2023年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象

【考試要求】1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析

法)表示函數(shù).2.會畫簡單的函數(shù)圖象.3.會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與

不等式解的問題.

【知識梳理】

1.利用描點法作函數(shù)圖象的方法步驟

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換

(2)伸縮變換

a>l,橫坐標縮短為原來的5倍，縱坐標不變

①----------------------------4---------------?y=7ar).

0<?<1,橫坐標伸長為原來的9倍，縱坐標不變

。>1，縱坐標伸長為原來的。倍，橫坐標不變，_

?y=fix)0<汨1,縱坐標縮短為原來的°倍，橫坐標不變>>一迷幻,

(3)對稱變換

小&、關于x軸對稱

①y=於)------?、=-/U).

6#、關于y軸對稱、

②y-fix)---------?y==—x).

關于原點對稱

③尸危)--------?尸一汽一元).

@y=ax(a>0且aWl)關于''對初;y=logaX(a>0且a#l).

(4)翻折變換

保留X軸上方圖象，=

①尸危)將X軸下方圖象翻折上必)一恒”

保留〉軸右邊圖象，并作其,=

②產(chǎn)危)-關于y軸對稱的圖象~"y-jLisi-

【常用結論】

1.函數(shù)y=/(無)與y=/(2a—尤)的圖象關于直線尤=。對稱.

2.函數(shù)y=/(x)與y=26—X2a—x)的圖象關于點(a,b)對稱.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)函數(shù)y=|/(x)|為偶函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y=/(l—尤)的圖象，可由y=/(—x)的圖象向左平移1個單位長度得到.(X)

(3)當xG(O,+8)時，函數(shù)y=[/(x)|與y=/(|x|)的圖象相同.(X)

(4)函數(shù)>=次尤)的圖象關于y軸對稱即函數(shù)y=/(x)與y=/(—x)的圖象關于y軸對稱.(X)

【教材改編題】

fx2,x<0,

1.下列圖象是函數(shù)y=-'的圖象的是()

[X—1,x30

答案C

解析其圖象是由y=r圖象中x<0的部分和y=x-l圖象中xNO的部分組成.

2.函數(shù)>=兀0的圖象與>=爐的圖象關于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1個單位長

度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e』i

解析兀0=「工，

g(x)=屋(廠1)=er*i.

3.已知函數(shù)兀0在R上單調(diào)且其部分圖象如圖所示，若不等式一2勺仄+。<4的解集為(一1,2),

則實數(shù)t的值為.

答案1

解析由圖象可知不等式一2勺(尤+。<4即為八3)勺(x+f)勺(0),

故x+fG(0,3),

即不等式的解集為(一t,3-0，

依題意可得r=L

題型一作函數(shù)的圖象

例1作出下列函數(shù)的圖象：

(l)y=2r+l-l；

(2)y=|lg(x—1)|；

(3)y=x2一|x|一2.

解(1)將y=2工的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)=2"i的圖象，再將所得圖象向下平移

1個單位長度，得到y(tǒng)=2,+1—1的圖象，如圖①所示.

(2)首先作出y=lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=lg(x—1)的圖象，再

把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y=|lg(x—1)|的圖象，如圖②所

示(實線部分).

f—1—2

2,1.二’函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0,+8)上的圖象，

{--\-x~2,x<。，

再根據(jù)對稱性作出(一8,0)上的圖象，其圖象如圖③所示.

①②③

【教師備選】

作出下列函數(shù)的圖象：

(1?=2—%

(2)y=sin|x|.

解(1)先作出y=g｝的圖象，保留y=與￡圖象中xNO的部分，再作出y=(J|x的圖象中x>0

部分關于y軸的對稱部分，即得y=R)乂的圖象，如圖①實線部分.

圖①圖②

(2)當無20時，>=$抽國與y=sinx的圖象完全相同，又y=sin|x|為偶函數(shù)，圖象關于y軸對

稱，其圖象如圖②.

思維升華圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象.

(2)若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象

變換作出，但要注意變換順序.

跟蹤訓練1作出下列函數(shù)的圖象：

(2)y=|f—4x+3].

