專題21 圖形的相似與位似（講義）（解析版）

專題21圖形的相似與位似核心知識點(diǎn)精講理解掌握比例線段的相關(guān)概念；理解掌握比例的性質(zhì)、黃金分割點(diǎn)等定義；理解掌握平行線分線段成比例定理；理解掌握什么是相似多邊形、位似圖形?？键c(diǎn)1比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段的d叫做a，b，c的第四比例項(xiàng)。如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)。2.比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）（交換內(nèi)項(xiàng)）（交換外項(xiàng)）（同時交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：（4）合比性質(zhì)：（5）等比性質(zhì)：3.黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB0.618AB考點(diǎn)2平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例。逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。（2）平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。5.相似多邊形（1）如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）（2）相似多邊形的性質(zhì)①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比④相似多邊形面積的比等于相似比的平方6.位似圖形如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，此時的相似比叫做位似比。性質(zhì)：每一組對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小?！绢}型1：比例的性質(zhì)與比例線段】【典例1】（2023?霞山區(qū)校級一模）已知ab=35，則b+a【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用設(shè)k法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵ab∴設(shè)a＝3k，b＝5k，∴b+ab-a=故答案為：4．1．（2023?南海區(qū)校級模擬）已知2a＝3b（ab≠0），則下列各式正確的是（）A．a(chǎn)b=23 B．a(chǎn)2=b3【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵2a＝3b（ab≠0），∴ab=3C選項(xiàng)正確，符合題意；a3=b2，故故選：C．2．（2022?南海區(qū)一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為34cm【答案】34cm【分析】由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可得ab=cd，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8【解答】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，∴ab∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，∴a3解得：a=3故答案為：34cm3．（2022?龍崗區(qū)一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d＝9cm．【答案】9．【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，∴d＝9，則d＝9cm．故答案為：9．4．（2024?深圳模擬）已知5a＝2b，則a：b＝2：5．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行變形即可．【解答】解：∵5a＝2b，∴a：b＝2：5．故答案為：2：5．【題型2：黃金分割】【典例2】（2023?福田區(qū)校級二模）黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，例如，楓葉的葉脈蘊(yùn)含著黃金分割．如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），如圖AC長度為15cm，則AB的長度約為9.27cm．（黃金分割率為0.618）【答案】9.27．【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知：ABAC【解答】解：∵B為AC的黃金分割點(diǎn)，AB＞BC，AC＝15cm，∴ABAC∴AB＝0.618?AC＝9.27（cm）．故答案為：9.27．1．（2023?禪城區(qū)二模）神奇的自然界處處隱含著數(shù)學(xué)美！生物學(xué)家在向日葵圓盤中發(fā)現(xiàn)：向日葵籽粒成螺線狀排列，螺線的發(fā)散角是137.5°．我們知道圓盤一周為360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．這體現(xiàn)了（）A．軸對稱 B．旋轉(zhuǎn) C．平移 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義判斷即可．【解答】解：因?yàn)?.618是黃金分割數(shù)，所以體現(xiàn)了黃金分割．故選：D．2．（2023?興寧市二模）古希臘以來，人們以滿足黃金分割比的事物為美．長發(fā)及腰，佳人傾城一笑亦是一種美．現(xiàn)有一名13歲的少女，從今年算起，未來x（0≤x≤4）年其身高近似滿足函數(shù)y＝2x+160（單位：厘米）．若某一年該少女頭發(fā)末端到腳底的長度與其身高之比恰好呈黃金分割比，已知該少女的頭發(fā)長度為64厘米，則下列說法正確的是（）注：黃金分割比為5-1A．對于函數(shù)y＝2x+160而言，y為自變量，x為因變量，160為常量 B．該少女此時身高約為160厘米（四舍五入取整） C．該少女年齡為17歲（四舍五入取整） D．若某一年該少女身高為170厘米，則該少女年齡為18歲【答案】C【分析】根據(jù)題目要求和選項(xiàng)以此判斷即可得出答案．【解答】解：A．對于函數(shù)y＝2x+160而言，x為自變量，y為因變量，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．設(shè)該少女頭發(fā)末端到腳底的長度為m厘米，∵該少女的頭發(fā)長度為64厘米，∴其身高為（m+64）厘米，又∵該少女頭發(fā)末端到腳底的長度與其身高之比恰好呈黃金分割比5-1∴mm+64≈0.618，解得m＝其身高為103.5+64＝167.5≈168厘米，∴該少女此時身高約為168厘米（四舍五入取整），故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．由B知，該少女此時身高約為168厘米，∵其身高近似滿足函數(shù)y＝2x+160，∴解得x＝4，又∵13+4＝17，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．若該少女身高為170厘米，則2x+160＝170，解得x＝5，∵0≤x≤4，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：C．3．（2023?深圳模擬）某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測量該行李箱從輪子底部到箱子上沿的高度AB與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）．已知CD＝80cm，則AB約是（）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm【答案】B【分析】根據(jù)圖形和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到ABCD=【解答】解：由題意可得，ABCD=解得AB≈49，故選：B．