模長相等，但方向不一定相同或相反，所以兩向量不一定共線，所以選項B錯誤；對于C，向量的相等條件為方向相同且模長相等，所以，則，所以選項C正確；對于D，此時若，但兩向量的方向不同，滿足，但與選項D題干矛盾，所以選項D錯誤.故選：C.【變式1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤鐖D，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.對于B，因為，故，故B正確.對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.【變式2】（多選）（2023下·陜西咸陽·高一?？计谥校┫铝忻}中，錯誤的是（

）A．若，則與方向相同或相反B．若，，則C．若，，則D．若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等【答案】ABD【詳解】對于A選項，因為，若，則零向量的方向任意，A錯；對于B選項，取，則，，但、不一定平行，B錯；對于C選項，，，則，C對；對于D選項，若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等或相反，D錯.故選：ABD.題型06共線向量【典例1】（多選）（2023上·高二課時練習）(多選)下列命題的判斷正確的是（

）A．若向量與向量共線，則A，B，C，D四點在一條直線上B．若A，B，C，D四點在一條直線上，則向量與向量共線C．若A，B，C，D四點不在一條直線上，則向量與向量不共線D．若向量與向量共線，則A，B，C三點在一條直線上【答案】BD【詳解】對于A，平行四邊形中，，滿足向量與共線，而四點不共線，A錯誤；對于B，四點在一條直線上，則向量與方向相同或相反，即向量與共線，B正確；對于C，平行四邊形中，滿足四點不共線，有，即向量與共線，C錯誤；對于D，向量與共線，而向量與有公共點，因此三點在一條直線上，D正確.故選：BD【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形的中心，在圖所標出的向量中：

(1)試找出與共線的向量；(2)確定與相等的向量；(3)與相等嗎？【答案】(1)和；(2)；(3)不相等.【詳解】（1）由O為正六邊形的中心，得與共線的向量有和.（2）由于與長度相等且方向相同，所以.（3）顯然，且，但與的方向相反，所以這兩個向量不相等.【變式1】（多選）（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．有向線段與表示同一向量B．兩個有公共終點的向量是平行向量C．零向量與單位向量是平行向量D．單位向量都相等【答案】ABD【詳解】對A,有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯誤；對B，兩個有公共終點的向量不一定是平行向量，B錯誤；對C，我們規(guī)定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯誤；故選:ABD.【變式2】（多選）（2023下·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）下列命題中錯誤的有（

）A．起點相同的單位向量，終點必相同；B．已知向量，則四邊形ABCD為平行四邊形；C．若，則；D．若，則【答案】AC【詳解】單位向量的方向不確定，所以起點相同的，終點不一定相同，A選項錯誤；四邊形ABCD中，，則且，四邊形ABCD為平行四邊形，B選項正確；當時，滿足，但不能得到，C選項錯誤；由向量相等的條件可知，若，則，D選項正確.故選：AC第01講6.1平面向量的概念A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023下·新疆·高一校考期末）下列說法正確的是（

）A．身高是一個向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長度兩個要素確定D．有向線段和有向線段的長度相等【答案】D【分析】根據(jù)向量的定義及性質判斷各項的正誤即可.【詳解】A：由向量即有大?。ｉL）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯；C：有向線段有起點、方向、長度三要素確定，故C錯；D：有向線段和有向線段的長度相等，故D對.故選：D2．（2023下·河南商丘·高一?？茧A段練習）若向量與向量不相等，則與一定（）A．不共線 B．長度不相等C．不都是單位向量 D．不都是零向量【答案】D【分析】向量相等為長度和方向都相同，所以若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，分析選項可得結果.【詳解】若向量與向量不相等，則說明向量與向量的方向和長度至少有一個不同，所以與有可能共線，有可能長度相等，也有可能都是單位向量，所以A，B，C都是錯誤的，但是與一定不都是零向量．故選：D.3．（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習）判斷下列命題：①兩個有共同起點而且相等的非零向量，其終點必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則.其中，正確的命題個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的基本概念一一判定即可.【詳解】相等向量即方向相同大小相等，故兩個相同向量同起點比同終點，即①正確；零向量方向是任意的，且與任意向量都平行，所以當，若，而是非零向量，則不滿足兩向量方向相同或相反，即②錯誤；同理若，且時，，是非零向量，也得不到，即③錯誤.綜上正確的是1個.故選：B4．（2018·高一課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（

）

A．與 B．與 C．與 D．與【答案】C【分析】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以，，，，故ABD錯誤，C正確.故選：C.5．（2022·高一課時練習）給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則.

