2023-2024學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

九年級(jí)數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)

1.本試卷共7頁(yè)，共兩部分，28道題，滿分100分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和答題紙上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱、姓名和準(zhǔn)考證號(hào).

3.試卷答案一律填涂或書寫在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效.

4.在答題紙上，選擇題用2B鉛筆作答，其他題用黑色字跡簽字筆作答

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1—8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.一元二次方程x?+3x-1=°的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.1,3,1B.1,3,—1C.0,—3,1D.0,—3,—1

2.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.已知點(diǎn)4（-1,乂）,3（2,必）在拋物線曠=3/上，則y,網(wǎng)的大小關(guān)系正確的是（）

A.X<%B.y=%c.%>當(dāng)D.不能確定

4.一元二次方程f_4x+3=0經(jīng)過配方變形為（x-2>=左，則k的值是（）

A.-3B.-7C.1D.7

5.將拋物線丁=公2+尿向下平移，關(guān)于平移前后的拋物線，下列說法正確的是（）

A開口方向改變B.開口大小改變C.對(duì)稱軸不變D.頂點(diǎn)位置不變

6.陀螺是一款常見的玩具.圖1為通過折紙制作的一種陀螺，圖2為這種陀螺的示意圖.若將圖2中的圖案繞點(diǎn)O

圖1圖2

A.30B.45C.60D.105

7.小明熱愛研究鳥類,每年定期去北京各個(gè)濕地公園觀鳥.從他的觀鳥記錄年度總結(jié)中摘取部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:

觀鳥記錄年度總結(jié)

2020年：觀測(cè)鳥類150種

2021年：觀測(cè)鳥類

2022年：觀測(cè)鳥類216種

設(shè)小明從2020年到2022年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x,則下列方程正確的是（）

A2x150%=216B.150/=216C.150+150%2=216D.150（l+x）2=216

8.如圖，在正方形A3CZ）中，4c為對(duì)角線，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（O°<aW9O°）,得到線段AE,連接

CE.設(shè)A8=a,CE=b,下列說法正確的是（）

A.若a=30°,則。B.有ci—45°,則/?=

2

C.若a=60°,則b=aD.若a=90。，貝防=2a

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.方程V-4=0的解是

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4（3,4）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)8的坐標(biāo)是.

11.請(qǐng)寫出一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)且開口向下的拋物線解析式.

12.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)根的值為.

13.如圖，在.ABC中，AB=AC,/a4C=50°,將ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到VADE.若ADJ.BC,則旋轉(zhuǎn)角

度數(shù)是.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。），中，以某點(diǎn)為中心,將右上方圖形----1”旋轉(zhuǎn)到圖中左下方的陰影位置,

則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是.

15.如圖，二次函數(shù)y=2（x—的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,若函數(shù)值丁＜1,則自變量》的取值范圍是

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（〃?,〃），稱關(guān)于x的方程/+〃氏+〃=（）為點(diǎn)?的對(duì)應(yīng)方程.如圖,

點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)點(diǎn)C(—2,2).

給出下面三個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

②在圖示網(wǎng)格中，若點(diǎn)（W均為整數(shù)）的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)；

③線段BC上任意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)方程都沒有實(shí)數(shù)根.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-23題，每題5分，第24-26題,

每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：X2-6X+2=0

18.如圖，Y4BCD的對(duì)角線47,8。交于點(diǎn)0,后口過點(diǎn)。且分別與4。,8。交于點(diǎn)瓦尸.

（1）求證：AAOE^ACOF；

（2）記四邊形ABEE的面積為5,平行四邊形ABC。的面積為邑，用等式表示加和邑的關(guān)系.

19.已知m是方程/一》-2=0的根，求代數(shù)式〃?（，〃-1）+5的值.

20.已知二次函數(shù)y=f-2x.

（1）在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

（2）點(diǎn)尸（-2,7）該函數(shù)圖象上（填“在”或“不在”）.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程》2+（“-1）%+加一2=0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程有一個(gè)根是正數(shù)，求加的取值范圍.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2,4）,8（—2,0）,將OA6繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CWB'（A',B'

分別是4、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.

（1）在圖中畫出△048',點(diǎn)4的坐標(biāo)為；

（2）若點(diǎn)M（m,2）位于.。鉆內(nèi)（不含邊界），點(diǎn)〃'為點(diǎn)M繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直接寫出

的縱坐標(biāo)”的取值范圍.

