高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第1節(jié) 函數(shù)的概念及其表示

慧E函數(shù)與基本初等函數(shù)

第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示

考試要求1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域2在實(shí)際情景

中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).3.

了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

||知識診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

知識梳理

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對于集合A中的任

意一個數(shù)X,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力在集合B中都有唯

概念

二確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱力A-8為從集合A到集

合B的一個函數(shù)

三對應(yīng)關(guān)系y=fM，x^A

要定義域工的取值范圍

素值域與x對應(yīng)的y的值的集合｝

2.同一個函數(shù)

⑴前提條件：①定義域相同;②對應(yīng)關(guān)系相回.

⑵結(jié)論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

⑴若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子

來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).

⑵分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值

域的并集.

常用結(jié)論

1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=/(x)的圖象至多有1個交點(diǎn).

2.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域：

(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.

(3次x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.

(4)若"r)=x。，則定義域?yàn)閧x|xWO}.

(5)正切函數(shù)y=tanx的定義域?yàn)椴凡?航+，，&WZ).

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=l與y=x°是同一函數(shù).()

⑵對于函數(shù)/：A-B,其值域是集合8.()

(3)若4=/?,B={x|x>0),/：x^y=\x\,其對應(yīng)是從A到B的函數(shù).()

(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域分別相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)錯誤.函數(shù)y=1的定義域?yàn)镽,而y=x°的定義域?yàn)閧x|x#O},其定義域

不同，故不是同一函數(shù).

⑵錯誤.值域可以為B的子集.

(3)錯誤.集合A中的元素0在集合8中無元素與之對應(yīng).

(4)錯誤.只有兩個函數(shù)的定義域，對應(yīng)關(guān)系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個

函數(shù).

2.(易錯題)下列圖形中可以表示以M={x[0Wx<l}為定義域，N={y|OWyWl}為

值域的函數(shù)的圖象是()

答案c

解析A中的值域不滿足,B中的定義域不滿足，D項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)

的定義可知C正確.

S/+lnx的定義域是.

3.（2020?北京卷涵數(shù)段）=

答案（0,+°°）

x+1W0,

解析要使函數(shù)有意義，需滿足

x>Q,

即x>0且xW-l,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）.

:一：；x〉2,用附））=3,則“二

4.（2021?浙江卷）已知函數(shù)於）=

［印一3|十%W2.

答案2

解析因?yàn)閍>2,所以小月）=6—4=2,

所以財#））=/◎）=1+。=3,解得。=2.

5.（易錯題）已知/（3）=x—1,則/U）=.

答案N—la2。）

解析令t={,貝If20,故x=?,

則財=P—1,所以/（x）=N—l（x以0）.

6.函數(shù)/U）=x—,在區(qū)間［2,4］上的值域?yàn)?

X

答案［?f

解析在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，

X

315

又A2)=],/(4)=1，

故於)的值域?yàn)椤?悖?15

□考點(diǎn)突破?題型剖析

I考點(diǎn)一函數(shù)的概念

1.下列各曲線表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是()

答案C

解析根據(jù)函數(shù)意義：對任意x值，y都有唯一值與之對應(yīng)，只有C不滿足.

2.(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為()

A.f(x)=x2—2x—1,g(s)=s2-2s—1

g(x)=W;

r-[x,X2O,

C.f(X)=\x2,g(X)='_

、X9X

D.人g(,x)=x-\[-x

答案AC

解析同一函數(shù)滿足①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系相同，只有A、C滿足.

3.已知集合P={x|0WxW4},Q={y|0WyW2},下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系了不

是函數(shù)的是.(填序號)

@f-Ly=；x；(2y：Ly=/；

2

九-y=鏟；?f：Ly=4.

答案③

22X

解析③中，f：%fy=鏟，xG[O,4]時，0,-。，故不滿足函數(shù)的定

義.

感悟提升(1)函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集3中

有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而B中有

可能存在與A中元素不對應(yīng)的元素.

(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同

[|考點(diǎn)二求函數(shù)的定義域

1.函數(shù)/U)=ln(4x-x2)+T工的定義域?yàn)?)

A.(0,4)

B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)

D.(—0°,0)U(4,+°0)

答案C

解析要使函數(shù)有意義，

[4x—x2>0,

加K

'卜一220,

解得0<xV4且xW2.

2.函數(shù)/)=而節(jié)的定義域是()

A.(l,2]B.[2,+°°)

C.[l,2)D.(l,2]

答案C

解析根據(jù)函數(shù)兀0的解析式，

f(x+2)(2—x)>0,

有卜>0,解得1?2,

[lnx20,

所以函數(shù)於)的定義域?yàn)閇1,2).

