2023-2024學(xué)年浙江省湖州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省湖州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.橢圓4，+49必=196的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()

A.7,2*B.14,4,。C.7,2,與

D.14,4,—

7777

【正確答案】D

【分析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后得A從而可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率.

【詳解】由已知，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為二+乙=1,

494

則”7,6=2,c=149-4=3右,

所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=14、短軸長(zhǎng)為26=4、離心率為？=￡=之叵.

a7

故選：D.

2.已知平面a的一個(gè)法向量為歷=(1,2,1),4(1,0,-1)*(0,-1,1),且工定a,5ea,則點(diǎn)/到

平面a的距離為()

A.1B.旦C.@D.1

【正確答案】B

【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出.

【詳解】7^(1,0,-1),5(0,-1,1),

UUU1

,又平面a的一個(gè)法向量為萬(wàn)=。,2,1),

I荏?司

點(diǎn)/到平面a的距離為—J=

1?16

故選：B

3.在等差數(shù)列｛““｝中，首項(xiàng)％=3,前3項(xiàng)和為6,則%+%+%等于()

A.0B.6C.12D.18

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意求出公差d，從而可得出答案.

【詳解】設(shè)公差為d,

則4+。2+。3=+”=6,解得〃=—1,

所以4+%+。5=期+州=0.

故選：A.

4.已知點(diǎn)尸(-1,2)到直線/:4x-3y+，〃=0的距離為1,則機(jī)的值為()

A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15

【正確答案】D

【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.

【詳解】解：點(diǎn)尸(-1,2)到直線/:4x-3y+m=0的距離為1,

|-lx4-3x2+w|_

"也2+(-3)2-，

解得：加=15或5.

故選：D.

5.已知圓。：/+/-8》-8了+7=0,直線/："式+'-3加-2=0,/與C交于兩點(diǎn)則當(dāng)

|四|最小時(shí)，實(shí)數(shù)”?的值是()

A.2B.-2C.；D.—

22

【正確答案】C

【分析】由直線方程得直線所過(guò)定點(diǎn)P坐標(biāo)，由幾何性質(zhì)知當(dāng)CP與直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)

|加叫最小，由斜率關(guān)系可得相.

［詳解］直線/方程為mx+y-3m-2=0知直線/過(guò)定點(diǎn)尸(3,2),

圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4y+(y-4)2=25,圓心為C(4,4),半徑為5,

\CP\=7(4-3)*2+(4-2)2-75<5,P在圓內(nèi)部，

因此當(dāng)直線/與CP垂直時(shí)，|四|最小，

4-21

k---=2,-mx2=-1,m=-.

arp4-32

故選：C.

6.數(shù)學(xué)家歐拉1765在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知N8C的頂點(diǎn)分別為

4(1,3),8(2,4),C(3,2),則Z8C的歐拉線方程是()

A.x-y+]=0B.x-y+3=0

C.x+y-5=0D.3x+y-9=0

【正確答案】C

【分析】求出重心坐標(biāo)，求出邊上高和邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心

坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.

【詳解】由題可知，△Z8C的重心為G（2,3）,

可得直線的斜率為三=1,則邊上高所在的直線斜率為-1,則方程為y=-x+5,

1—2

直線NC的斜率為三|=-；，則ZC邊上高所在的直線斜率為2,則方程為y=2x,

y=-x+5510

聯(lián)立方程?.可得△ZBC的垂心為"

y=2x3'T

則直線GH斜率為一|-=-1,則可得直線G”方程為y-3=-（x-2）,

2--

3

故△ZBC的歐拉線方程為x+y-5=0.

故選：C.

7.已知等比數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為5“，則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.若$2022>0，則B.若邑023>°，則6>0

C.若邑022>0，則%>0D.若邑023>0，則。2>0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式分別討論邑。22>0和52023>0即可得答案.