2Y—11i

解(Dy=一二丁=2+士，故函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位長度，再向上

XIXI兒

平移2個單位長度得到，如圖①所示.

⑵先用描點法作出函數(shù)y=/—4x+3的圖象，再把x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，x軸上

方的圖象不變，如圖②實線部分所示.

①②

題型二函數(shù)圖象的識別

例2(1)(2022?百師聯(lián)盟聯(lián)考)函數(shù)兀v)=的圖象大致為()

答案D

解析由題意知，兒行的定義域為R,

一次?以)5(-%)

fi-x)=

—XCOSX

-A%)，

故兀0為奇函數(shù)，排除C；

八1)=毛_1>0,排除A；

犬2)=土2co詈s2<0,排除B.

/e%—1—],],

(2)(2022?泉州模擬)已知函數(shù)月%)=(‘''則函數(shù)y=/(l—x)的圖象大致為()

LlOg2X,X>1,

答案B

0％—1_iYVI

1;‘

{10g2X,X>1,

\e~x—1,%20,

所以尸g(x)=/U-x)=t.n

llog2(l—X),X<0,

所以當x=0時，g(O)=e°—1=0,

故選項A,C錯誤；

當xNO時，g(x)=e~x—\單調(diào)遞減，

故選項D錯誤，選項B正確.

【教師備選】

(2022?咸陽模擬涵數(shù)/U)=cos/+ln|2R的大致圖象是()

答案C

解析因為fix')—cosnx+ln|2x|(尤￥0),

所以—無)=cos(—7ix)+ln|—2x|=cos7Lr+ln|2x|=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對

稱，故排除選項A；

/(I)—cos7t+ln2——1+ln2<0,故排除選項B；

/(2)=cos2n+ln4—l+21n2>0,故排除選項D.

思維升華識別函數(shù)的圖象的主要方法有：(1)利用函數(shù)的性質(zhì).如奇偶性、單調(diào)性、定義域

等判斷.(2)利用函數(shù)的零點、極值點等判斷.(3)利用特殊函數(shù)值判斷.

3%一3r

跟蹤訓練2(1)函數(shù)式x)=r^的大致圖象為()

答案B

解析易知定義域為(一8,0)U(0,+°°),關于原點對稱.

3r一y31—3~x

八—x)=^r=一網(wǎng),

則八X)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除A,

1Q

黃1)=3—1=]>(),排除D,

當+8時，3*f+8,

則人x)一+8,排除C,選項B符合.

(2)如圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象()

A.y=2%一x2—1

2%sinn

B.產(chǎn)甲+i

C.y=(x2~2x)e:

?Inx

答案C

解析函數(shù)的定義域為R,排除D；

當x<0時，y>0,A中，％=—1時，

y=2-1—1—1=—2<0,排除A；

B中，當sinx=O時，y=0,

??可=玄巖有無數(shù)個零點，排除B.

題型三函數(shù)圖象的應用

命題點1研究函數(shù)的性質(zhì)

例3已知函數(shù)式x）=x|x|-2x,則下列結論正確的是（）

A.八尤）是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+8）

B.八尤）是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,1）

C.八尤）是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一1,1）

D.八元）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）

答案C

解析將函數(shù)五龍）=尤|尤|-2x

x2—2x,x20,

去掉絕對值，得兀0=

,一x2—2x,x<Q,

畫出函數(shù)兀r）的圖象，如圖所示，觀察圖象可知，函數(shù)兀0的圖象關于原點對稱，故函數(shù)兀r）

為奇函數(shù)，且在（一1,1）上單調(diào)遞減.

命題點2函數(shù)圖象在不等式中的應用

例4若當尤G（l,2）時，函數(shù)y=（x-的圖象始終在函數(shù)y=log“尤的圖象的下方，則實數(shù)。

的取值范圍是.

答案（1,2]

解析如圖，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=（x—1）2和y=log°x的圖象.

由于當xd（l,2）時，函數(shù)y=（x—的圖象恒在函數(shù)y=logax的圖象的下方，

a>l,

則解得

log?2^1,

命題點3求參數(shù)的取值范圍

f2%—Xf

例5已知函數(shù)加）=（若方程“r）=-2%+〃有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)

[lt）g2X%，%>0,

a的取值范圍是.