3.已知函數(shù)/(X)的定義域是[—1,1],則函數(shù)g(x)=的定義域是()

In：Q1-x)；

A.[0,1]B.(0,1)

C.[0,1)D.(0,1]

答案B

解析由題意可知函數(shù)段)的定義域?yàn)閇-1,1],即一1&W1,令一1W2X-1W1,

解得OWxWl.又由g(x)滿足1一%>0且1—xWl,解得x<l且xWO,所以函數(shù)

g(x)的定義域?yàn)?0,1).

4.已知函數(shù)/U)=一的定義域是R，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.&+8)B.(-12,0]

C.(-12,0)D.(-8,；

答案B

解析因?yàn)楹瘮?shù)八%)：々2^的定義域是R，所以依一3W0對任意實(shí)數(shù)

axl+ax—3

x都成立.當(dāng)a=0時，顯然成立；當(dāng)aWO時，需/=a2+12a<0,解得一12<a<0.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為一12<aW0.

感悟提升1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法

求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意

義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有

意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

⑴若已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)力g(x)]的定義域可由不等式

aWg(x)W。求出.

⑵若已知函數(shù)./[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],則於:)的定義域?yàn)間(x)在切上的

值域.

考點(diǎn)三求函數(shù)的解析式

例1求下列函數(shù)的解析式：

⑴已知網(wǎng)一sinx)=cos2x,求/(x)的解析式；

(2)已知/Q+3=x2+",求應(yīng)。的解析式；

(3)已知/U)是一次函數(shù)且3f(x+l)-2f(x-l)=2x+U,求<x)的解析式;

(4)已知小)滿足2f(x)+f(-x)=3x,求段)的解析式.

解(1)(換元法)設(shè)1—sinx=f,fW[O,2],

貝!]sinx=\~t.

；穴1-sinx)=cos2x=1-sin2x,

ze[O,2].

即/U)=2x—N,%e[0,2].

1

(2)(配湊法)?"x+二六無2+1

x

2

=(x+-\—2,

X

.\f(x)=x2—2,

xC(-8,-2]U[2,+00).

(3)(待定系數(shù)法).../a)是一次函數(shù),

可設(shè)於)=以+。3￡0)，

/.3[a(x+1)+Z?]—2[a(x-1)+/?]

=2x+17.

即OT+(5Q+〃)=2X+17,

[a…=2,17,解引4=2,

U=7,

?7/U)的解析式是外)=2x+7.

(4)(方程組法)x)=3x,①

...將X用一X替換，

得次-無)+於)=-3x,②

由①②解得加)=3x.

感悟提升函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法：由已知條件/(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后

以X替代g(x),便得/U)的表達(dá)式.

⑵待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)次g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值

范圍.

(4)方程思想：已知關(guān)于/(x)與妁或八一x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造

出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出於).

訓(xùn)練1⑴已知人4+1)=無-2《，則/)=.

答案x2—4x+3(xNl)

解析令t=3+l,貝卜21,x=(r—I)2,

代入原式有人。=?—1)2—2?—1)=岸一4，+3?21),

所以人%)=%2—4X+3(X21).

(2)已知巴。是一次函數(shù)，且狄2)—3/(1)=5,紈0)一/(-1)=1,則/U)的解析式為

答案外)=3x—2

解析..?/(X)是一次函數(shù)，

.?.設(shè)/(x)=Zx+b,kWO,

則｛2)=2女+b,f(\)=k+b,

的)=》,f(~\)=~k+b.

..力(2)~3f(1)=5,

2f(0)-/(-1)=1,

-(4Z+2A)-(3%+3匕)=5,

?<

''[2h-C-k+b)=1,

解得％=3,b=-2,."U)=3x—2.

⑶已知於)滿足/(x)一4七)=2%，則f(x)=.

fg2x4

答案一丁一石

解析:/U)一叫)=2x,①

以:代替①中的x,得妁一VU)=：,②

4

①+②X2得一31Ax)=2x+：

i2x4

.g)=-彳-.

||考點(diǎn)四分段函數(shù)

角度1分段函數(shù)求值

In2,xWO,

例2⑴(2021?棗莊二模)已知函數(shù)段)={,,：、''則人2021)=()

j\x3z,x0

22

A.-B.2eC.-;D.2e2

ee2

答案A

解析由於)=/(x—3)得於+3)=/(x),

因而八2021)=/(3X673+2)=A2)=A2—3)

2

，n2=--

(2)已知函數(shù)/^)={尸]11"(0'若實(shí)數(shù)”滿足人。)=穴4—1),則妁=()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由兀0的定義域，知a>0.

