2023-2024學年介休市一中高三數(shù)學上學期第二次聯(lián)考卷附答案解析

2023-2024學年介休市一中高三數(shù)學上學期第二次聯(lián)考卷

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分15()分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答

案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題

區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導數(shù)、三角函數(shù).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.己知集合人={乂44%<8},B={x|2<x<10},則(々A)IB=()

A.{x|4<x<8|B.{x|2<x<4gg8<x<10}

C.{x|4<x<10}D.{x|2<x<4n￡8<x<10}

2.函數(shù)〃x)=tan/的最小正周期是()

A.2兀B.4兀C.2D.4

3.若角a的終邊上有一點P(-2,m),且sina=-g,則機=()

A.4B.±4C.-1D.±1

4.設aeR,則“a>0”是“/>>，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若函數(shù)/(力=/+。卜-2|在[0,4]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[TO]B.[-4,4]C.[-8,0]D.[-8,4]

6.若e~h=InZ?,e~c=-lnc,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

7.設函數(shù)〃x)=^-"二，正實數(shù)a，b滿足〃。)+/僅—1)=2,則上二+上的最小值為()

22+1〃+1。+2

A.B.-C.—D.-

2334

8.已知函數(shù)〃x)=d+alnx有兩條與直線y=2x平行的切線，且切點坐標分別為

Q(wJ(2)，則—+一的取值范圍是()

Xx2

A.（0,2夜）B.（0,4）C.（2夜,+ooD.（4,+oo）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

A.Z?)>—1B.b1<ah<1C.a—<h—D.??

xabab

11.已知函數(shù)/(X)的定義域為(-|，?，其導函數(shù)為/'(x).若[x+/(x)]sinx=/'(x)cosx,且/⑼=0,

則()

A.是增函數(shù)B.“X)是減函數(shù)C.有最大值D.“X)沒有極值

12.已知函數(shù)“X),g(x)及其導函數(shù)廣(x),g'(x)的定義域均為R,若f(x+2)=g(-x)+5,

r(x)+g"-x)=0,且g(3x+2)為偶函數(shù)，則()

A.g'(2)=0

B.函數(shù)/(x)的圖象關于y軸對稱

c.函數(shù)廣(X)的圖象關于y軸對稱

D.函數(shù)/(X)是周期為1的函數(shù)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.圓心角為2的扇形的周長為4,則此扇形的面積為.

14.大西洋雄魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究魚的科學家發(fā)現(xiàn)大西洋雄魚的游速M單位：m/s)

可以表示為v=；log3葛，其中M表示魚的耗氧量的單位數(shù).當一條大西洋鞋魚的耗氧量的單位數(shù)是其靜

止時耗氧量的單位數(shù)的3括倍時，它的游速是m/s.

15.設/(tana)=sinacosa,貝！.

16.設函數(shù)的定義域為R,且/⑴一2為奇函數(shù)，當0CW1時，f(x)=G+2,當x>l時，

/(刈=2回+|.當實數(shù)&變化時，方程〃力-依-2=0的所有解從小到大依次記為小生…,馬，則

/(與)+/(々)+…+/(天)的所有可能取值集合為.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知sin，+cos，=羋，。€(0,兀).

(1)求sin。一cos。的值；

(2)求cos(26+2023K)4-tan(04-2023K)的值.

18.已知函數(shù)/(x)=sin犬cosx-6cos2x+^~.

⑴求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間和對稱中心;

⑵將函數(shù)/(X)的圖象向左平移夕個長度單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)的圖象關于直

7T

線x=9對稱,當xepK時，求函數(shù)g(x)的值域.

6

19.已知函數(shù)〃》)=$3+加+6*，當x=3時，函數(shù)y=〃x)取得極值.

⑴若“X)在(機機+2)上為增函數(shù)，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若1W3時，方程“x)+〃?=0有兩個根，求實數(shù)，”的取值范圍.

20.已知函數(shù)“X)為R匕的偶函數(shù)，g(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=log4(4'+l).

⑴求“力，g(x)的解析式;

⑵若函數(shù)畸)=/(X)—glog?(〃?2,+友力在R上只有一個零點，求實數(shù)〃的取值范圍.