答案(一8,1]

解析方程/(x)=-2x+a有兩個不同的實數(shù)根，即方程/(x)+x=—x+a有兩個不同的根,

等價于函數(shù)y=/(x)+x與函數(shù)y=—x+a的圖象有兩個不同的交點.

(2r-x,尤WO,

因為危)=

\\o^ix—x,尤>0,

[2\尤W0,

所以y=/(x)+x=

l!og2X,X>0,

作出函數(shù)y=/(x)+x與y=—x+a的大致圖象如圖所示.

數(shù)形結合可知，當aWl時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)y=/(x)+2x—a有兩

個不同的零點.

【教師備選】

已知奇函數(shù)兀0在x20時的圖象如圖所示，則不等式就尤)<0的解集為.

答案(一2,-l)u(l,2)

解析'.'xf(x)<0,

?,'X和凡X)異號，

由于五X)為奇函數(shù)，補齊函數(shù)的圖象如圖.

當日一2,-l)U(0,l)U(2,+8)時，/)>0,

當xd(—8,—2)口(一1,0)口(1,2)時，

心)<0，

.,.不等式成x)<0的解集為(一2,—1)0(1,2).

思維升華當不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對應函數(shù)的圖象

可作出時，常將不等式問題轉化為圖象的位置關系問題，從而利用數(shù)形結合思想求解.

跟蹤訓練3(1)若函數(shù)五元)=4一x—a(a>0,且aWl)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

答案(1,+°°)

解析函數(shù)#尤)的零點的個數(shù)就是函數(shù)y=〃(“>0,且aWl)與函數(shù)丫=尤+。的圖象的交點的個

數(shù)，如圖，當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點；當0<a<l時，兩函數(shù)圖象有一個交點.故<2>1.

(2)已知函數(shù)>=/(無)的圖象是圓/+丁=2上的兩段弧，如圖所示，則不等式式x)/一x)—2x

的解集是.

答案(-1,O)U(1,^2]

解析由圖象可知，函數(shù)八x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價轉化為八%)>一工在同一平面直角

坐標系中分別畫出>=其龍)與〉=一天的圖象，由圖象可知不等式的解集為(-1,O)U(1,也.

課時精練

1.函數(shù)式彳）=請的圖象大致是（）

答案A

解析根據(jù)題意，函數(shù)八月=嗡^,

其定義域為{x|xWO且xW±l},

有八—x）=一需=一八好，

...函數(shù)<x）為奇函數(shù)，排除B,D,

.兀

zxsin2

又/■*）=--<0,所以排除C.

ln6

y—I—3

2.為了得到函數(shù)y=lg書的圖象,只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點（）

A.向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

B.向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度

C.向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

D.向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度

答案C

x+3

解析???y=ig-fy=3（尤+3）—i,

,,向左平移3個單位長度

..y=lgx---------------

向下平移1個單位長度

y=lg（x+3）

y=lg（x+3）—1.

3.已知函數(shù)八了）的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能是（）

A.於）=（4」廠）國

B.fix）=（4X—4-x）log2|%|

4%+4r

c-於）=^^

r

D.?=（4+4^）log2k|

答案D

解析由圖知，"r）為偶函數(shù)，故排除A,B；

對于C,八x）>0不符合圖象，故排除C；

對于D,式—x）=（4，+4r）log2|x|=Ax）為偶函數(shù),且在區(qū)間（0,1）上，?<0,符合題意.

ax-1~b,1<—],

,z,\、二的圖象如圖所示，則八一3)等于()

{ln(x。)，x-1

A.—2B.11C.i1D.—2

答案C

解析vy(-l)=o,.-.ln(-l+a)=O,

??1+a~~1,..。=2,

又y=ax+b過點(-1,3),

.".2X(—l)+b=3,5,

—3)——3a~\~b——6+5=-1.