【詳解】當(dāng)4=1時(shí)，其。22=2022《>0,故q>0,a2>0,

當(dāng)qHl時(shí)，$2022=""—->0,分以下幾種情況，

1-4

當(dāng)時(shí)，<0,此時(shí)4=6夕>0；

當(dāng)一］<0時(shí)，>0,此時(shí)聞<0,

當(dāng)0<9<1時(shí)，>0,此時(shí)%=%夕>0；

當(dāng)夕>1時(shí),>0,此時(shí)。2=?？?gt;0；

故當(dāng)S2022>0時(shí)，q與。2可正可負(fù)，故排除A、C.

當(dāng)夕=1時(shí)，$2023=2023%>0,故4>0,%>0；

八_2023\

當(dāng)［Hi時(shí)，S，023=」------->0，由于1-/°23與l-g同號(hào)，故4>0,

1-g

所以g=%夕符號(hào)隨4正負(fù)變化，故D不正確，B正確；

故選：B

2

8.雙曲線土/-匕v=1(〃?>0,">0)的離心率是2,左右焦點(diǎn)分別為百,與P為雙曲線左支上一

tnn

點(diǎn)，則陶的最大值是()

A.-B.2C.3D.4

2

【正確答案】C

【分析】結(jié)合焦半徑公式討論分式函數(shù)的最大值.

\ppI\cx—d2/72

【詳解岫焦半徑公式得禺=P-=1------=1=一，Xe(7,一勾，則當(dāng)X=-。時(shí),

1^1\ex+aex+a2

故選：C.

二、多選題

v-22

9.已知曲線C的方程為v二=貝U()

m2m4-5

A.曲線?？梢员硎緢A

B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

c.曲線c可以表示焦點(diǎn)在了軸上的橢圓

D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在V軸上的雙曲線

【正確答案】CD

【分析】由橢圓、雙曲線、圓的方程定義列式求解判斷.

【詳解】對(duì)A,若曲線表示圓，則有加=2機(jī)+5>0,無(wú)解，A錯(cuò)；

m>0

對(duì)BC,若曲線表示橢圓，則有2〃?+5>0=加>0,此時(shí)2加+5>冽，則曲線。表示焦點(diǎn)

mH2m+5

在y軸上的橢圓，c對(duì)B錯(cuò)；

對(duì)D,若曲線表示雙曲線，則有機(jī)(2〃?+5)<0=>-|<加<0,此時(shí)加<0<2加+5,此時(shí)曲線

C表示焦點(diǎn)在》軸上的雙曲線，D對(duì).

故選：CD.

10.已知數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S,,則下列說(shuō)法正確的是()

A.若S,=2/+l,則｛““｝是等差數(shù)列

B.若則｛6｝是等比數(shù)列

C.若｛4｝是等差數(shù)列，則凡g二2為⑼

D.若｛《,｝是等比數(shù)列，則SgyBopS：%

【正確答案】BC

【分析】由前”項(xiàng)和求得。“后判斷AB,根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)判斷CD.

【詳解】選項(xiàng)A,2時(shí)，dn—Sn—Sn_1=+1—2(w—1)*,—1=4/7—2,

%=S[=3,a2=6t4=10,a3-a2^a2-ax9{%}不是等差數(shù)列，A錯(cuò);

選項(xiàng)B,q=S]=-；，

〃N2時(shí)，a?=5n-5?_,=（1）--l-（1）-'+1=（-1）",%=:，%=-g，

?=-；=￡■,｛對(duì)｝是等比數(shù)列，B正確；

選項(xiàng)C,若｛對(duì)｝是等差數(shù)列，則幾§=199（"；"皿）=199?[00=199%”C正確；

選項(xiàng)D,若?！?1,則S”=〃，

%$=99x101=9999,而黑。=100?=10000>9999,D錯(cuò)誤，

故選：BC.

2222

11.已知耳，鳥分別為橢圓C：W+與=19>%>0）和雙曲線E：*-4=1（劭>0也>0）的公

ah。0b。

共左，右焦點(diǎn)，P（在第一象限）為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且/耳犀=60。，直線產(chǎn)入與雙曲線

交于另一點(diǎn)。，若|明卜2|居。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.耳。的周長(zhǎng)為皿B.雙曲線E的離心率為姮

53

C.橢圓C的離心率為恒D.\PF｝\=4\PF2\

【正確答案】BCD

【分析】設(shè)|。3|=f,則|叫|=力,由雙曲線定義得歸周=2f+2%,|0制=f+2%,再由余

弦定理得劭=夕，然后由橢圓定義得。=夕，利用余弦定理求得c=M，再求三角形周長(zhǎng),

求出橢圓、雙曲線的離心率，從而判斷各選項(xiàng).