其中的正確命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)向量的概念及零向量，平行向量的概念進行判斷.【詳解】對于①，前一個零是實數(shù)，后一個應是零向量，故①錯誤；對于②，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定，故②錯誤；對于③，兩個向量平行，它們的方向相同或相反，模未必相等，③錯誤；對于④，若，則，④正確.故選：A.6．（2022·高一課時練習）已知向量是兩個非零向量，分別是與同方向的單位向量，則以下各式正確的是（

）A． B．或C． D．與的長度相等【答案】D【分析】利用已知條件，結合方向相同的向量、單位向量的意義判斷作答.【詳解】依題意，，顯然向量的關系不確定，而與同方向，與同方向，因此與關系不確定，A，B，C都錯誤，又都是單位向量，所以與的長度相等，D正確.故選：D7．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（

）A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則C． D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關概念對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；由單位向量對于可知，，故B正確；因為，所以，故C正確；因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；故選：D8．（2023下·新疆·高一兵團第三師第一中學?？茧A段練習）關于向量，，下列命題中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)向量相等的定義、共線向量的定義和性質依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，當時，方向可能不同，未必成立，A錯誤；對于B，若，則反向，，B正確；對于C，只能說明長度的大小關系，但還有方向，無法比較大小，C錯誤；對于D，當時，，，此時未必共線，D錯誤.故選：B.二、多選題9．（2023下·四川瀘州·高一瀘縣五中?？茧A段練習）下面關于向量的說法正確的是（）A．單位向量：模為的向量B．零向量：模為的向量C．平行共線向量：方向相同的向量D．相等向量：模相等，方向相同的向量【答案】ABD【分析】由單位向量、零向量、相等向量、共線向量的概念可知.【詳解】C項，方向相反的向量也是共線向量，故錯誤；ABD項，由單位向量、零向量、相等向量概念可知，正確.故選：ABD.10．（2023下·四川眉山·高一?？计谥校┤舳际欠橇阆蛄?，且，則（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)相等向量的概念判斷各選項即可.【詳解】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且，則方向相同，長度相等，故AC正確，B錯誤；而，故D錯誤.故選：AC.三、填空題11．（2023·全國·高三專題練習）在如圖所示的向量中（小正方形的邊長為1），找出存在下列關系的向量：

①共線向量：；②方向相反的向量：；③模相等的向量：.【答案】與，與與，與【分析】觀察圖形，利用共線向量、方向相反向量、模相等的向量的意義判斷作答.【詳解】觀察圖形，，因此與是共線向量，并且方向相反；與是共線向量，并且方向相反，顯然，因此的模相等.故答案為：與，與；與，與；12．（2023下·海南儋州·高一?？茧A段練習）下列各量中，向量有：．（填寫序號）①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥加速度．【答案】③⑤⑥【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.【詳解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風力，位移，加速度.故答案為：③⑤⑥.四、問答題13．（2023·全國·高一課堂例題）在圖中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個（除外）？

【答案】7個，個.【分析】根據(jù)給定條件，利用相等向量的定義，確定給定圖形中的向量起點即可判斷作答.【詳解】當向量的起點C是圖中所圈的格點時，可以作出與相等的向量，這樣的格點共有8個，除去點A外，還有7個，所以共有7個向量與相等；與長度相等的共線向量（除外），有與相等的向量，還有與方向相反且長度相等的向量，所以與長度相等的共線向量共有（個）.

14．（2023下·高一課時練習）如圖所示，的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點或終點的所有有向線段表示的向量中：

(1)寫出與相反的向量；(2)寫出與的模相等的向量；(3)寫出與相等的向量.【答案】(1)，，(2)，，，，(3)，【分析】（1）根據(jù)已知可推得，且.結合圖象，即可得出答案；（2）根據(jù)已知，結合（1）的結論以及圖象，即可得出答案；（3）根據(jù)（1）（2），結合圖象，即可得出答案