適用于新高考新教材備戰(zhàn)2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)規(guī)范練67直線與圓錐曲線的位置關(guān)系新人教A版

課時(shí)規(guī)范練67直線與圓錐曲線的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固練1.(2024·遼寧錦州模擬)已知直線l與拋物線C,則“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.直線y=x+1與橢圓x2+y22=1的位置關(guān)系是(A.相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定3.已知直線l交橢圓x24+y22=1于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為(-1,1),A.-2 B.-12 C.2 D.4.(2024·遼寧朝陽(yáng)模擬)過(guò)拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B向拋物線C的準(zhǔn)線作垂線,垂足為D(-1,-1),則|AB|=()A.174 B.254 C.18 D5.(2024·浙江強(qiáng)基聯(lián)盟模擬)已知雙曲線x2-y22=1,過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線l與該雙曲線相交于A,B兩點(diǎn),若P是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程為(A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.該直線不存在6.(2023·全國(guó)乙,理11)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可以為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)7.(2024·貴州遵義模擬)已知拋物線x2=2y上兩點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)M(2,t)對(duì)稱,則直線AB的斜率為.

8.已知橢圓E:x24+y2=1,直線l:y=k(x-1)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,記C為橢圓的右頂點(diǎn),當(dāng)△ABC的面積為45時(shí),k的值為9.(2024·河南許、平、汝高三聯(lián)考)已知橢圓C:x216+y24=1,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),弦AB(1)求直線l的方程;(2)求△F1AB的面積.10.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l:y=2x+a與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).(1)若a=-1,求△FAB的面積;(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.綜合提升練11.(2024·江西南昌模擬)已知直線l1:y=2x+2過(guò)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),與C交于A,B兩點(diǎn),與l1平行的直線l2與C交于M,N兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q,且PQ的斜率為-A.x24+y23=C.x29+y28=12.(多選題)(2022·新高考Ⅰ,11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過(guò)點(diǎn)B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則()A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|213.(2024·四川宜賓模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為233,過(guò)F2作漸近線的垂線交C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,62),直線l:y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng)m=1時(shí),橢圓C上是否存在P,Q兩點(diǎn),使得P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱?若存在,求出P,Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.創(chuàng)新應(yīng)用練15.(2024·四川遂寧、廣安二診)已知直線l:y=k(x+2)(k>0)與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A,B,以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D(2,0),則|AB|=()A.4 B.6 C.8 D.10課時(shí)規(guī)范練67直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.B解析“l(fā)與C相切”時(shí),l與C只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),但是此時(shí)l與C不相切.所以“l(fā)與C只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“l(fā)與C相切”的必要不充分條件.2.C解析聯(lián)立y=x+1,x2+y22=1,消去y,整理得3x2+2x-1=0,則Δ=223.D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)锳,B都在橢圓上,所以x124+y122=1,x224+y222=1,兩式相減,得(x124-x224)+(y122-y222)=0,4.B解析依題意拋物線的準(zhǔn)線為x=-1,即-p2=-1,解得p=2,所以拋物線方程為y2=4x,則焦點(diǎn)為F(1,0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y2=-1,由(-1)2=4x2,得x2=14.所以B(14,-1),所以直線AB的斜率是-114-1=由y2=4x,y=43(x-1),消去y,整理得4x2-17x+所以|AB|=x1+x2+p=4+14+2=5.D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,代入雙曲線方程得x兩式左、右兩邊分別相減得x12-x22-y122+y222=0,即(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)2.