【詳解】設(shè)|0￡|=f,則歸瑪|=2f,附|=21+2旬，網(wǎng)=/+2%,

△做。中由余弦定理|。耳『^\PFtf+\PQf-2\PF｝\\PQ\cosAFtPQ,得

（Z+2%）2=（2z+2a（J?+9/2—2（2旬+2/）,3t,cos60°,化簡(jiǎn)得%=3f,

|尸耳|=2￡+24=8f=4|尸瑪I，D正確；

又2。=|?制+|尸g|=10f,所以a=5f,又耳|=￡+2/=7,，

1Q

△建。的周長(zhǎng)為8+3f+7f=18/=?a,A錯(cuò)誤；

△尸耳入中，|耳凰=2c,由余弦定理得4c2=(刖)2+(2/)2-2x8/x2,xcos60。，所以c=Vi瓦，

因此雙曲線的離心率為弓=￡=膽=星，B正確;

旬3f3

橢圓的離心率為ez=￡=叵=姮，C正確，

2aSt5

故選：BCD.

12.在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD—44CA中，點(diǎn)尸滿足而=義西+〃次,7e［0,l］，

［0,1］,則以下說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)a=〃時(shí)、4cl±BP

B.當(dāng)4+〃=1時(shí)，線段CP長(zhǎng)度的范圍是與◎

C.當(dāng)4+〃=1時(shí)，直線3與平面8CC圈所成角的最大值為］

D.當(dāng)〃=］時(shí)，存在唯一點(diǎn)尸使得直線。P與直線/C所成的角為］

【正確答案】ABD

【分析】以。為x，F(xiàn)，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用空間向量法判斷直線

垂直，求線段長(zhǎng)，線面角、異面直線所成的角，從而判斷各選項(xiàng).

【詳解】如圖，以。為x/,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,則/(1,0,0),

2(0,0,1),C,(0,1,1),C(0,l,0),3(1,1,0),

UULIuuuium_

由。尸=2￡)A+〃D4得加=(〃,(U),即尸(〃,0,幻，

選項(xiàng)A,力=〃時(shí)，BP=(//-1,-1,2),布=(-1,1,1),AC^BP=1-/J-1+A=0,AC,IBP,

A正確;

選項(xiàng)B,CP=(//,-1,2),冏山2+]+無(wú)=加+]+(1_〃)2=j2(q_；)2+|,

A€[OJ],所以(必-^)26[°，/，]。尸]€^，后],B正確；

選項(xiàng)C,平面8CG4的一個(gè)法向量是7=(0,1,0)，

c°W＞周/南

設(shè)直線CP與平面BCG4所成角為凡則sine=宙，由選項(xiàng)B得，sin?e[曰,當(dāng)

sm0＜-^-＞三，C錯(cuò)誤；

23

選項(xiàng)D,〃=g,尸(；,(U),而=(g,0M),^C=(-1,1,0),

￡

2兀11

〈甌就后市=■■.----=COS-=—2=+一

又4€[0,1],.?.2=；,即P點(diǎn)唯一，D正確,

故選：ABD.

三、填空題

13.已知直線《平分圓C:(x-2)2+F=2且與/2：6x+4y-l=0互相平行，則4的距離是

【正確答案】小叵##工內(nèi)

2626

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行線間距離的意義，求出圓c的圓心到直線4的距離作答.

【詳解】因?yàn)橹本€4平分圓C:（x-2）2+/=2,于是直線4過(guò)圓心C（2,0）,

uu，、一,匚*1|6x2+4xo-l|1K/L3

所以4，的距離”=^~~

V62+4226

故Ml

26

14.在等比數(shù)列中，%=8,牝=1,則數(shù)列｛“,｝的前5項(xiàng)和是.（用具體數(shù)字

作答）

【正確答案】3968

【分析】利用偈=8嗎2=1求出通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得答案.