23.閱讀下面的材料并完成解答.

《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只

云長(zhǎng)闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬之和為

60步，問它的寬是多少步？書中記載了這個(gè)問題的幾何解法：

①將四個(gè)完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)為

____________步；

②中間小正方形的面積為平方步；

③若設(shè)矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為；

④由②③可得關(guān)于X的方程,進(jìn)而解得矩形田地的寬為24步.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)）=/+法+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,（3,0）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式：

（2）當(dāng)x>3時(shí)，對(duì)于x每一個(gè)值，函數(shù)>=》+〃的值小于二次函數(shù)y=/+"c+c的值，直接寫出〃的取值

范圍.

25.在投擲實(shí)心球時(shí)，球以一定的速度斜向上拋出，不計(jì)空氣阻力，在空中劃過的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一

部分.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,實(shí)心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離

x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，記出手點(diǎn)與著陸點(diǎn)的水平距離為投擲距離.

（1）小剛第一次投擲時(shí)水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m01234

豎直高度y/m1.62.12.42.52.4

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實(shí)心球運(yùn)行的豎直高度的最大值為___________1

(2)①求小剛第一次的投擲距離；

②已知第二次投擲出手點(diǎn)豎直高度與第一次相同，且實(shí)心球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)水平距離與第一次也相同.若小剛第二次

投擲距離比第一次遠(yuǎn)，則實(shí)心球第二次運(yùn)行過程中豎直高度的最大值比第一次(填“大”或“小”).

1,

26.已知二次函數(shù)y=]X+bx+l.

(1)若。=-1,求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸及最小值；

(2)若對(duì)于任意的0WXW2,都有丁之一1,求6的取值范圍.

27.如圖，在ABC中，AC=BC,ZACB=90°,點(diǎn)。在AB上(8。＜A。)，過點(diǎn)。作DE_L3C于點(diǎn)E,連接

AE，將線段E4繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段所，連接。咒.

(2)求證：FD=AB；

(3)DF交BC于點(diǎn)、G,用等式表示線段CE和尸G的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M不與原點(diǎn)重合.對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)用的對(duì)稱點(diǎn)為P',

點(diǎn)P關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)為Q,稱點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”.

M%

5?5'

44

JJ

22-

1一/P1-

.M/，

-\o12345X-1012345X

-1-1

備用圖

(1)如圖，已知點(diǎn)屈”,0),。"+1,1),點(diǎn)。是點(diǎn)「關(guān)于點(diǎn)知的“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”.

①當(dāng)f=2時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)。的位置，并直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②八2的長(zhǎng)度是否與f有關(guān)?若無(wú)關(guān)，求PQ的長(zhǎng)；若有關(guān)，說明理由：

(2)已知點(diǎn)A(3,4),Z\ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列)，點(diǎn)N是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的

“轉(zhuǎn)稱點(diǎn)”，在一ABC繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出此時(shí)。8的長(zhǎng).

九年級(jí)數(shù)學(xué)

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.一元二次方程好+3*-1=°的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.1,3,1B.1,3,—1C.0,—3,1D.0,—3,—1

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可.

【詳解】解：；一元二次方程V+3x—1=0,

二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為3,常數(shù)項(xiàng)為T,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

2.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中的圖形都找不到一點(diǎn)使得對(duì)應(yīng)圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180?與原圖形重合，即A、B、

C三個(gè)選項(xiàng)中的圖形，不是中心對(duì)稱圖形，而D中的圖形可以找到一點(diǎn)使得對(duì)應(yīng)圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180?與原圖形重

合，即D中的圖形是中心對(duì)稱圖形，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180?,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能

與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.

3.已知點(diǎn)4（-l,y）,B（2,必）在拋物線y=3/上，則x，%的大小關(guān)系正確的是（）

A.X<%B.乂=y2C.M>>2D.不能確定

【答案】A

［分析】分別把A（-l,%）代入解析式求解.

【詳解】把A（-l,y）代入y=3x2得y=3,

把8（2,%）代入y=3/得％=12,

■,3<12,

??必<必，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)上點(diǎn)的特征.

4.一元二次方程4%+3=0經(jīng)過配方變形為（x—2）2=女，則&的值是（）

A.-3B.-7C.ID.7

【答案】C

【分析】利用配方法將方程變形得（X-2）2=1,即可求解.