21.修建棧道是提升旅游觀光效果的一種常見手段.如圖，某水庫有一個半徑為1百米的半圓形小島，其

圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點A滿足ACLMN,且AC長度為3百米，為便于游客到小島觀

光，打算從點A到小島建三段棧道AB,80與雇，水平面上的點B在線段AC上，且B。，把均與圓

C相切，切點分別為￡>,E,其中棧道A3,BD,BE和小島在同一個平面上.此外在半圓小島上再修建棧

道ME，DN以及MN,需要修建的棧道總長度的最小值為多少百米？

22.已知函數(shù)/(x)=oxlnx—2x+3,其中a>0.

(1)當4=1時，求/(X)的最小值；

⑵若小”/(同對任意的xe(O,M)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

3

1.D

【分析】根據(jù)集合的運算法則計算后判斷.

【詳解】因為集合4=卜|44*<8},B={x|2<x<10},

所以QA={x|x<4或尸8},

所以(\A)I8={x［2<x<4或84x<10},

故選：D.

2.C

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期性求解.

工=2

【詳解】/(X)的最小正周期為萬一.

2

故選：C.

3.C

y

【分析】根據(jù)公式sma=?…即可得到本題答案.

Jk+K

.ymV5

【詳解】由已知，^sina=-7====-?=====——,解得加=±i.

\Jx-+/+/3

因為sina=-^^,所以y<。，則〃z=-I.

5

故選：C

4.B

【分析】分別證明充分性和必要性，即可得到本題答案.

【詳解】①當”時，滿足“。>0”,但不滿足“Y>/"，所以“a>0”不能推出“/>/，，,故充分性不

成立；

②由“3>〃，解得“>1,因可以推出“〃>0”，故必要性成立.

綜上，可知“4>0”是“/>“2”的必要不充分條件

故選：B

5.A

【分析】根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號后，結合二次函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】/(x)=x2+a|x-2|=?X,+CLX:要使/(x)在［0,4］上為單調(diào)函數(shù)，

x~-ax+2a,x<2,

4

-￡<2

2't

則或1一解得

^<0-->4,

,22

所以實數(shù)。的取值范圍是[T,0].

故選：A.

6.B

【分析】借助函數(shù)圖象，可直接判斷。力,c?的大小關系.

【詳解】在同一直角坐標系中作出y=e*,y=e\y=lnx,，=-lnx的圖象,

由圖象可知“<c<b.

故選:B.

7.D

【分析】由函數(shù)圖象的對稱性求得4+。=1,然后由基本不等式求得最小值.

【詳解】根據(jù)已知得/(f)+/(x)=2,

所以函數(shù)〃x)的圖象關于點(0,1)對稱，易知/(x)在R上為增函數(shù),

所以由/(。)+/僅-1)=2得，a=\-h,所以“+方=1,

所以(。+1)+(。+2)=4,所以￡+金

。+1b+2

*+1)+e+2)］底+制

1/+("2)區(qū)+—巾+/>~(^2+2ab+b?)=；(a+b)2=；

4〃+1b+2

當且僅當。=3￡,匕=不2時取等號.

故選：D.

8.D

【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出/G)=d+mnx在RQ兩點處的切線斜率，即可得出內(nèi),為是

5

2xJ2x+a=0的兩根，利用韋達定理即可得出的取值范圍.

玉X2

【詳解】根據(jù)題意可知〃x)=x2+"inx的定義域為(0,+8),所以入/2?0,物),

易得r(x)=2x+f,

由導數(shù)的幾何意義可得切點為網(wǎng)占,4藥))時，切線斜率為2%+色，

x\

同理可得，。點處切線斜率為2%+色：

X，

2xt+—=2

又因為兩條切線與直線y=2x平行，可得A|,即2x；-2%+。=0

-2X+Q=0

2x,+—=22

x2

所以國,工2是關于方程2x2-2x+a=0的兩根，

所以△=(-2)2-4x2a＞0,即。＜；,又玉+%=1,%工2=~(0,+oo)

可得0＜4＜；；

J_+J_=%+*2=J_=2|1

-

所以％x2xx2~a~ay由?？傻靡唬?

1222a

112c14-11,—E\

即一+—=一=2.—＞4,所以一+一的取值范圍是(z4,+oo).

v7

x{x2aaxxx2

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于利用導數(shù)的幾何意義和兩直線平行的位置關系得出關于AW的等

量關系，再根據(jù)函數(shù)定義域和韋達定理即可求得表達式的取值范圍.