【詳解】設(shè)公比為4,因?yàn)橘?8嗎，=1,所以解得4=1%=2"=2048；

[qq=12

2048x（1-1]

所以數(shù)列｛《,｝的前5項(xiàng)和為S$=------=3968.

1--

2

故3968.

15.已知拋物線C:f=4y,其焦點(diǎn)為尸,P。是過(guò)點(diǎn)廠的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,3）,當(dāng)

|^|+M取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.

【正確答案】整

3o

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線X=-1的垂線PP,垂足為P,則|P/|+|PF|=|P/|+|PP|,由

圖可知當(dāng)4RP'三點(diǎn)共線時(shí)，|以|+|「可取最小值，由此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得直線戶。

的方程，聯(lián)立方程求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得解.

【詳解】拋物線C:f=4y的焦點(diǎn)產(chǎn)（0,1）,準(zhǔn)線為x=-l,

如圖，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=-l的垂線PP，垂足為P，

貝"尸尸|=|尸尸’|,

所以內(nèi)=|叫+|PP閆叫,當(dāng)且僅當(dāng)4P,P'三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào),

所以當(dāng)|P/|+|PF|取最小值時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

當(dāng)x=3時(shí)，y=^,即《3,0，

2_1

所以“45,

所以直線P。的方程為y*x+l,

’51

y=—x+14

聯(lián)立廠12,消V得3/_5X-12=0,解得X=3或X=-「

2_3

故答案為芍

16.已知平面四邊形/8CZ)中，Z818O,C8_LC￡>,Z8=27J,8C=2,C8=CZ),現(xiàn)將△8。

沿80折成一個(gè)四面體，則當(dāng)四面體的外接球表面積最小時(shí).，異面直線/C與8。所成角的

余弦值是.

【正確答案】—

14

【分析】由外接球的性質(zhì)及外接球表面積最小確定球心在中點(diǎn)上，則可由半徑確定C的

位置，最后建系由向量法求線線角的余弦值.

【詳解】設(shè)“。的中點(diǎn)為E,8。的中點(diǎn)為尸，，跖〃/氏

,?AB1BD,CB1CD,AB=2區(qū)BD=2,CB=CD,

二CFLBD,CB=CD=42,AD=亞+(2可=4,EF=^AB=VJ,

FC=FB=FD=皇=1

V2-

四面體的外接球心在過(guò)E且垂直于面/8D的直線上，又四面體的外接球表面積最小，即外

An

接球的半徑最小，則當(dāng)球心為￡時(shí)，半徑/="=辛=2最小.

EC1=r=EF2+FC2，AEF1CF,由EFflB。=F,EF、BDu平面ABD,：.B_1"平

面ABD,

則可建立空間直角坐標(biāo)系尸-xyz如圖所示，則8(1,0,0),/(1,-26,0),0(-1,0,0)C。,0』),

5D=(-2,0,0),^C=(-1,2^1),

BDAC

.?.異面直線ZC與8。所成角的余弦值為

14

四、解答題

17.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,3),8(2,5),且圓心C在直線x-y+1=0上

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過(guò)點(diǎn)尸(4,6)與圓C相切的直線方程.

【正確答案】(l)(x—2>+(y—3盧=4

(2)x=4和5%一12歹+52=0

【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=/(r>0),根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求出

a,b，r,即可得解；

(2)分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為

y-6=A(x-4),根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出k,即可得解.

【詳解】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5-。尸+(y-b)2=/(r>0),

a2+(3-h)2=r2ja=2

由題意得<(2-a)2+(5-6)2=，n*=3,

a—b+\=01/=4

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-2)2+()，-3)2=4；

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，x=4符合題意，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)該斜率為火，此時(shí)直線方程為了-6=斤卜-4),

即云一夕-必+6=0,圓心(2,3)到該直線的距離為廠，

|2k-3-4%+6|5

即d=J—T=尸」=2,解得k=g

Jl+公12

此時(shí)直線方程為5x-12y+52=0,

故所求直線方程為x=4和5x-12y+52=0.