2

【詳解】解：X-4X+3=0.

移項(xiàng)得，x2-4x=-3>

配方得，f-4x+4=-3+4，

即（x-2）2=1,

.=1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查配方法，熟練配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

5.將拋物線y=^2+灰向下平移，關(guān)于平移前后拋物線，下列說法正確的是（）

A.開口方向改變B.開口大小改變C.對(duì)稱軸不變D.頂點(diǎn)位置不變

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.將拋物線丁=32+陵+0（。。0）向下平移，。的正負(fù)符號(hào)不變，

,開口方向不改變，故A不符合題意；

B.將拋物線丁=52+反+?。。0）向下平移，拋物線的形狀不變，

開口大小不改變，故B不符合題意；

C.將拋物線y=52+灰+c（ar（））向下平移，對(duì)稱軸不變，故C符合題意；

D.將拋物線丁=依2+瓜+c（ao（））向下平移，頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生改變，故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.陀螺是一款常見的玩具.圖1為通過折紙制作的一種陀螺，圖2為這種陀螺的示意圖.若將圖2中的圖案繞點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)x°可以與自身重合，則x的值可以是（）

圖1

A.30B.45C.60D.105

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義找出旋轉(zhuǎn)角即可求解.

【詳解】解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心外有8個(gè)5邊形，則相當(dāng)于把一個(gè)圓平均分成8分,

3600+8=45°,

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的定義，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.小明熱愛研究鳥類，每年定期去北京各個(gè)濕地公園觀鳥.從他的觀鳥記錄年度總結(jié)中摘取部分?jǐn)?shù)據(jù)如下:

觀鳥記錄年度總結(jié)

2020年：觀測(cè)鳥類150種

2021年:觀測(cè)鳥類

2022年：觀測(cè)鳥類216種

設(shè)小明從2020年到2022年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x,則下列方程正確的是（）

A.2x150%=216B.1501=216C.150+150x2=216D.15O（l+x）2=216

【答案】D

【分析】設(shè)小明從2020年到2022年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x,則2021年觀測(cè)鳥類150。+力種,

2022年觀測(cè)鳥類150（1+X）2種，據(jù)此列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)小明從2020年到2022年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x,

由題意得，15O（l+x）2=216,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在正方形A8C。中，AC為對(duì)角線，將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)口（0°<aW90°）,得到線段AE,連接

CE.設(shè)=CE=b,下列說法正確的是（)

B.若a=45。,則沙=缶

C.若a=60。，則匕=。D.若。=90°,則。=2。

【答案】D

【分析】當(dāng)。。90。時(shí)，過點(diǎn)E作E//LAC于"，根據(jù)勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)求出

AE=口，再根據(jù)不同的角度求出HE，根據(jù)CE>”石即可判斷A、B、C；當(dāng)a=90°時(shí)，利用勾股定理即

可判斷D.

【詳解】解：當(dāng)。。90°時(shí)，過點(diǎn)E作AC于，,

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZB=90?,

AC=y/AB2+BC2=yfla>

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AC=JL，

當(dāng)a=30°時(shí)，則==

22

CE>HE,

:.b>顯a>L，故A不符合題意；

22

當(dāng)a=45°時(shí)，則N/ME=N/ffi4=45?,

HE=AH=a,

'：CE>HE,

：.b>a>-a,故B不符合題意;

2

當(dāng)a=65°時(shí)，則NH4E=30?,

..?1.?6a

,,AH=-A.E=，

22

???HE=6AH=叵

2

CE>HE,

:?b>>L，故C不符合;

22

當(dāng)a=90°時(shí)，則CE=0402+^2=2〃,即。=勿，故D符合題意，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等等，正確作出

輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

第二部分非選擇題

二、填空題(共16分，每題2分)

9.方程V—4=0的解是.

【答案】百=2,x2——2

【分析】把方程化為“2=4,再利用直接開平方法解方程即可.

【詳解】解：爐一4=0,

x2—4>

解得：xt=2,x2=-2；

故答案為：為=2,x2=-2

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握利用直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4(3,4)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

【答案】(-3,-4)

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?：點(diǎn)4(3,4)與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-3,-4),

故答案為:(-3,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

11.請(qǐng)寫出一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)且開口向下的拋物線解析式.

