北京市月壇中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上冊數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

北京市月壇中學(xué)2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1,則tanNBAC的值為（）

2.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并

且邊DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條邊DF=50cm,EF=30cm,測得邊DF離地面的高度AC=L5m,CD=20m,

則樹高AB為（）

A.12mB.13.5mC.15mD.16.5m

3.在一個不透明的袋子里裝有6個顏色不同的球（除顏色不同外，質(zhì)地、大小均相同），其中2個球為紅球，4個球為

白球，若從該袋子里任意摸出1個球，則摸出的球是白球的概率為（）

112

---

A.2B.6D.3

4.如圖，在4x4的正方形方格中，A3C和一。石尸的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上，貝（ItanZACB的值為

（）

AB,

1四

-c3

A.B.3-2D.

5.如圖，在高2m,坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要（)

A.2百mB.（2+273）mC.4mD.（4+2百）m

6.下列圖形中為中心對稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.平行四邊形C.拋物線D.五角星

7.如圖，在AABC中，D、E分別是AB、AC的中點，下列說法中不正確的是（）

1AHAp

A.DE=-BCB.——=——C.△ADE^AABCD.S:S^=1:2

2ABAC.?0ADt

8.如圖，AB為〉O的直徑，C為。上一點,弦AO平分NfiAC,交.BC于點E,AB=6,AL>=5,則4E的長為

()

B.2.8C.3D.3.2

9.如圖，AB是圓O的直徑，CD是圓O的弦，若NC=35°,則（

A.55°B.45°C.35°D.65°

10.若關(guān)于X的一元二次方程（根-1）/+5%+釈2一3m+2=0有一個根為0,則加的值（）

A.0B.1或2C.1D.2

11.如圖，將AABC繞點。倒,⑹旋轉(zhuǎn)180。得到ZVVB'C,設(shè)點A的坐標為（a,b），則點A'的坐標為（）

A.（一a,—b）B.n,—Z?—5/2jC.D.f—<2,—b+2-\/2j

3

12.在.RtABC,ZC=90，sinB=-,則sinA的值是（）

34八55

A.—B?一C,一D.一

5534

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，一段拋物線：y=-x（x-2）（04x42）記為Ci,它與x軸交于兩點O,A；將Ci繞點A旋轉(zhuǎn)180。得到C2,交x

軸于Ai；將C2繞點Ai旋轉(zhuǎn)180。得到C3,交x軸于點A2..............如此進行下去，直至得到C2018,若點P（4035,

m）在第2018段拋物線上，則m的值為.

14.若函數(shù)y=（加一1）"+"'是二次函數(shù)，則，〃的值為.

AR3EF

15.在aABCZ）中，NA5C的平分線跖交對角線AC于點E,交40于點凡若一=二，則一的值為

BC5BF

2

17.函數(shù)y=J-中，自變量x的取值范圍是

18.當(dāng)2=-時，關(guān)于X的方程式（。2―4卜2+（。-1"一2=0為一元二次方程

三、解答題（共78分）

19.（8分）元旦期間，某超市銷售兩種不同品牌的蘋果，已知1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果的進價之和為18元.

當(dāng)銷售1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果利潤分別為4元和2元時,陳老師購買3千克甲種蘋果和4千克乙種蘋果共用

82元.

（1）求甲、乙兩種蘋果的進價分別是每千克多少元？

（2）在（D的情況下，超市平均每天可售出甲種蘋果100千克和乙種蘋果140千克，若將這兩種蘋果的售價各提高

1元，則超市每天這兩種蘋果均少售出10千克，超市決定把這兩種蘋果的售價提高x元，在不考慮其他因素的條件下,

使超市銷售這兩種蘋果共獲利960元，求x的值.

