上海市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

進(jìn)才中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)開學(xué)考

2023.9

一、填空題(本大題共12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5

分)

1.已知集合4=[x?-^≥l],B={-l,O,I12},則4nB=.

2.已知嘉函數(shù)過點(diǎn)(4,2),則函數(shù)的解析式是.

3.某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個(gè)班級各選出8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,他們?nèi)〉?/p>

的成績(滿分100分)的莖葉圖如圖所示,其中甲班學(xué)生成績的平均分是86,乙班學(xué)

生成績的中位數(shù)是83,貝!k+y的值為.

甲I乙

89764

65X2811y

649116

4.復(fù)數(shù)Z滿足IZ-I+i∣=1,其中i為虛數(shù)單位,則IZl的最大值為.

5.若隨機(jī)變量X?B(n,0.8),且E(X)=4,則P(X=1)的值是.

6.(x+i)"⑴為正整數(shù))的二項(xiàng)展開式中,若第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)相等,則展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

7.已知為>l,y>0,x+J=4,則2+y的最小值為.

8.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力,據(jù)調(diào)查,某校學(xué)生大約30%的人近視,而該校大

約有40%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過2h,這些人的近視率約為60%,現(xiàn)從該校近視的學(xué)

生中任意調(diào)查一名學(xué)生,則他每天玩手機(jī)超過2h的概率為.

9.已知產(chǎn)是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn),Q是曲線爐+產(chǎn)一

8x-2y÷16=0上一動(dòng)點(diǎn),則IPFl+∣PQl的最小值為10.己知M∈N,n≥1,將數(shù)

列｛2n-1｝與數(shù)團(tuán)2一1｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列

5｝,則Σ瞿2.

un

11.已知函數(shù)/O）=∣lnx∣,直線匕，2是/（尤）的兩條切線,Iv%相交于點(diǎn)Q,若

I1112,則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是.

12.已知單位向量瓦,逐,瓦,或滿足宣?它=-弟0＜瓦?五≤f,則對任意t∈

R,同+瓦+瓦+t或I的最小值為.

二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每

題5分）

13.um=—1"是"直線X+my—2=0與直線Jt—y-Vn=0平行”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

14.從2,3,4,5,6,7,8,9中隨機(jī)取一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)比m大的概率為;,若m為上述

4

數(shù)據(jù)中的第X百分位數(shù),則X的取值可能為O

A.50B.60C.70D.80

15.己知圓錐S。(。是底面圓的圓心,S是圓錐的頂點(diǎn))的母線長為遮,高為

1,P,Q為底面圓周上任意兩點(diǎn).有以下三個(gè)結(jié)論：

(1)三角形SPQ面積的最大值為2;

(2)三棱錐。-SPQ體積的最大值為M

(3)四面體SoPQ外接球表面積的最小值為9m

以上所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

16.如圖直線似及三個(gè)不同的點(diǎn)44,0,其中?！蔍,設(shè)謂=α,O47=b,直線I

的一個(gè)方向向量的單位向量是自下列關(guān)于向量運(yùn)算的方程甲：

I∣≡-(≡?e)e∣=/一(石京)磯乙:有+1=20?E)面

^ae=be

其中是否可以作為44關(guān)于直線I對稱的充要條件的方程(組)，下列說法正確的

是()

A.甲乙都可以

B.甲可以，乙不可以

C.甲不可以，乙可以

D.甲乙都不可以

三、解答題(本大題共5題,滿分78分)

17.(本題滿分14分,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)

o

如圖,三棱錐P-ABC的底面為等腰直角三角形,乙4BC=90,AB=2lPD=

√2,點(diǎn)M在線段PE上,PE=3ME.D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),PD，平面ABC.

(1)求證:面MBDJ_面PBC.

⑵求直線BP與平面MBD所成角的正弦值.

18.(本題滿分14分,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分)

全國中學(xué)生生物學(xué)競賽隆重舉行.為做好考試的評價(jià)工作,將本次成績轉(zhuǎn)化為

百分制,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績,經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0

至100之間,將數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分

成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中m的值,并估計(jì)這50多學(xué)生成績的中位數(shù)；(2)在這50

名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績在[70,80),[80,90),[[90,100]的三組中抽取了

11人,再從這11人中隨機(jī)抽取3人,記下為3人中成績在[80,90)的人數(shù),求S的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

19.(本題滿分14分,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分6

分)若數(shù)列｛即｝滿足W+ι-W=P(n為正整數(shù),P為常數(shù))，則稱數(shù)列｛all｝為等方差數(shù)

列,P為公方差.

(1)已知數(shù)列｛/l｝,｛yl｝的通項(xiàng)公式分別為M=√iΓ+l,yn=3"τ,判斷上述兩

個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列,并說明理由；

(2)若數(shù)列｛廝｝是首項(xiàng)為1,公方差為2的等方差數(shù)列,數(shù)列｛瓦｝滿足瓦=

(??÷pn≥2,且仇也?％-bm=8,求正整數(shù)Tn的值；

(3)在(1)、(2)的條件下,若在也與九+i之間依次插入數(shù)列｛磋｝中的九項(xiàng)構(gòu)成新

數(shù)列｛cj%,遞丁2,甌通丁3，端礴成，，4,.....，求數(shù)列｛C∏｝中前50項(xiàng)的和750?

20.(本題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8

分)

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,精圓r：J+y2=1的左,右焦點(diǎn)外別為尸1，尸2,

設(shè)是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn),尸的延長線分別交于點(diǎn)

PrPF1,P2rQ1,Q2?

(1)求4P尸迫2的周長；

(2)求^PF1Q2面積的取值范圍；

(3)設(shè)「1、「2分別為△P尸IQ2、APFzQl的內(nèi)切圓半徑,求-「2的最大值.

21.(本題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8

分)已知函數(shù)/O)=aex-be~x-(α+l)x(a,b∈R).

(1)當(dāng)a=2,b=O時(shí),求函數(shù)圖象過點(diǎn)(OJ(O))的切線方程；

(2)當(dāng)b=