【答案】y=_Y(答案不唯一)

【分析】根據(jù)題意，拋物線是y=a/形式，〃值為負(fù)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線是>=依2形式，。值為負(fù)即可，

故答案為：？=-/(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確寫出解析式.

12.若關(guān)于x的一元二次方程N(yùn)-2x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，〃的值為.

【答案】1

【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程R-2x+優(yōu)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知其判別式為0,據(jù)此列出關(guān)于根的方

程，解答即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程*2-〃+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

(-2)2-癡=0,

.*./??=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則可得

』=0,此題難度不大.

13.如圖，在中，AB=AC,ZBAC=50°,將一ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到VADE.若ADJ.BC,則旋轉(zhuǎn)角

的度數(shù)是.

【答案】25°##25度

【分析】由旋轉(zhuǎn)的定義可得N84。是旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NA4D=，NB4c=25°,即可求解.

2

【詳解】解：：AB=AC,AD1BC,Zfi4C=50°,

/.ABAD=-ABAC=25°,

2

二旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是25°,

故答案為：25°.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的定義、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義可得。是旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，以某點(diǎn)為中心,將右上方圖形“I----1”旋轉(zhuǎn)到圖中左下方的陰影位置,

【答案】（3,2）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，即可求得坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（3,2）,

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的定義、坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定旋轉(zhuǎn)中心

15.如圖，二次函數(shù)y=2（x—I）?+々的圖象與）'軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）,若函數(shù)值y<l,則自變量x的取值范圍是

【答案】0<x<2##2>x>0

【分析】先根據(jù)解析式求出對(duì)稱軸為直線x=l,進(jìn)而得到二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,再由二次函數(shù)開口向上，

則離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???二次函數(shù)解析式為y=2（x—iy+3

...二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=1,

?.?二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）,

二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,

;二次函數(shù)開口向上，

離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，

?,.當(dāng)y<1時(shí)，（）<x<2,

故答案為：（）<x<2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確根據(jù)題意求出二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,1）是解題的關(guān)鍵.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（加,〃），稱關(guān)于x的方程V+g+〃=o為點(diǎn)p的對(duì)應(yīng)方程.如圖,

點(diǎn)點(diǎn)8（1,1）,點(diǎn)。（一2,2）.

給出下面三個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

②在圖示網(wǎng)格中，若點(diǎn)尸（加,〃）均為整數(shù)）的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的點(diǎn)尸有3個(gè);

③線段8C上任意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)方程都沒有實(shí)數(shù)根.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②③

【分析】根據(jù)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)方程進(jìn)行求解即可判斷①；再根據(jù)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得機(jī)2=4〃，即

14/14、

可判斷②；求得直線8C的解析式為y=設(shè)直線上的任意一點(diǎn)為[。,-5。+耳），可得這個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)

方程為Y+改――Q+—=0,再利用判別式即可判斷③.

33

【詳解】解：■A（TO）,

.??點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)方程為x?-x=0，

解得X1=0,%2=1，

.,.點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故①正確；

若點(diǎn)（"4〃均為整數(shù)）的對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

b1-4ac=m2-4n=0>即nr=4/1，

?，小〃均為整數(shù)，

.?.當(dāng)〃=1時(shí)，團(tuán)=±2,符合條件，

當(dāng)〃=0時(shí)，/篦=0,符合條件，

...在圖示網(wǎng)格中，滿足條件的點(diǎn)尸有3個(gè)，故②正確；

設(shè)直線的解析式為》=丘+6,

'-2k+b=2

：.<,,

k+b=1

k=--

3

解得/,

Y

I3

14

直線BC的解析式為丁=—，

設(shè)直線BC上的任意一點(diǎn)為（a,—ga+g],

這個(gè)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)方程為V+ax-』a+2=0,

33

...,,,f14"|（2?52

?h2-4-ac=a2-4xlx——a+—=a+—---

I33；l3；9

V-2<?<1,

，——<b2-4ac<——，即A<0，

99

線段8c上任意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)方程都沒有實(shí)數(shù)根，故③正確，

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程、一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次

函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21題6分，第22-23題，每題5分，第24-26題,

每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：x2—6%+2=0

【答案】玉=3+幣,々=3—近

【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程，即可求解.