5.(2022?長沙質(zhì)檢)已知圖①中的圖象對應的函數(shù)為則圖②中的圖象對應的函數(shù)為

()

圖①圖②

A.y=/(|x|)B.y=A-|x。

C.尸次x)|D.尸—>|)

答案B

解析觀察函數(shù)圖象可得，②是由①保留y軸左側及y軸上的圖象，然后將y軸左側圖象翻

折到右側所得，結合函數(shù)圖象的對稱變換可得變換后的函數(shù)的解析式為y=X-k|).

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)/(x)=lnx的圖象關于直線x=l對稱的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+尤)D.y=ln(2+無)

答案B

解析方法一設所求函數(shù)圖象上任一點的坐標為(x,y),則其關于直線x=l的對稱點的坐

標為(2—x,y),由對稱性知點(2—無，y)在函數(shù)y(x)=lnx的圖象上，所以y=ln(2—尤).

方法二由題意知，對稱軸上的點(1,0)既在函數(shù)八x)=lnx的圖象上也在所求函數(shù)的圖象上，

代入選項中的函數(shù)解析式逐一檢驗，排除A,C,D.

7.對于函數(shù)八尤)=lg(|x-2|+1),下列說法正確的個數(shù)是()

①/(x+2)是偶函數(shù)；

②/(x+2)是奇函數(shù)；

③Ax)在區(qū)間(一8,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增；

領功沒有最小值.

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析/(x+2)=lg(|x|+l)為偶函數(shù)，①正確，②錯誤.作出八x)的圖象如圖所示，可知"r)在(一

8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；由圖象可知函數(shù)存在最小值0,③正確，④錯

誤.

—x2—2x,尤WO,

8.(2022?西安模擬)已知函數(shù)段)=[log]x],尤>0,若函數(shù)g(x)=/")+2—根有4個零點,

,2

則m的取值范圍為()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析由g(x)=/(x)+2一m=0,

得應x)=〃z—2,

所以問題轉化為函數(shù)共幻的圖象與直線y=m—2有4個不同的交點，

函數(shù)八x)的圖象如圖所示，

所以Q<m~2<1,得2<m<3,

所以根的取值范圍為(2,3).

9.已知函數(shù)〉=八一的的圖象過點(4,2),則函數(shù)>=黃尤)的圖象一定過點.

答案(一4,2)

解析x)與y=A尤)的圖象關于y軸對稱，

故y=/(x)的圖象一定過點(一4,2).

/71---?

10.若函數(shù)而0=丁二丁的圖象關于點(1,1)對稱，則實數(shù)。=.

答案1

5.ax—a~\-a—2,a—2

解析危尸X—1=〃+=?

關于點(1,〃)對稱，故。=1.

11.(2022?青島模擬)已知函數(shù)外)=?’1’則對任意為，x2eR,若％2>0>為>

LJT—2x—1,x<0,

一必則危1)與兀冷)的大小關系是.

答案加1)勺S)

解析作出函數(shù)Hx)的圖象(圖略)，

由圖知八%)為偶函數(shù)，且在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

*.*0>Xl>—X2,

，於1)中一彳2)=/(無2).

12.已知函數(shù)式X)=|x—2|+1,g(x)=立若方程穴x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)左的取

值范圍是.

答案&1）

解析先作出函數(shù)/（x）=|x—2|+1的圖象，如圖所示，當直線g（x）=Ax與直線A5平行時斜率

為1,當直線g（x）=履過A點時斜率為3，故/（x）=ga）有兩個不相等的實根時，左的取值范圍

為&1）.

13.（2022?濟南模擬）若平面直角坐標系內(nèi)A,8兩點滿足：（1）點A,8都在八龍）的圖象上；（2）

點A,8關于原點對稱，則稱點對（A,8）是函數(shù)八x）的一個“和諧點對”，（4,B）與（B,A）可

x<0,

看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)八x）=（2、則大尤）的“和諧點對”有（）

e%，X—0,

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析作出函數(shù)y=$+2x（x<0）的圖象關于原點對稱的圖象（如圖中的虛線部分），看它與函數(shù)

y=V（xN（））的圖象的交點個數(shù)即可，觀察圖象可得交點個數(shù)為2,即為0的“和諧點對”有2

個.

x<0,

14.若函數(shù)