18.已知等差數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S3=15,%=8,設(shè)數(shù)列抄,｝的前〃項(xiàng)和為々，且

P?=2"+'-2.

⑴求數(shù)列㈤｝和抄“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%=q也,，求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為7；.

【正確答案】（1）/=3〃-1,b“=2"

（2）7；,=（3?-4）>2,'"+8

【分析】(1)由條件求等差數(shù)列基本量，即可求通項(xiàng)公式，”由與勺的關(guān)系求得:

(2)由錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】（1）等差數(shù)列｛4“｝中S3=3出=15n4=5,d=4-42=3,

/.an-a2+（〃-2）M=3〃-l.

+l

當(dāng)〃22,b?=P?-Pn_t=2"-2"=2",又4=4=2=*故6“=2"；

（2），="也=（3"-1>2",

1,=2x2+5x22+…+（3”-1>2"①，

23,,+1

2Tn=2x2+5x2+---+（3n-l）-2@,

則①-②得

-7；=2x2+3x22+---+3-2"-（3n-l）-2^'=^-（3n-i｝2"+|-2=（1-3/?）2-8.

T?=（3M-4）>2"”+8.

19.在四棱柱4BCD-4BTCQI中,底面ABCD為平行四邊形，且AB=4,AD=2,NBAD=60°,

ZBAA,=90°,/力/4=60°,BD、=屈.

(1)用刀，而，羽表示西，并求的長(zhǎng)；

(2)若￡為片G中點(diǎn)，求異面直線8。與CE所成角的余弦值.

【正確答案】(1)西=怒+亞-羽，|羽卜5

55^987

-------

1974

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則求解；

(2)用Z8,力。,力4表示在，計(jì)算8。1?。石，由向量法求異面直線所成的角.

【詳解】（1）BD[=AD[-AB=AA[+AD-AB,

AA}?ZZ)=%4|x2xg=%4.

AB-AA.=0,AD-AB=4x2x—=4,

2

’‘12‘2'一22一一‘‘-------，‘??’’一?,

BD{=47=物+AD+AB+2AACAD-2AB-AAX-2ADAB>

即47=訴+4+16+2畫-8,解得岡=5；

(2)由(1)知西=麴+而一而，區(qū)=西+甲=而

AD-AA,-ABAA,+-AB-Ab

112

V71

即?詞y_55^/^麗

設(shè)異面直線與所成角為e,則cose=k°s（西,CF）|=.

BD,CE網(wǎng)祠々47x21—1974

20.西部某地為了踐行“綠水青山就是金山銀山”，積極改造荒山，進(jìn)行植樹造林活動(dòng)，并適

當(dāng)砍伐一定林木出售以增加群眾收入.當(dāng)?shù)?022年年末有林場(chǎng)和荒山共2千平方公里，其中

荒山1.5千平方公里，打算從明年（2023年）起每年年初將上年荒山（含上年砍伐的林區(qū)面

積）的16%植樹綠化，年末砍伐上年年末共有林區(qū)面積的4%以創(chuàng)收.記2023年為第一年，a“

為第〃年末林區(qū)面積（單位：千平方公里）.

⑴確定《，與%的遞推關(guān)系（即把/用表示）;

（2）證明:數(shù)列｛凡-1.6｝是等比數(shù)列，并求4；

（3）經(jīng)過(guò)多少年，該地當(dāng)年末的林區(qū)面積首次超過(guò)1.2千平方公里？

【正確答案】⑴勺=0.8%+0.32（〃22）

（2）證明見解析,=1.6-1.1x0.8"

（3）經(jīng)過(guò)5年，該地當(dāng)年末的林區(qū)面積首次超過(guò)1.2千平方公里

【分析】（1）根據(jù)題意分析即可得出答案:

得勺=0.8%T+0.32（〃22）,證明上號(hào)為定值即可，再根據(jù)等比數(shù)列的通

(2)由(1)

%T.6

項(xiàng)即可得出答案；

(3)由題意可得見2L2,解不等式即可.