【詳解】解：X2-6X+2=0

a==-6,c=2,△=/-4ac=36-8=28-

.—b±yjb2—4ac6+2V7

??x=--------------=--------

2a2

解得：與=3+J7,%=3—J7

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，YABC。的對(duì)角線AC,交于點(diǎn)O,所過點(diǎn)。且分別與AD,8c交于點(diǎn)旦廠.

（1）求證：

（2）記四邊形ABEE的面積為耳，平行四邊形A8C￡>的面積為S2,用等式表示3和邑的關(guān)系.

【答案】（1）證明見解析

⑵A

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4）〃BC,。4=。。，進(jìn)而得到/。4七=/。。尸，ZOEA^ZOFC,

由此可利用AAS證明AAOE^ACOF；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到SAOE=SCOF，進(jìn)而可證明S,=S△.c=152.

【小問1詳解】

證明：?..四邊形A8C。是平行四邊形，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，

/.AD//BC,OA=OC,

：./OAE=/OCF,/OEA=/OFC,

AAO￡^ACOF（AAS）

【小問2詳解】

解：?.?△AOEgMOE,

??,uqAOE_-uqCOF，

,,Spq邊形ABFE=S四邊形A/。+S^AOE-S四邊形4.七=S四邊形人/。+S^COF—S^ABC,

=

又.^^ABCS四邊形ABCD'

S1--S2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角線互相

平分是解題的關(guān)鍵.

19.已知加是方程d-x-2=0的根，求代數(shù)式〃2（%-1）+5的值.

【答案】7

【分析】根據(jù)方程解的定義得到加一加=2,再根據(jù)加（加-1）+5=/一加+5進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：是方程/_了-2=0的根，

m2-m-2=0，

???m2—m=c2，

m（m-l）+5=m2-6+5=2+5=7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的

未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.

20.已知二次函數(shù)y=彳2—2元.

(1)在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；

(2)點(diǎn)P(-2,7)該函數(shù)的圖象上(填“在”或“不在”).

【答案】(1)作圖見解析

(2)不在

【分析】(1)利用五點(diǎn)法作圖即可；

(2)把％=-2代入函數(shù)解析式求得函數(shù)值即可判斷.

【小問1詳解】

解：如圖，

X0123

y30-103

【小問2詳解】

解：把％=-2代入函數(shù)解析式得，y=(-2)2-2x(—2)=4+4=8,

尸(一2,7)不在函數(shù)圖象上，

故答案為：不在.

【點(diǎn)睛】本題考查畫二次函數(shù)圖象及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

21.已知關(guān)于X的一元二次方程f+lm-Dx+w-Zn。.

(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若該方程有一個(gè)根是正數(shù)，求m的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)m<2

【分析】（1）利用根的判別式進(jìn)行求解即可；

（2）利用因式分解法解方程得到x=-l或x=2-加，再根據(jù)方程的一個(gè)根為正數(shù)進(jìn)行求解即可.

小問1詳解】

證明：由題意得：A=（m-1）'—4（m—2）=/?2—2m+l-4m+S-m2—6m+9=（m—3）">0.

...方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

解：Vx2+（m-l）x+m-2=0,

（x+l）［x+（m-2）］=0,

解得尤=-1或x=2—加，

???該方程有一個(gè)根是正數(shù)，

2—m>0,

m<2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程的知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（—2,4）,B（—2,0）,將.OAB繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA8'（A',B'

分別是A、8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）.

（1）在圖中畫出點(diǎn)A'的坐標(biāo)為;

（2）若點(diǎn)M（根,2）位于Q鉆內(nèi)（不含邊界），點(diǎn)為點(diǎn)M繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直接寫出AT

的縱坐標(biāo)〃的取值范圍.

【答案】（1）作圖見解析，（4,2）

（2）1</?<2

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作圖即可，再由旋轉(zhuǎn)后的圖形可得點(diǎn)A'的坐標(biāo)；

（2）先找出臨界值旋轉(zhuǎn)后的縱坐標(biāo)即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖，△OAE即所求，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,2）,

故答案為：（4,2）；

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，熟路掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)圖形是解題

的關(guān)鍵.

23.閱讀下面的材料并完成解答.

《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只

云長(zhǎng)闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？”意思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬之和為

60步，問它的寬是多少步？書中記載了這個(gè)問題的幾何解法：

①將四個(gè)完全相同的面積為864平方步的矩形，按如圖所示的方式拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長(zhǎng)為

____________步；

②中間小正方形的面積為平方步；

③若設(shè)矩形田地的寬為x步，則小正方形的面積可用含x的代數(shù)式表示為；

④由②③可得關(guān)于X的方程,進(jìn)而解得矩形田地的寬為24步.