20.（8分）今年“五?一”節(jié)期間，紅星商場舉行抽獎促銷活動，凡在本商場購物總金額在300元以上者，均可抽一次獎,

獎品為精美小禮品.抽獎辦法是：在一個不透明的袋子中裝有四個標號分別為1,2,3,4的小球，它們的形狀、大小、

質(zhì)地等完全相同.抽獎?wù)叩谝淮蚊鲆粋€小球，不放回，第二次再摸出一個小球，若兩次摸出的小球中有一個小球標

號為“1”，則獲獎.

（1）請你用樹形圖或列表法表示出抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）求抽獎人員獲獎的概率.

21.（8分）已知二次函數(shù)y=（x—l）2+n的部分點坐標如下表所示：

X013

->

y

（1）求該二次函數(shù)解析式；

（2）完成上表，并在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象

22.（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于。O,AB=AC,NBAC=36。，過點A作AD〃BC,與NABC的平分線交于點D,

BD與AC交于點E,與。O交于點F.

⑴求NDAF的度數(shù)；

⑵求證：AE2=EF*ED；

（3）求證：AD是。O的切線.

---------------zrD

23.（10分）一件商品進價100元，標價160元時，每天可售出200件，根據(jù)市場調(diào)研，每降價1元，每天可多售出

10件，反之，價格每提高1元，每天少售出10件.以160元為基準，標價提高m元后，對應(yīng)的利潤為w元.

(1)求W與m之間的關(guān)系式；

(2)要想獲得利潤7000元，標價應(yīng)為多少元？

24.(10分)在一個不透明的袋子中裝有紅、黃、藍三個小球，除顏色外無其它差別.從袋子中隨機摸球三次，每次摸

出一個球，記下顏色后不放回.請用列舉法列出三次摸球的結(jié)果，并求出第三次摸出的球是紅球的概率.

25.(12分)如圖，轉(zhuǎn)盤4中的6個扇形的面積相等，轉(zhuǎn)盤8中的3個扇形的面積相等.分別任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤4、8各1

次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針所落扇形中的2個數(shù)字分別作為平面直角坐標系中一個點的橫坐標、縱坐標.

(1)用表格列出這樣的點所有可能的坐標；

(2)求這些點落在二次函數(shù)y=/-5x+6的圖象上的概率.

26.某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品，每件成本40元，岀于營銷考慮，要求每件售價不得低于40元，但物價部門要求每件

售價不得高于60元.據(jù)市場調(diào)查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每漲1元，每天就少售

出2件，設(shè)單價上漲x元(xN0).

(1)求當(dāng)x為多少時每天的利潤是1350元？

(2)設(shè)每天的銷售利潤為V,求銷售單價為多少元時，每天利潤最大？最大利潤是多少？

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【分析】連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長，利用勾股定理的逆定理得到AABC為等腰直角三角形，即可求出

所求.

【詳解】如圖，連接BC,

由網(wǎng)格可得AB=BC=&,AC=V10?BPAB2+BC2=AC2,

??.△ABC為等腰直角三角形，

.,.ZBAC=45°,

則tanZBAC=l,

故選B.

【點睛】

本題考査了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

2、D

【解析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB.

【詳解】VZDEF=ZBCD=90°,ZD=ZD,

.,.△DEF^>ADCB,

.BCDC

EF-'

VDF=50cm=0.5m,EF=30cm=0.3m,AC=1.5m,CD=20m,

:.由勾股定理求得DE=4()cm,

.BC_20

,*03-04}

.,.BC=15米，

AAB=AC+BC=1.5+15=16.5(米).

故答案為16.5m.

【點睛】

本題考査了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型.

3、D

【分析】讓白球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即為所求的概率.

【詳解】解：因為一共有6個球，白球有4個，

42

所以從布袋里任意摸出1個球，摸到白球的概率為：-=

63

故選：D.

【點睛】

本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4、B

【分析】根據(jù)勾股定理求出ABC和DER的各邊長，由三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似可得FDECAB,

所以可得tanNACB=tanND莊，求值即可.