當(dāng)0<。<1時，由大a)=;(a—1),

即2a=1\[a,

解得a=；,則y(J=/(4)=8；

當(dāng)時，由大&)=八。-1),

得2a=2(a—1),無解.

綜上可知，勘=8.

角度2分段函數(shù)與方程、不等式問題

2戈，x>0,

例3(1)已知函數(shù):.八若大4)+/U)=o,則實(shí)數(shù)。的值等于()

、x十1,x0.

A.-3B.-lC.lD.3

答案A

解析?.?川)=21=2,：.f(a)+2=0,

??./5)=-2,

當(dāng)aWO時，./(a)=a+1=-2,.,.a=~3,

當(dāng)a>0時，.穴0=2"=-2,方程無解，綜上有。=一3.

⑵設(shè)函數(shù)段)=<：L了①則滿足於)+人一1)>1的x的取值范圍是

2r,x>0)〃

j111

解析由題意得：當(dāng)尤>彳時，2工+2廣？1恒成立，即%>彳；當(dāng)OaW彳時，2x+x—

；+1>1恒成立，即0<xg；當(dāng)xWO時,x+1+%一；+1>1,即一；<rWO.

綜上X的取值范圍是(一；，+8).

感悟提升1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)

間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.

2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式

分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值

范圍.

提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論.

訓(xùn)練2(1)(2021.肇慶二模)設(shè)函數(shù)/(%)=<^二:“若〃9)=4,則a=

尚

?得

=-1,與a>一5矛盾，舍去；

當(dāng):一ael,即aW-；時，//Q))=/Q_a)=2.a=4,則:一a=2,即a=—^,

13

滿足QW—a.所以々=—5.

(2)(2022?長沙調(diào)研)已知函數(shù)於尸比8"'X>X'則段)磯r+1)的解集為

Xr19XW1,

答案

解析當(dāng)xWO時，尤+1W1,f（x）＜f（x+\

等價于犬2—1＜（九+1）2—1,解得一；＜%W0,

當(dāng)OaWl時，x+l>l,

此時段）=尤2—1WO,

於+l)=k)g2(x+l)>0,

，0令W1時，恒有於)勺&+1),

當(dāng)x>l時，/(x)</,(x+l)

0k)g2X<10g2(X+1)恒成立，

綜上知，不等式外）＜用+1）的解集為（-J,+8）.

微點(diǎn)突破/函數(shù)的值域

求函數(shù)值域的一般方法

⑴分離常數(shù)法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）單調(diào)性法；（6）換元法;

⑺數(shù)形結(jié)合法；（8）導(dǎo)數(shù)法.

例求下列函數(shù)的值域：

⑴y=%2—2x+3,xG[0,3)；

e2x+l

⑶y=2x一心―1；

解（1）（配方法）y=N—2x+3=（x—1＞+2,

由xG[O,3）,再結(jié)合函數(shù)的圖象（如圖①所示）,

可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6）.

2x+]2(x-3)+7-

(2)(分離常數(shù)法)y=二

x—3=2x—3

7

顯然三w°'???yN2?

故函數(shù)的值域?yàn)?一8,2)U(2,+°°).

(3)(換元法)設(shè)t=\x—l,則％=月+1,

且￡20,

2

,y=2(產(chǎn)+l)-r=2(r—0+^>

V4/o

由『20,再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖②所示)，可得函數(shù)的值域?yàn)椋鄯Q，+8).

-o/

(4)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+°°),

,.〉=4+1與尸心一1在［1,+8)上均為增函數(shù)，

???尸心+1+心一1在［1,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

...當(dāng)X=1時，ymin=3，即函數(shù)的值域?yàn)椋劾玻?°°).

［分層訓(xùn)練,鞏固提升

|A級基礎(chǔ)鞏固

1.下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()

A*x)=einx,g(x)=x

—4

B：/(x)=.TW，g(x)=x~2

sin2x.

C抬尸京？g(x尸smx

D?x)=k|,g(x)=G

答案D

解析A中/(x)的定義域是(0,+8),g(x)的定義域是R,故不是同一個函數(shù)；

B中/U)的定義域是(一8,—2)U(—2,+°°),g(x)的定義域是R,故不是同一

個函數(shù)；

C中左)的定義域是卜IrW2+E,^GZ},g(x)的定義域是R,故不是同一個函數(shù);

D中的函數(shù)是同一個函數(shù).

2.(多選)下列所給圖象可以是函數(shù)圖象的是()

答案CD

解析圖象A關(guān)于x軸對稱，x>0時，每一個x對應(yīng)2個y,圖象B中祀對應(yīng)2

個y,所以A,B均不是函數(shù)圖象；圖象C,D可以是函數(shù)圖象.