【詳解】(1)ax=1.5xl6%+0.5x(l-4%)=0.72,

/=(2-3)x16%+a,-x(l-4%)=0.8%+0.32,

an=0.8i/n_,+0.32(w>2)；

(2)a?-1.6=0.8an_1+0.32-1.6=0.8(a,-1.6),

./二嗎=08且°I.6=-0.88W0,

所以數(shù)列也-1同是以0.8為公比的等比數(shù)列，

.?.%-1.6=(%-1.6)x08i,

所以%=1.6-1.1x08'；

(3)由(2)知a“=1.6-1.1x0.8"21.2,

4

解得0.8〃4百，

4

當(dāng)〃=4時(shí)，，0.84=0.4096>—,

4

當(dāng)〃=5時(shí)，0.85=0.32768<—,

經(jīng)過(guò)5年，該地當(dāng)年末的林區(qū)面積首次超過(guò)1.2千平方公里.

21.已知梯形Z8C。中，ABHCD,AB=AD=*D,4Z)C=60。，方=2比(2>0).現(xiàn)

沿4E將V4OE折起至NOE（。'史平面/8CE）.

圖1

圖2

（1）若8C_LOZ>（如圖1）,求義的值；

1TT

（2）當(dāng)2=5且二面角O-ZE-8的平面角為§時(shí)（如圖2）,求。9與平面ZT/E所成角的正

弦值.

【正確答案】（1）2=2

⑵4

2

【分析】（1）由線面垂直，線線垂直相互轉(zhuǎn)化，尋求得到E點(diǎn)的位置，進(jìn)而由平面幾何知識(shí)

得到2=2.

（2）首先確定E點(diǎn)位置，然后建系，利用題中已知二面角，求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得

平面。ZE的法向量，代入線面角公式即得結(jié)果.

【詳解】（1）由題意知）在平面N8CE的射影落在折痕4E的垂線上，記為7,則。7,平

面Z8CE,又BCu平面/5CE,:.DT工BC.

又BCLD'D,D'DcDT=D',D'D,。7<3平面。'。7',；.BC上平面

又DTu平面DD'T,BCLDT.

在平面川38中，AE//BC,

?.F8//C。，.?.四邊形N8CE為平行四邊形，即有N8=CE,

1一一

VAB=AD=-CDfDE=AEC(A>0),

：.A=2.

(2)連接ZE和B。，交于點(diǎn)O,由題意可知四邊形為菱形;

折起后，OD'LAE,OBtAE,

TTIT

?二面角。'-ZE-8的平面角為；，

33

以02,0E所在直線分別為x，V軸，。為原點(diǎn)，如圖建系，

［所?荏=0I廠

則1{——,13

th-AD'=0—x+y+yz=0

可取而=卜百,0,1).

又灰=理工

設(shè)。C與平面。％E所成角為。,

9A3

則sin。=|cos<￡>rC,/w>|=22=叵

2x3夜2

V2

故zrc與平面。/E所成角的正弦值

2.

22

22.已知橢圓Cf+%=1(">"O)的左右焦點(diǎn)分別為耳6，點(diǎn)(跖&)在橢圓C上，其

左右頂點(diǎn)分別為48,尸為橢圓C的短軸端點(diǎn)，且cos/耳PQ=；.

(1)求橢圓。的方程;

(2)設(shè)。為橢圓C上異于48的任意一點(diǎn)，設(shè)直線與直線x=13交于點(diǎn)R,過(guò)R作直線8。

的垂線交橢圓C于兩點(diǎn).

(i)設(shè)直線“。與MN的斜率分別為證明：鳥為定值，并求出該定值;

K

(ii)求OMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.

【正確答案】⑴工+廿=1

96

(2)(i)證明見解析，定值為|(ii)當(dāng)

【分析】(1)列出關(guān)于a,b,c的方程組，解之可得橢圓方程；

(2)(i)設(shè)。(%,%),分別求出e°,小與。的積即得證;

(ii)直線NQ：y=Mx+3),得R(13,16k),得出直線MM方程后可得直線MM過(guò)定點(diǎn)，求

1X7X