【詳解】解：由勾股定理，得BC=2夜，AC=2亞，F(xiàn)D=M，ED=6,

FDM立ED冊EF2叵

...-----=-----f=----，---=----，---=----f=-...，

AC2V52AB2BC2<22

FDEDEF

■■■FDECAB,:.NDFE=ZACB，

tanZACB=tanZ.DFE=—.

3

故選：B

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形，靈活利用正方形方格的特點是解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】如圖，由平移的性質(zhì)可知，樓梯表面所鋪地毯的長度為：AC+BC,

?.,在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=2m,

；.AB=2BC=4m,

AC=J42-2。=2V3，

.,.AC+BC=4+2A/3(m).

故選B.

點睛：本題的解題的要點是：每階樓梯的水平面向下平移后剛好與AC重合，每階樓梯的豎直面向右平移后剛好可以

與BC重合，由此可得樓梯表面所鋪地毯的總長度為AC+BC.

6、B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】A、等邊三角形不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、平行四邊形是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、拋物線不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、五角星不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

7、D

【解析】???在AABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，

，DE〃BC,DE=—BC,

2

A。Af

△ADE0°AABC,----=-----9

ABAC

.SA0E=（DE）2=1

,,sABJBC一4.

由此可知：A、B、C三個選項中的結(jié)論正確，D選項中結(jié)論錯誤.

故選D.

8、B

【分析】連接BD,CD,由勾股定理求出BD的長，再利用ABDBE。，得出匹=2四，從而求出DE的長，最后

DBAD

利用4E=AQ-OE即可得出答案.

【詳解】連接BD,CD

A3為O。的直徑

:.ZADB^90°

BD=7AB2-AD2=A/62-52=VT1

??,弦AD平分N8AC

,-.CD=BD=y/u

NCBD=NDAB

ZADB=ZBDE

:.^ABD二BED

DEDB

DEVn

即BN-7==-----

vn5

解得。

AE=AO-￡>E=5-U=2.8

5

故選：B.

【點睛】

本題主要考查圓周角定理的推論及相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握圓周角定理的推論及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

9、A

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得N84D=NC=35。，再根據(jù)圓直徑所對的圓周角是直角，可得

ZADB^90°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出NA3O的度數(shù).

【詳解】???NC=35°

:./BAD=NC=35。

TAB是圓O的直徑

：.ZADB^90°

二ZABD=1800-NADB-/BAD=55°

故答案為：A.

【點睛】

本題考査了圓內(nèi)接三角形的角度問題，掌握同弧所對的圓周角相等、圓直徑所對的圓周角是直角、三角形內(nèi)角和定理

是解題的關(guān)鍵.

10、D

【分析】把x=l代入已知方程得到關(guān)于m的一元二次方程，通過解方程求得m的值;注意二次項系數(shù)不為零,即m-1円.

【詳解】解：根據(jù)題意，將x=l代入方程，得：m2-3m+2=l,

解得：m=l或m=2,

又m-lRl,即mRl,

:.m=2,

故選:D.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的解定義和一元二次方程的定義.注意：本題中所求得的m的值必須滿足：m?l円這一條件.

11、D

【分析】點A與點A'關(guān)于點C對稱，C為點A與點A'的中點，根據(jù)中點公式可以求得.

【詳解】解：設(shè)H點坐標為(羽丁)

點A與點A關(guān)于點C對稱，

。為點A與點A的中點，

x+a=o

即\

=6

解得x=-a,y=-b+2>/2

故選D

【點睛】

本題考査了坐標與圖形變換，得岀點A、點A'與點C之間的關(guān)系是關(guān)鍵.

12、B

【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：siMA+si/BR解答.

【詳解】:?在鮮△ABC中,NC=90。,

.?.ZA+ZB=90°,

/.sin2A+sin2B=1>sinA>0,

3

VsinB=—,

【點睛】

本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、-1

【解析】每次變化時，開口方向變化但形狀不變，貝!J=；故開口向上時a=L開口向下時a=-l；與x軸的交點在

變化，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律拋物線Cn與x軸交點的規(guī)律是(2n-2,0)和(2n,0),由兩點式；=c,,.匸求得解析

式，把x=4035代入解析式，即可求得m的值.