【答案】①60；②144；（3）4x2-240x+3600;?4x2-240x+3600=144

【分析】①根據(jù)圖形可得，大正方形的邊長(zhǎng)是由一個(gè)矩形的寬和長(zhǎng)組成即可求解;

②先求得大正方形的面積，再減去四個(gè)矩形的面積即可求解；

③設(shè)矩形田地的寬為x步，則長(zhǎng)為（60—x）步，從而可得小正方形的邊長(zhǎng)為60-2%步，再利用正方形的面積公式

即可求解；

④由②③求得小正方形的面積相等即可得出方程.

【詳解】解：①由圖可得，大正方形的邊長(zhǎng)是由一個(gè)矩形的寬和長(zhǎng)組成，

?.?長(zhǎng)與寬之和為60步，

，正方形的邊長(zhǎng)為60步，

故答案為：60；

②???大正方形的面積為60x60=3600平方步，四個(gè)矩形的總面積為4x864=3456平方步，

...中間小正方形的面積為3600—3456=144平方步，

故答案為：144；

③設(shè)矩形田地的寬為x步，則長(zhǎng)為（60—%）步，

，小正方形的邊長(zhǎng)為60-x-x=60-2%步，

小正方形的面積為（60-2x）（60-2x）=-240x+3600,

故答案為：4/一240X+3600;

④由題意可得，4x2-240x+3600=144-

故答案為：4x2-240^+3600=144.

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式、列一元二次方程，理解題意，根據(jù)求小正方形的面積列代數(shù)式是解題的關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù),=/+"+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,0）,（3,0）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)x>3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=x+〃的值小于二次函數(shù)y=—+加c+c的值，直接寫出〃的取值

范圍.

【答案】（1）y=f—4%+3

（2）后—3

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)題意可知當(dāng)x>3時(shí)，x2-5x+3〉”恒成立，因此只需要滿足“不大于，當(dāng)x=3時(shí)，f一5x+3的值

即可.

【小問1詳解】

/、/、ol+b+c=0

解：把（1,0）,（3,0）代入丁=工+笈+。中得：\,

9+38+。=0

Z?=—4

解得〈C，

c=3

二次函數(shù)解析式為y=d-4x+3；

【小問2詳解】

解：當(dāng)x+〃<x?—4x+3時(shí),則5x+3>〃，

令S=》2一5x+3，

???函數(shù)S=V—5x+3開口向上，對(duì)稱軸為直線x=-Q=3，

22

...當(dāng)x〉2時(shí)，S隨x增大而增大，

2

:當(dāng)x>3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)N=x+〃的值小于二次函數(shù)y=f+法+。的值，

.?.當(dāng)x>3時(shí)，d-5x+3〉〃恒成立，

當(dāng)x=3時(shí)，X2-5X+3=32-5X3+3=-3>

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

25.在投擲實(shí)心球時(shí)，球以一定的速度斜向上拋出，不計(jì)空氣阻力，在空中劃過的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一

部分.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系X。），，實(shí)心球從出手到落地的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離

x（單位：m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，記出手點(diǎn)與著陸點(diǎn)的水平距離為投擲距離.

（1）小剛第一次投擲時(shí)水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m01234

豎直高度y/m1.62.12.42.524

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實(shí)心球運(yùn)行的豎直高度的最大值為m；

（2）①求小剛第一次的投擲距離：

②已知第二次投擲出手點(diǎn)豎直高度與第一次相同，且實(shí)心球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)水平距離與第一次也相同.若小剛第二次

投擲距離比第一次遠(yuǎn)，則實(shí)心球第二次運(yùn)行過程中豎直高度的最大值比第一次（填“大”或“小”）.

