2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第1節(jié)：函數(shù)及其表示(學(xué)生版)

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第1節(jié)函數(shù)及其表示

考試要求1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映

射的概念；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表

法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應(yīng)用(函數(shù)分段不超過

三段).

I知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

|知識(shí)梳理

1.函數(shù)的基本概念

(1)函數(shù)的定義

給定兩個(gè)非空數(shù)集Z和8,如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系/,對(duì)于集合/中的任何一個(gè)

數(shù)x,在集合8中都存在唯二的數(shù)/(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系/叫作定義在

集合力上的函數(shù)，記作/：或xWZ,此時(shí)x叫作自變量，集合/叫

作函數(shù)的定義域，集合｛Ax)|xG/｝叫作函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(3)表示函數(shù)的常用方法有：列表法、圖像法和解析法.

2.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間,有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的史集，值域是各段值

域的并集.

常用結(jié)論

L函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射.

2.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=/(x)的圖像至多有1交點(diǎn).

3.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域

(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.

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(3)/U)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.

(4)若/(x)=x。，則定義域?yàn)閧x|xWO}.

(5)正切函數(shù)尸tanx的定義域?yàn)椤?碗十子.

診斷自測

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“義”)

(1)函數(shù)_y=l與y=x。是同一函數(shù).()

(2)對(duì)于函數(shù)fA-B,其值域是集合氏()

(3辿%)=3一3+、2—x是一個(gè)函數(shù).()

(4)若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等.()

2.若函數(shù)的定義域?yàn)椤?{x|-2WxW2},值域?yàn)镹=(y|0《yW2},則函數(shù)

_y=/(x)的圖像可能是()

?.皿3”（xWO）,,1丄

3.（2021?貴陽診斷）已知函數(shù)*》）=■則九心J」=（）

10g3X（X>O）,

A.-lB.2C.SD.-

2

4.(2020?北京卷)函數(shù)/(x)=丄+Inx的定義域是_________.

x+1

5.(易錯(cuò)題)已知/M)=x—1,則/(x)=.

N+2,xWl,

6.已知函數(shù)/(x)=[則/(x)的值域?yàn)開_______.

，v1>，1

X

[考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一函數(shù)的定義域

1.函數(shù)y=^/l—x2+log2(tanX—1)的定義域是.

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2.函數(shù)./0)=^^=+111(刀+1)的定義域?yàn)?

)

A.(2,4-0°)

B.(-h2)U(2,+°0)

C.(—l,2)

D.(-l,2]

3.(2021?西安檢測)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇-8,1],則函數(shù)g(x)=J(丁+1)

x+2

的定義域是()

A.(—8,-2)U(-2,3]

B.(—8,-2)U(-2,1]

-_9]

C.2Ju(-2,0]

"_9_7

,2

D.L2」

4.已知函數(shù)/(2x—1)的定義域?yàn)閇0,1],則/(一十1)的定義域是()

10g2(x+1)

A.(-L0)B.(—1,0]

C.[-l,0)D.[-l,0]

考點(diǎn)二求函數(shù)解析式

例1求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/(l—sinx)=cos2x,求/(x)的解析式；

(2)已知求/(x)的解析式；

(3)已知外)是一次函數(shù)且雙x+l)一〃(x—l)=2x+17,求人x)的解析式；

(4)已知/(x)滿足2/(x)+/(-^)=3x,求/(x)的解析式.

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訓(xùn)練1(1)已知=lgx,則“x)=

(2)(2021?黃岡檢測)已知.量號(hào)，則個(gè)=

(3)(2022?唐山模擬)已知/(x)是二次函數(shù)且/(0)=2,/(x+1)—/(x)=x—1,則/(x)=

考點(diǎn)三分段函數(shù)

角度1分段函數(shù)的求值

,.Qx,x，一1,

例z2(1)已知函數(shù)加)=,則/(0)一/(—3)=________.

lOg2(1—X),X<—1,

QXX>0

(2)設(shè)函數(shù)貝x)=,：二](a>0且aWl),若人2)=4,則沢—2023)=_______.

f(x+4a),x<0

角度2分段函數(shù)與方程

—4.丫^>2

例3(1)(2021?浙江卷)已知a￡R,函數(shù)/(%)=?''若則。

\x-3\+a,x《2.