3.函數(shù)y=bgz(2x—4)H二的定義域是()

A-

A.(2,3)B.(2,+8)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+8)

答案D

2%—4>0

解析由<'二’得x>2且x#3,故函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)U(3,+8).

3W0,

4.函數(shù)y=1+x—71-2x的值域?yàn)?)

'J，DB.(—8,|_

c.(|,+°°)D.I，+8)

答案B

解析設(shè)\l—2x=t,則%=亍，

所以y=l+g^--/=；(一產(chǎn)—2f+3)

=-；什1尸+2.

3

因?yàn)楹?,所以戶1

所以函數(shù)y=l+x—、1一2%的值域?yàn)?一8,1.

5.已知函數(shù)/U+1)的定義域?yàn)?-2,0),則/(2%—1)的定義域?yàn)?)

A.(—1,0)B.(—2,0)

C.（o,1）D（-；，0）

答案c

解析函數(shù)於+1）的定義域?yàn)椋ㄒ?,0）,即函數(shù)y=/u+l）中的x滿足一2VxV0,

此時一IVx+lVl,記f=x+l,貝UTVfVl,則角）的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）,也就

是於）的定義域是（一1,1）.

要求｛2%—1）的定義域，則一1<2%一1<1,

解得OVxVl,

的定義域?yàn)椋?,1）.

10g2X,X>0,

6.（2022.福州第一中學(xué)期中）設(shè)函數(shù)於）=,I,、…若人0>八一0,則

log-（—X）,x<0,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—l,0）U（0,1）

B.（—8,-1）U（1,+8）

C.（—l,0）U（l,4-o°）

D.（—8,-1）U（O,1）

答案C

解析當(dāng)a>0時，一aVO,

由a）得log2a>loR（，

2

所以2bg2a>0,解得a>l；

當(dāng)a<0時，-a>0,由a）得bg%—a）>log2（—a）,

2

所以2bg2（-a）V0,可得0V—aVl,

即一IVaVO.

綜上，a的取值范圍是（一1,O）U（1,+~）.

-%)—2x(xW0)，則fi—2)=.

7

答

案-

2

解析令x=2,可得./（；）+次-2）=4,①

令x=一；,可得人—2)—嗚)=-1,②

7

聯(lián)立①②解得八-2)=；

8.已知y=/(x)是二次函數(shù)，若方程貝x)=0有兩個相等實(shí)根，且/(x)=2x+2,則

於)=.

答案X2+2A:+1

解析設(shè)於)=0%2+―+以。/0),

則2ax-\-b=2x+2,

貝!|a=\,0=2.

??fix)=x2+2x+c.

又兀0=0,即N+2x+c=0有兩個相等實(shí)根.

J=4—4c=0,貝!］c=1.故於)=N+2x+1.

—v-+2

9.函數(shù)y==N(x>l)的值域是.

答案［2啦+1,+8)

解析令r=x—1,.*.r>0,x=t+1,

.(z+1)2-(r+1)+2fl+t+2

..y=---------------------=------=r+-+122勺2+1,

當(dāng)且僅當(dāng)f=:即t=/時取等號，

二函數(shù)的值域?yàn)椋?啦+1,+8).

(3x+5,x〈0,

10.已知函數(shù)/U)的解析式為兀r)=1x+5,0<xWl,

l-2x+8,x>\.

⑴求娘,/(—1)的值；

⑵畫出這個函數(shù)的圖象；

(3)求/U)的最大值.

解(l)v|>l,.,./(^=-2x|+8=5.

VO<-<1,/./(-)=1-+55元+1

71兀71

V-l<0,.\A—1)=—3+5=2.

(2)這個函數(shù)的圖象如圖.

在函數(shù)外)=3x+5的圖象上截取xWO的部分,

在函數(shù)段)=x+5的圖象上截取OVxWl的部分,

在函數(shù)外)=—2x+8的圖象上截取x>l的部分.

圖中實(shí)線組成的圖形就是函數(shù)為x)的圖象.

(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=l時，兀。取最大值6.

11.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑

行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路

面上，某種型號汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速

Mkm/h)滿足下列關(guān)系：y--^+mx+n(in,n是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

繪制的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)的關(guān)系圖.

⑴求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

⑵如果要求剎車距離不超過25.2m,求行駛的最大速度.

解(1)由題意及函數(shù)圖象，

’4()2

—+40,n+?=8.4,1

得彳602解得加=而,

TTT+60m-\-n—18.6,

k2(J0

?X2x

,,產(chǎn)麗+而

(2)令訴十而W25.2,得一72WxW70.

?.”20,,,.0<x<70.

故行駛的最大速度是70kWh.

|B級能力提升

12.(多選)(2022.重慶質(zhì)檢)若一系列函數(shù)的解析式