【答案】⑴2.5（2）①8m；②小

【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)即可求解：

（2）①用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再令y=0,求解即可:

r一h~

②根據(jù)題意設(shè)第二次投擲時(shí)水平距離X與豎直高度>■的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）-+言上，根據(jù)第二次投擲

時(shí)，水平距離尤與豎直高度），的拋物線開口比第一次大，可得-0.1<a<0,從而求得1.6<1.6-94<2.5,即可得

出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：由表格可得，實(shí)心球運(yùn)行的豎直高度的最大值為2.5m,

故答案為：2.5；

【小問2詳解】

解：①設(shè)小剛第一次投擲時(shí)水平距離x與豎直高度y的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x—3）2+2.5,

把（0,1.6）代入得，a（0—3）2+2.5=1.6,

解得a=-0.1,

函數(shù)解析式為y=-0.I（x-3）2+2.5,

2

當(dāng)y=0時(shí)，-0.1（x-3）+2.5=0,

解得士=-2（舍），入2=8，

二小剛第一次的投擲距離為8m；

②?.?第二次投擲出手點(diǎn)豎直高度與第一次相同，且實(shí)心球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)水平距離與第一次也相同，

???設(shè)第二次投擲時(shí)水平距離X與豎直高度y的函數(shù)關(guān)系式為y=。（工―3）2+卷土,

h

----=3,即Z?=-6a，

2a

b1=36/,

:c=1.6

，y=+1.6-9a,

???小剛第二次投擲距離比第一次遠(yuǎn)，

???第二次投擲時(shí)，水平距離x與豎直高度y的拋物線開口比第一次大，

-0.1v。v0,

/.1.6<1.6-9tz<2.5,

???實(shí)心球第二次運(yùn)行過程中豎直高度的最大值比第一次小，

故答案為：小.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

1,

26.已知二次函數(shù)丁=]/+力x+i.

（1）若人=-1,求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸及最小值；

（2）若對(duì)于任意的0WxW2,都有丁2-1,求人的取值范圍.

【答案】（1）對(duì)稱軸為x=l,最小值為g

（2）b<-2

【分析】（D把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求解；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得對(duì)稱軸-b->2,函數(shù)值的最小值A(chǔ)-cic,—h"~w-1，即可求解.

2a4<7

【小問1詳解】

解：當(dāng)b=-l時(shí)，y=g尤2-x+],

-22k72

???對(duì)稱軸為x=l,

...當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)值最小，最小值為T；

【小問2詳解】

解：a=—>0,

2

拋物線的開口向上，

?.?當(dāng)0WxW2,都有yN-l,

h

.,.對(duì)稱軸---->2,即匕W—2，

2a

.?.函數(shù)值的最小值4dc—°b~K-1,即上2,—上b-~W—1,

4a2

解得力<一2或622,

綜上所述，0W-2.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)及二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，在中，AC=BC,NAC8=90°,點(diǎn)。在A3上（3。<45）,過點(diǎn)。作。EJ_BC于點(diǎn)E,連接

AE，將線段E4繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段跖，連接。E.

A

D7

BEC

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：FD=AB；

（3）DF交BC于點(diǎn)、G,用等式表示線段CE和FG的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）作圖見解析

（2）證明過程見解析（3）=證明過程見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義作圖即可；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得NB￡>E=NB=45°,DE=BE，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=FE，

ZA￡F=90°,利用等量代換可得/AEP=NCE下，從而可得NAEB=NFED，可證△AEBqAFED，即可得出

結(jié)論；

（3）由（2）可得，可得A8=ED,利用勾股定理可得AB=ED=亞3。，再根據(jù)等腰直角三

角形的判定與性質(zhì)可得3E>=GE>,再利用勾股定理可得GO=05E，再由DG+GF=+血EC，即可得

出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下，

證明：VAC^BC,ZACB=90°,

Z.ZB=45。，

,/DELBC,

ZBDE=/B=45°,DE=BE，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AE=FE，ZAEF=90°,

：.ZAEC+ZCEF=9Q°,

又：ZAED+ZAEC=90°,

ZAED=ZCEF,

：.ZAED+NDEB=ZCEF+ZDEC,即ZAEB=/FED，

在^AEB和△FED中，

AE=FE

<NAEB=/FED,

BE=DE

.AEB^FED（SAS）,

：.AB^FD；

解：如圖，由（2）可得，△AEB^AFED，

；?AB=FD，

在ABC中，28c2=4^2,即A8=&BC，

??-DF=五BC，

:.DG+GF=y[2（BE+EC）,即DG+Gb=05E+夜EC，

在RtDEB中，2BE1=BD2，即BD=近BE，

?：ZFDE=ZB=45°,

:.NGDE=NBDE=45°,

：.BD=GD,

??-GD=近BE，

二GF=垃EC-

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰宜

角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性