Iog2(3—x),xWO,i

(2)(2022?長沙質(zhì)檢)已知函數(shù)加)=,若兒/-1)=匕則實(shí)數(shù)a

2X—1,x>0,2

角度3分段函數(shù)與不等式

log2X，X>1,

例4(2021?合肥模擬)已知函數(shù)貝x)=,則危)yx+1)的解集為()

x——1,xW1,

A.(-1,+°0)B.(-h1)

c昌+TD.(~?0

—3xv]

訓(xùn)練2(1)函數(shù)｛x)=?''則關(guān)于函數(shù)作)的說法不正確的是()

Inx,

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A.定義域?yàn)镽B.值域?yàn)椋?3,+8）

C.在R上為增函數(shù)D.只有一個(gè)零點(diǎn)

2_丫—]x>0

（2）（2021?鄭州調(diào)研）已知函數(shù)/（x）=「'''若/（-1）=3,則不等式/（x）W5

a'+1,xWO,

的解集為（）

A.[—2,1]B.[—3,3]

C.[-2,2]D.[-2,3]

微點(diǎn)突破/函數(shù)的值域

求函數(shù)值域的一般方法：（1）單調(diào)性法；（2）不等式法；（3）配方法；（4）換元法；

（5）數(shù)形結(jié)合法；（6）分離常數(shù)法；（7）導(dǎo)數(shù)法.

一、單調(diào)性法

2023x+l+2022

例1已知。>0,設(shè)函數(shù)兀0=；彳23；1+2023.丁口一。，0）的最大值為加，

最小值為N,則M+N的值為（）

A.2023B.2024

C.4045D.4046

二、不等式法

主要是指運(yùn)用基本不等式及其變形公式來解決函數(shù)最值問題的一種方法.常用的

基本不等式有以下幾種：

a2+b2^2ab（a,b為實(shí)數(shù)）;

審■亍麗（心0,心0）；

姉?卜萬扌忘得它3,b為實(shí)數(shù)）.

例2設(shè)x,?z為正實(shí)數(shù)，x-2y+3z=0,則記的最小值為.

XZ

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三'配方法

配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，如函數(shù)E(x)=q/2(x)+a/(x)+c的最值問題,

可以考慮用配方法.

例3已知函數(shù)^=?—a)2(°eR,qWO),求函數(shù)y的最小值.

四'換元法

換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式去靈

活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問題，從

而求出原函數(shù)的最值.

例4(1)函數(shù)人x)=x+2/，的最大值為；

(2)函數(shù)歹=x一4=)的值域?yàn)?

五'數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖像求函

數(shù)最值的一種常用的方法.

a,一

例5對(duì)a,記max{q,b}='函數(shù)/(x)=max{|x+1|,|x—2|}(x^R)

b，a<b，

的最小值是.

六、分離常數(shù)法

例6已知人x)=22x口+1，求此函數(shù)的值域.

X—3

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七'導(dǎo)數(shù)法

例7已知/(x)=2x—Inx,求/(x)的值域.

防層訓(xùn)練■汎固提升

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

1.如圖是張大爺晨練時(shí)離家距離8)與行走時(shí)間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖像.若用黑

點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()

、、、_,，

ABCD

2.下列所給圖像是函數(shù)圖像的個(gè)數(shù)為()

A.1

)x+1xV0

3.已知函數(shù)｛r)=,'''貝IJ攸8))等于()

,1—10g2X,X>0,

A.-1B.——C.-D.2

22

第7頁共io頁

4.設(shè)函數(shù)火1+JJ=X,則/(x)的表達(dá)式為()

1+x1+x

-1)B.——1)

1-XX—1

1---Y0x

C-1)D.-^-(xW-1)

1+xx+1

2x-\-1

5.已知函數(shù)/(x)=,)'i'且/(xo)=3,則實(shí)數(shù)xo的值為()

3x,x<0,

A.-lB.l

C.-l或1D.-l或一丄

3

/(2x—1)

6.(2021?蘭州質(zhì)檢)已知函數(shù)人x)的定義域是[-1,1],則函數(shù)g(x)=/的

In(1—X)

定義域是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]

7.(2021?成都檢測)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)

王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x￡R,用図表示不超過x

的最大整數(shù)，則歹=[幻稱為高斯函數(shù).例如：[-0.5]=-1,.已知函數(shù)人x)

=1x^-3X2v+4(0<x<2),則函數(shù)y=[/U)]的值域?yàn)?)

一丄4

A.L2’2JB.{-1,0,1)

C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

,,,仔+x,x20,

8,已知函數(shù)貝x)=，

.3x,x<0,

若。伏4)一人一4)]>0,則實(shí)數(shù)“的取值范圍為()

A.(l,+°°)

B.(2,+8)

C.(—8,-1)U(1,+8)

D.(—8,-2)U(2,+8)

9.函數(shù)貝x)=ln1一爐的定義域?yàn)?

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—2x|]

10.(2022?西安質(zhì)檢)已知函數(shù)=,'''則滿足火。)>1的實(shí)數(shù)”的

2，，x20,

取值范圍是.

11.已知函數(shù)y(x)滿足x)=2x(xW0),則八-2)=,/^=

X

12.具有性質(zhì)：￡)=—外幻的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù)

滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)的是.

x,0<^<1,

①y=x—1；②y=ln-~-；③y=e—；(4y(x)=0,A—

x1+x*1