【詳解】由拋物線G：y=-x(x-2),

令y=0,/.-x(x-2)=0,解得_QT_2

.?.與x軸的交點為O(0,0),A(2,0).

拋物線C2的開口向上，且與x軸的交點為，A(2,0)和Ai(4,0),

則拋物線C2：y=(x-2)(x-4)；

拋物線C3的開口向下，且與x軸的交點為.'Ai(4,0)和A2(6,0),

則拋物線C3：y=-(x-4)(x-6)；

拋物線C4的開口向上，且與x軸的交點為，A2(6,0)和A3(8,0),

則拋物線C4：y=(x-6)(x-8)；

同理：

拋物線C2018的開口向上，且與X軸的交點為.?.A2016(4034,0)和Azo*(4036,0),

則拋物線C2018：y=(x-4034)(x-4036)；

當(dāng)x=4035時，y=lx(-1)-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出第2018段拋物線的解析式.

14、-1

【分析】直接利用二次函數(shù)的定義分析得出答案.

【詳解】解：???函數(shù)y=(m—1)"八'"是二次函數(shù)，

/.ml+m=l,且m-1#),

m=-l.

故答案為-L

【點睛】

此題主要考査了二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)的次數(shù)與系數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

15、

8

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得出邊的關(guān)系，進而利用相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：???四邊形A5C。是平行四邊形，

:.AD//BC9

:./AFB=NEBC,

,??5廠是NA6C的角平分線，

:.NEBC=ZABE=ZAFBf

：.AB=AF,

.AB_AF_3

'：AD//BC,

:.△AFEs/xcBE,

.AFEF3

?.-——f

BCBE5

.EF3

??--=一；

BF8

故答案為：.

o

【點睛】

此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定

定理.

1

16、-

2

【分析】作CD丄AB于點D,先在RSACD中求得CD的長，再解RtABCD即得結(jié)果.

【詳解】如圖，作CD丄AB于點D：

sinA---,NA=30°,

AC

.1_CDr

'-2-V2>得，

T4

CD

sin8=——，NB=45°,

BC

O

0_4，

~T~1BC

解得=:

2

考點：本題考查的是解直角三角形

點評：解答本題的關(guān)鍵是作高，構(gòu)造直角三角形，正確把握公共邊CD的作用.

17>x>2

【分析】根據(jù)被開方式是非負數(shù)列式求解即可.

【詳解】依題意，得尤—220,

解得：x>2,

故答案為xN2.

【點睛】

本題考査了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時，

字母可取全體實數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時，被開方數(shù)

為非負數(shù).④對于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問題有意義.

18、六H

【分析】方程是一元二次方程的條件是二次項次數(shù)不等于0,據(jù)此即可求得a的范圍.

【詳解】根據(jù)題意得：al4#0,

解得：aW±l.

故答案是：W±L

【點睛】

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否

是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1.

三、解答題(共78分)

19、(1)甲、乙兩種蘋果的進價分別為10元/千克,8元/千克；(2)x的值為2或7.

【分析】(1)根據(jù)題意列二元一次方程組即可求解，(2)根據(jù)題意列一元二次方程即可求解.

【詳解】(D解：設(shè)甲、乙兩種蘋果的進價分別為。元/千克，〃元/千克.

a+b=lS

由題得：

'3(a+4)+49+2)=82

。=10

解之得：

'b=8

答：甲、乙兩種蘋果的進價分別為10元/千克,8元/千克

(2)由題意得：(4+x)(100-10x)+(2+x)(140—10x)=960

解之得：％=2,々=7

經(jīng)檢驗，％=2,%=7均符合題意

答：x的值為2或7.