9.AC

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象判斷，注意分類討論.

【詳解】當々＞1時，對應的圖象可能為選項A；當0＜。＜1時，對應的圖象可能為選項C.

故選：AC.

10.BD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結合對數(shù)函數(shù)的對稱性，通過構造函數(shù)法逐一判斷即可.

【詳解】因為，所以于是有!

baba

由所以OvAvavl.

6

當a=g,。=；時,ln(tz-Z?)=ln-^-=-ln4<-l,A錯誤；

0<b<a<\=>b2<ab<b<]b1<ab<\^B正確；

因為y=/(x)=x-g在(°/)上為增函數(shù)，因為0<方<。<1,

所以因此c錯誤；

ba

因為y=g(x)=x+J在(。，1)上為減函數(shù)，0<b<a<\,

所以g(6)>g(a)=”，因此D正確.

故選：BD.

11.AD

【分析】利用導數(shù)的運算法則，引入函數(shù)g(x)=/(x)cosx,由g'(x)20得其遞增，從而可確定了'(X)的

正負得Ax)的單調(diào)性，從而判斷各選項.

【詳解】因為/'(x)cosx=[x+/(x)]sinx,所以/'(x)cosx-/(x)sinx=xsinx,設g(x)=〃x)cosx,

貝Ug'(x)=xsinx,因為所以g[x)=xsinxN°恒成立，所以y=g(x)在(一/?上單調(diào)遞

增，又因為/(。)=0,所以g(0)=/(0)cos0=0,所以當時，g(x)<0,當時，

g(x)>0,幽[=/(x)c°sx：g(x)sinx,當旌卜小0卜寸，g(x)<0,g，(x)>0,cosx>0.

COS犬COS-X、2)

sinx<0,故恒成立；當xe(0,■1｝、]■,g(x)>。，g'(x)>。，cosx>0,sinx>0,故

恒成立.所以「(X)卻在「羽上恒成立，故y"(x)在(-埼上單調(diào)遞增.

故選：AD.

12.ABD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性以及復合函數(shù)的求導法則，逐項判斷，即可得到本題答案.

【詳解】對于A,因為g(3x+2)為偶函數(shù)，所以g(-3x+2)=g(3x+2),所以g(-x+2)=g(x+2),所

以—g'(—x+2)=g'(x+2),令x=0,得到g'(2)=0,故A正確；

對于B,由g(—x+2)=g(x+2),得g(—x)=g(x+4),由/(x+2)=g(-x)+5得

“-x-4+2)=g(x+4)+5,所以〃x+2)=/(-2-x),所以函數(shù)〃x)的圖象關于y軸對稱，故B正確;

對于C,因為函數(shù)“X)的圖象關于>軸對稱=x)J'(x)=—/'(—x),即函數(shù)/'(x)的圖象關于原

點對稱，故C錯誤；

對于D,因為〃x+2)=g(—x)+5,所以_f(x+2)=—g1—x),又因為/'(x)+g'(l—x)=0,所以

尸(x+l)+g'(—x)=O,所以/'(x+2)=/‘(尤+1),所以函數(shù)尸(x)是周期為1的函數(shù)，故D正確.

7

故選：ABD.

13.1

【分析】根據(jù)弧長公式結合面積公式計算即可.

【詳解】設扇形的半徑為『，弧長為/,則/+2r=4,又/=2r,所以r=l,1=2,扇形的面積S=；/?r=1.

故答案為：1.

3

14.-##0.75

4

【分析】設大西洋雄魚靜止時的耗氧量為“°，計算出加。的值，再將M=3G"o代入u=glog3焉，即

可得解.

【詳解】設大西洋鞋魚靜止時的耗氧量為M。，則f°g3舒=0,可得加。=100，

將M=3gMj=300百代入v=glogj可得，v=glog33^=；(m/s).

3

故答案為：

4

15.--##-0.4

5

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關系式，結合特殊角的正切值和正弦值進行求解即可.