若P是線段AB的中點(diǎn),則x1+x2=2,y1+y2=2,所以y1-y2x1-x2=2,即直線AB的斜率為2,所以直線AB的方程為y-1=2(x-1),即6.D解析由題可知若線段AB中點(diǎn)在直線x=1或直線x=-1上時(shí),只有kAB∈(-3,3)時(shí),AB與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)AB中點(diǎn)M,根據(jù)雙曲線性質(zhì)有kAB·kOM=b2a2對(duì)于A選項(xiàng),kOM=1,得kAB=9,不滿足;對(duì)于B選項(xiàng),kOM=-2,得kAB=-92,不滿足對(duì)于C選項(xiàng),kOM=3,得kAB=3,不滿足;對(duì)于D選項(xiàng),kOM=4,得kAB=94,滿足.故選D7.2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),顯然x1≠x2,代入拋物線方程x2=2y,得x12=2y1,x2因?yàn)锳,B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(2,t)對(duì)稱,所以x1+x2=4.所以由①得y1-y2x1-則直線AB的方程是y-t=2(x-2),與拋物線的方程x2=2y聯(lián)立,消去y,整理得x2-4x+8-2t=0,Δ=16-4(8-2t)>0,解得t>2,符合題意.所以直線AB的斜率為2.8.±1解析設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立x24+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+4k2Δ=64k4-16(k2-1)(4k2+1)=16(3k2+1)>0,可得x1+x2=8k21+4k2,x|AB|=1+k2×|x1=1+=1+=1+設(shè)點(diǎn)C(2,0)到直線y=k(x-1)的距離為d,則d=|kS△ABC=12×|AB|×d=12×1+k2×16(3k2+1)(1+4k2)2×|k|k2+1=1216k2(3k2+1)9.解(1)因?yàn)橄褹B被點(diǎn)(3,32設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)辄c(diǎn)(3,32)是弦AB的中點(diǎn),所以x1+x2=23,y1+y由x1216+y124=1,x2216+y224=1,兩式左、右兩邊分別相減,得x12-x2所以直線l的斜率k=y1-y2x1-x2=-14·x1+(2)易知F1(-23,0).聯(lián)立橢圓C與直線l的方程x216+y24=1,x+2y-23=0,消去x,整理得2y2-23y-1=0,所以y1+y2點(diǎn)F1(-23,0)到直線l的距離為d=|-23-23|12+22=10.解(1)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)a=-1時(shí),直線l:y=2x-1,聯(lián)立y=2x-1,y2=4x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,x1x2=1|AB|=1+4點(diǎn)F到直線l的距離d=|2∴△FAB的面積S=12|AB|·d=(2)∵點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,∴直線MN的斜率為-12,∴可設(shè)直線MN的方程為y=-12x+m,聯(lián)立y=-12x+m,y2=4x,整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則x3+x4=4m+16,y3+y4=-12(x3+x4)+2m=-8,故MN的中點(diǎn)為(2m+8,-4)∵點(diǎn)M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,∴MN的中點(diǎn)(2m+8,-4)在直線y=2x+a上,∴-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.∵m>-2,∴a<-12.綜上,a的取值范圍為(-∞,-12).11.C解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則x12a2+y12b所以y1-若O為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線OP的斜率kOP=-b22a2,同理,直線OQ的斜率kOQ=-b22a2,即kOP=kPQ=-b22a2=-49,所以b2a2=89.又l1過(guò)點(diǎn)(-由b2a2=89,a212.BCD解析∵點(diǎn)A(1,1)在拋物線C上,∴1=2p,∴p=12,∴拋物線C的方程為x2=y.∴拋物線C的準(zhǔn)線為y=-14,故A∵點(diǎn)A(1,1),B(0,-1),∴直線AB的方程為y=2x-1,聯(lián)立拋物線C與直線AB的方程,得y=2x-1,x2=y,消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴由題意可得,直線PQ的斜率存在,則可設(shè)直線PQ的方程為y=kx-1,聯(lián)立直線PQ與拋物線C的方程,得y=kx-1,x2=y,消去y整理得x2-kx+1=0,設(shè)點(diǎn)P(x1,y則Δ2=k2-4>0,x1+x2=k,又|OP|=x1|OQ|=x2∴|OP|·|OQ|=y1kx1·kx2=|k|>2=|OA|∵|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.故選BCD.13.18解析因?yàn)閏a=233,所以a2+b2a2=43,即b2a則雙曲線C:x23b2-y2b2=1,不妨設(shè)直線AB:y=-3(x-2b),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程y=-3(x-2b),x23b2-則Δ=(36b)2-32×39b2=48b2>0,x1+x2=9b2,x1x2=39b28,可得|AB|=1+(-3)2(由雙曲線的定義可得|AF1|-|AF2|=6,|BF1|-|BF2|=6,則(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(|AF1|+|BF1|)-|AB|=12,可得|AF1|+|BF1|=15,所以△ABF1的周長(zhǎng)為|AF1|+|BF1|+|AB|=18.14.解(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則M(x1+x22,y1+y22),即kOM=y1+y2x1+x2=-12.因?yàn)锳,B在橢圓C上,所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)不存在.理由如下,由題意可知,直線l的方程為y=x+1.假設(shè)橢圓C上存在P,Q兩點(diǎn),使得P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中點(diǎn)為N(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.因?yàn)镻,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,所以kPQ=-1,且點(diǎn)N在直線l上,即y0=x0+1.又因?yàn)镻,Q在橢圓C上,所以x324+y322=所以x3+x44=y3+聯(lián)立x0=2y0,y0=x0又因?yàn)?-2)24+(-1)22>1,即點(diǎn)N在橢圓C外,這與N是弦PQ的中點(diǎn)矛盾,所以橢圓C上不存在P,Q15.C解析記m=1k>0,則直線l