【題型3：平行線分線段成比例】【典例3】（2023?禪城區(qū)校級三模）如圖，AD∥BE∥CF，點(diǎn)B，E分別在AC，DF上，AB＝2，DE＝BC＝3，則EF長為（）A．4 B．2 C．72 D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式，代入計(jì)算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC∵AB＝2，DE＝BC＝3，∴23解得：EF=9故選：D．1．（2024?深圳模擬）一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知AC＝50cm，則BC的長度為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．100【答案】C【分析】由平行線分線段成比例可得出答案．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AM交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)E，∵BE∥AD，∴BCAC∵AC＝50cm，∴BC＝30cm．故選：C．2．（2023?榕城區(qū)一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時值的音符及其他記號來記載音樂，如圖，A，B，C為直線與五線譜橫線相交的三個點(diǎn)，若AC＝12，則AB的長為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】過點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴ABAC∵AC＝12，∴AB=2故選：A．3．（2023?東莞市校級一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m、n于點(diǎn)A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，則EF的長為（）A．6 B．9 C．10 D．25【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計(jì)算得到答案．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，∴DEEF=AB解得，EF＝9，故選：B．【題型4：相似圖形的性質(zhì)】【典例4】（2023?茂南區(qū)二模）任意下列兩個圖形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形【答案】C【分析】相似圖形的定義：形狀相同的兩個圖形是相似形；如果各角分別相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形是相似多邊形；根據(jù)這兩個定義即可判斷得解．【解答】解：A、因?yàn)槿我鈨蓚€正方形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因?yàn)槿我鈨蓚€等腰直角三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因?yàn)槿我鈨蓚€矩形的對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因?yàn)槿我鈨蓚€等邊三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，是相似圖形，所以D不符合題意；故選：C．1.（2023?福田區(qū)模擬）下列說法正確的是（）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對應(yīng)邊成比例的四邊形是相似四邊形 C．二次函數(shù)y＝x2+bx﹣1（b為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個交點(diǎn) D．若代數(shù)式1x+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x≥﹣【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定，相似多邊形的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)以及分式及二次根式有意義分析即可得解．【解答】解：A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．對應(yīng)邊成比例且對應(yīng)角相等的四邊形是相似四邊形，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．對于二次函數(shù)y＝x2+bx﹣1（b為常數(shù)），Δ＝b2+4＞0，所以圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．若代數(shù)式1x+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x＞﹣1故選：C．2．（2022?中山市三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再連接AC1，以對角線AC1為邊，按逆時針方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此規(guī)律作下去，則邊AC2022的長為（）A．5×(52)2022C．5×22022 【答案】A【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，利用相似多邊形的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC=A∵按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形ACC1B1，∴矩形ACC1B1的邊長和矩形ABCD的相似比為5：2，∴矩形ACC1B1的對角線和矩形ABCD的對角線的比5：2，∵矩形ABCD的對角線為5，∴矩形AB1C1C的對角線AC1=5依此類推，矩形AB2C2C1的對角線和矩形AB1C1C的對角線的比為5：2，∴矩形AB2C2C1的對角線AC2=5∴矩形AB3C3C2的對角線AC3=5×（5按此規(guī)律第n個矩形的對角線A?n=5×（52∴AC2022的長為5×（52）故選：A．【題型5：位似圖形】【典例5】（2023?仁化縣二模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知OAOA'=13，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A'B'CA．4 B．6 C．16 D．18【答案】D【分析】先利用位似的性質(zhì)得到ABA'B'=OAOA'=13，則四邊形A'B'C'【解答】解：∵四邊形A'B'C'D'是四邊形ABCD關(guān)于O點(diǎn)為位似中心的位似圖形，∴ABA'B'∴四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD相似比為3，∴四邊形A'B'C'D'的面積＝9四邊形ABCD的面積＝9×2＝18．故選：D．1．（2023?南海區(qū)校級一模）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，OA：AD＝2：3，△ABC的周長為8，則△DEF的周長為（）A．12 B．18 C．20 D．50【答案】C【分析】先根據(jù)位似的性質(zhì)得到△ABC與△DEF的位似比為OA：AD，再利用比例性質(zhì)得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，∴ACDF且△ABC∽△DEF，∵OA：AD＝2：3，∴DFAC又△ABC∽△DEF，∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5，∵△ABC的周長為8，∴△DEF的周長為20．故選：C．2．（2023?