【詳解)因為/(tana)=sinacosa=J,00嗎=‘a(chǎn)叱,

sina+cosal+tarra

所以“、)=備，

一2

故答案為：

16.{2,6,10,14}

【分析】將方程/(x)-米-2=0的解轉化為f(x)與直線丫=履+2的交點，并可知"X)與y=H+2均關

于點(0,2)對稱，作出/(x)的圖象，通過數(shù)形結合的方式可確定％不同取值時交點的個數(shù)，結合對稱性

即可求解.

【詳解】因為/(同-2為奇函數(shù)，所以/(X)的圖象關于點(0,2)對稱，

由/(x)-fcx-2=0得/(力="+2,則方程的解即為/(%)與'=&+2的交點,

作出“力圖象如圖所示，

8

如圖中y=k1X+2所示時，“X）與y=Ax+2有5個交點,

因為/（X）與y=H+2均關于（0,2）對稱,所以/&）+〃％）+…+〃％）=5/（0）=10；

當4—:9一—55-?即14/<3.5時，如圖中y=&/+2所示時，“X）與丫=履+2有7個交點，

因為“X）與y=H+2均關于（0,2）對稱，所以〃與）+/（々）+…+/（&）=7〃0）=14；

當75-?<Z<3冷-?即1:<Z<1時，如圖中>=占》+2所示時，.“X）與y="+2有5個交點，

3-01-06

因為“X）與y=H+2均關于（0,2）對稱，所以/&）+〃/）+…+〃于=5>0）=10；

當k=W于即&=；時，如圖中y=%x+2所示時，“X）與y=Ax+2有3個交點，

3-06

因為“X）與丫=齒+2均關于（0,2）對稱，所以/（與）+/（々）+/（玉）=3"0）=6；

當&<三三［即時，如圖中y=&x+2和y=&x+2所示時?，“X）與y=A+2有且僅有1個交點，

3-06

所以〃苦）=2,

綜上所述/（5）+/（々）+-+/（%）的所有可能取值集合為{2,6,10,14},

故答案為：{2,6,10,14}

【點睛】本題考查利用函數(shù)對稱性，函數(shù)圖像求解方程根的個數(shù)問題；解題關鍵是能夠將方程根的個數(shù)

問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，進而通過數(shù)形結合的方式確定交點個數(shù).

17.⑴如

5

(2)-y

【分析】（1）應用同角三角函數(shù)關系求值再根據(jù)角的范圍判斷符號即可;

（2）先根據(jù)同角三角函數(shù)關系求值再應用誘導公式求值.

【詳解】（1）因為sine+cos?=￥，所以（sin0+cosg）2=|,

9

23

所以l+2sinOcose=g,即2sin0cos0=-g<0.

因為夕￡(0,兀)，則sin6>0,所以cosOvO,sin。一cos6>0,

因為（sin。一cosOp=l-2sin0cos6>=-,所以sin。一cos。=

55

SAW

sim+cosu=-----,.—

Vio

(2)由，[—解得sin，=3I。,cos0=-

.a°2M10而

sintf-cosU=―--,

所以tan6="^=-3

cos。

aiiI

所以cos（20+2023兀）+tan（。+2023兀）=-cos26+tan。=sin之。一cos?。+tan0=----3=-—

八5兀，114，兀尿八

18.（1）石"+kit,+ku,kGZ,6+r°>keZ

【分析】(i)由三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結合正弦函數(shù)性質(zhì)

求得單調(diào)區(qū)間與對稱中心；

(2)由三角函數(shù)圖象變換求得g。)，再利用對稱性求得夕值，得函數(shù)解析式，然后結合正弦函數(shù)性質(zhì)求

得值域.

+csr

【詳解】(1)/(x)=^sin2x-\/3■^-+=-^sin2x-^cos2x=sin^2x-y^j,

■jrTV37t57r1ITT

令一+2E〈2X—<2——F2E(A:GZ),貝！J2——F<x<----\-kit(jteZ),

2321212

57r1177

所以函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為+—+H(ZeZ).

令2x-g=E,則x=2+與，keZ,所以函數(shù)〃x)的對稱中心為修+年，°]，keZ.

(2)將函數(shù)〃x)的圖象向左平移9個單位長度，得到g(x)=sin(2x+28-幻的圖象，

因為g(x)的圖象關于直線x=4對稱，所以2夕=三+也，即展￡+”，keZ,

6242

又0<*<5，所以限:.