【點睛】

本題考査了二元一次方程組和一元二次方程的實際應(yīng)用，中等難度，列方程是解題關(guān)鍵.

20、(1)詳見解析

【解析】試題分析：(1)根據(jù)列表法與畫樹狀圖的方法畫出即可。

(2)根據(jù)概率公式列式計算即可得解。

解：(1)畫樹狀圖表示如下：

開始

1234

/TxZ1X/Tx/4X

234134124123

抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種。

(2)?.?由(1)知，抽獎所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中有一個小球標號為“1”的

有6種，

.?.抽獎人員的獲獎概率為P=7：=>

21、(1)y=(x-1)2+1；(2)填表見解析，圖象見解析.

【分析】(1)將(2,2)代入y=(x-1)2+n求得n的值即可得解；

(2)再由函數(shù)解析式計算出表格內(nèi)各項，然后再畫出函數(shù)圖象即可.

【詳解】(1)???二次函數(shù)y=(x-1)2+n,當(dāng)x=2時，y=2,

.*.2=(2-1)2+n>

解得n=L

...該二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2+1.

(2)填表得

X.........-10123........

y.........52125........

畫出函數(shù)圖象如圖:

【點睛】

本題考査了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確求出函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

22、⑴NDAF=36。；⑵證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】(1)求出NABC、NABD、NCBD的度數(shù)，求出ZD度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NBAF和NBAD度

數(shù)，即可求出答案；

(2)求出AAEFSZ\DEA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可；

(3)連接AO,求出NOAD=90唧可.

【詳解】(1)：AD〃BC,

.,.ZD=ZCBD,

VAB=AC,ZBAC=36°,

:.ZABC=ZACB=|x(1800-NBAC)=72°,

.,.ZAFB=ZACB=72°,

?；BD平分NABC,

11

ZABD=ZCBD=-NABC=-x72°=36°,

22

.,.ZD=ZCBD=36°,

.?.ZBAD=180°-ZD-ZABD=180°-36°-36°=108°,

ZBAF=180°-NABF-ZAFB=180°-36°-72°=72°,

/.ZDAF=ZDAB-NFAB=108°-72°=36°；

(2)證明：VZCBD=36°,ZFAC=ZCBD,

/.ZFAC=36°=ZD,

VZAED=ZAEF,

.,.△AEF^ADEA,

AEED

?*?一f

EFAE

.*.AE2=EFXED；

(3)證明：連接OA、OF,

,.,ZABF=36°,

:.ZAOF=2ZABF=72°,

VOA=OF,

ZOAF=ZOFA=-x(180°-ZAOF)=54°,

2

由(1)知NDAF=36。,

:.ZDAO=36°+54°=90°,

即OA丄AD,

：OA為半徑，

；.AD是。。的切線.

【點睛】

本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是

解此題的關(guān)鍵.

23、(1)w=-Im2-400m+12000(0<m<20)；(2)標價應(yīng)為11元或170元.

【分析】(D表示出價格變動后的利潤和銷售件數(shù)，然后根據(jù)利潤=售價x件數(shù)列式整理即可得解;

(2)代入w=700()得到一元二次方程，求解即可.

【詳解】解：(1)w=(160+m-10)(200-Im)=-Im2-400m+12000(0<m<20)

(2)當(dāng)利潤7000元時,BPw=7000,

即-In?-400m+12000=7000,

整理得m2+40m-500=0,

解得mi=-50,m2=l.

當(dāng)m=-50時，標價為160+(-50)=11元，

當(dāng)m=l時，標價為160+1=170元.

二要想獲得利潤7000元,標價應(yīng)為11元或170元.

【點睛】

本題考査一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握計算法則列出之前的方程.

1

24、.

3

【分析】用列舉法求得所有的等可能結(jié)果，然后根據(jù)概率公式進行計算.

【詳解】解：依題意，共有6中等可能結(jié)果，分別是（紅，黃，藍），（紅，藍，黃），（黃，紅，藍），（黃，藍，紅