所以g（x）=sin卜x+g]

10

Li、，兀L—,?/兀7兀137r

因為不兀，所以21+工￡—,-r-，

_2J666

所以g(x)的值域為-11.

19.(l)(^o,0]l[3,同

叫(下14-59_一

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)極值的定義，結合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；

(2)構造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)，結合函數(shù)零點的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】(1)由/(》)=：/+奴2+6X，則/''(*)=*2+20￥+6,

因為x=3時，“X)取到極值，所以/'⑶=0,解得a=-|.

又當a=-1■時，尸(x)=f-5x+6=(x-2)(x-3),

當x<2時，制x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當2Vx<3時,r(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當x>3時,

函數(shù)單調(diào)遞增，

故當x=3時，函數(shù)y=〃x)取得極值，符合題意.

要使f(x)在(，”"+2)上為增函數(shù)，則機+242或加23,所以利<0或加23.

即實數(shù)機的取值范圍為(-8,0][3,+8).

(2)令/?(?￥)=/(力+加，由(1)得〃力=；X3-3*2+6]，且14x43,

故"(x)=■萬丁+6x+,14x43,則〃，(x)=廠一5x+6=(x—2)(x—3),

當xe(l,3)時，令/(x)>0,解得l<x<2,令"(x)<0,解得2cx<3,

所以網(wǎng)”的遞增區(qū)間為[1,2),遞減區(qū)間為[2,3],

故力(X)max=力(2)=￡+機,而1+〃?‘〃⑶=?+〃?,故無⑴</?⑶.

要使用力=。有兩個根，則代添0=-1<屋一5，

即實數(shù)機的取值范圍為(卜丁14,一9萬'.

r

20.(l)/(jc)=log4(4+l)-|,g(x)=]

11

⑵[l,+8){G-1}

【分析】(1)利用奇偶性求/(-x)+g(-x)=/(x)-g(x),通過解方程組法可得/(x),g(x);

(2)利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡方程(去對數(shù)號)，再換元設”2、，轉化為關于，的方程(a-1)/+收"1=0

(*)只有一個大于0的根，然后分類討論可得參數(shù)范圍.

【詳解】(1)因為〃x)+g(x)=log4(4'+l),①

X

所以〃-X)+g(-X)=log4(4+1)=log4(4,+1)-x,

又因為函數(shù)為R上的偶函數(shù)，g(x)為R上的奇函數(shù)，

所以f(x)-g(x)Tog4(4*+l)-x,②

由①②得〃司=1。8(4，+1)-1,g(x)=]

x

(2)由力(x)=/(x)-glog?(a-2+缶)=log4(4'Iog2(a-2'+

=；1唯(22'+1)--|-^log?(a-2"+6a)=0,

得log2號口=log?(a?2*+缶),化簡得(a-1)?2?*+缶?2*-1=0,

令r=2",貝打>0,即關于r的方程(a-1)產(chǎn)+公川-1=0(*)只有一個大于0的根.

①當。=1時，1=也>0,滿足條件；

2

②當方程(*)有一正一負兩根時，滿足條件，則二二<0,所以。>1；

a-\

③當方程(*)有兩個相等的正根時，

則A=2/+4(a-1)=0,解得〃=6一1或“=_癢1,

當a=6-l時，/=#+應>o,滿足條件.

2

當a=—>/3-1時，t=---——<0,舍去.

2(o-l)

綜上所述，〃=力-1或。21,即。的取值范圍為[，—){>/3-1}.

21.—+5

3

【分析】連接CD,CE,對稱性，設NCBE=NCBD=9,由直角三角形用。表示出8￡>,BE,BC,再求

出圓弧ME，ON的長，利用(0,2)求出夕的范圍，再利用導數(shù)可求得棧道總長度的最小值.

【詳解】連接CD,CE,由半圓半徑為1得C￡>=CE=1.

12

壩面

由對稱性，設NCBE=ZCBD=9,又CDA.BD,CELBE,

所以=CD=—1BC=C"D二」1,

tan?tan，sin。sin。

易知NMCE=/NCD=B,所以ME，NO的長均為。，

又4C=3,故AB=AC-BC=3-1e(O,2),故sin6€(2，l].

sin，13J

令疝4廣;且々/。,?)，設f(e)=5--l3+-^+2e,e/