茂南區(qū)校級模擬）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面積為3，則△DEF的面積為（）A．6 B．9 C．12 D．27【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，證明△OAB∽△ODE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ABDE【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴ABDE∴S△ABCS△DEF=（1∵△ABC的面積為3，∴△DEF的面積為27，故選：D．3．（2023?順德區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'位似，且原點(diǎn)O為位似中心，其位似比為1：2，若點(diǎn)B（﹣4，﹣2），則其對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）【答案】D【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'位似，且原點(diǎn)O為位似中心，其位似比為1：2，點(diǎn)B（﹣4，﹣2），∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為[﹣4×（﹣2），﹣2×（﹣2）]，即（8，4），故選：D．4．（2023?禪城區(qū)三模）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知OAOA'=13，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′A．3 B．6 C．9 D．18【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，AB∥A′B′，證明△OAB∽△OA′B′，求出ABA'B'【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是位似圖形，∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴ABA'B'∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為1：9，∵四邊形ABCD的面積是2，∴四邊形A′B′C′D′的面積是18，故選：D．【題型6：位似圖形作圖】【典例6】（2023?南山區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)B（﹣3，6），C（﹣3，0），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限將△OBC縮小為原來的三分之一（即新圖形與原圖形的相似比為1：3）．（1）畫出縮小后的圖形；（2）寫出B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如果△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），寫出點(diǎn)M經(jīng)位似變換后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）見解答；（2）B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣2）；（3）（-13x，-【分析】（1）由以原點(diǎn)O為位似中心，將△OBC縮小為原來的一半，根據(jù)位似圖形性質(zhì)，可求得其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而畫出圖形；（2）結(jié)合（1）可求得B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)M經(jīng)位似變換后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△B′OC′，△B″OC″為所求，（2）B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣2）；（3）△OBC內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)M經(jīng)位似變換后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，（-13x，-1．（2023?龍川縣三模）已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣3）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍得到△A2B2C2，請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A2B2C2．【答案】見解答．【分析】（1）直接利用關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求．2．（2023?潮陽區(qū)模擬）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC位似，且相似比為2：1；（2）△A1B1C1的面積為28．【答案】（1）圖形見解答；（2）28．【分析】（1）連接OB延長OB到B1，使得OB＝BB1，同法可得A1、C1，△A1B1C1就是所求三角形；（2）用矩形面積減去3個三角形面積即可求解．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1就是所求三角形；（2）如圖，分別過點(diǎn)A1、C1作y軸的平行線，過點(diǎn)B1作x軸的平行線，交點(diǎn)分別為E、F，∵A（﹣1，2），B（2，1），C（4，5），△A1B1C1與△ABC位似，且位似比為2：1，∴A1（﹣2，4），B1（4，2），C1（8，10），∴△A1B1C1的面積＝8×10-12×6×2-12×4×8-3．（2023?榕城區(qū)二模）如圖所示，在學(xué)習(xí)《圖形的位似》時，小華利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫出了△ABC的位似圖形△A1B1C1．（1）僅借助不帶刻度的直尺，在圖1中標(biāo)出△ABC與△A1B1C1的位似中心M點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡），并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（0，2）．（2）若以點(diǎn)O為位似中心，僅借助不帶刻度的直尺，在圖2中畫出△A1B1C1在y軸左側(cè)的位似圖形△A2B2C2．且△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為2：1；（3）在（2）中，若△A2B2C2邊上的一點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)P2在△A1B1C1上的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2a，2b）．【答案】（1）（0，2）；（2）見解答；（3）（2a，2b）．【分析】（1）連接A1A、B1B、C1C，它們的交點(diǎn)為位似中心M點(diǎn)，然后寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）把點(diǎn)A1、B1、C1的橫縱坐標(biāo)都乘以12得到點(diǎn)A2、B2、C2（3）根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把P2的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到P1點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1），如圖1，點(diǎn)M為所作，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；故答案為：（0，2）；（2）如圖2，△A2B2C2為所作；（3）點(diǎn)P2在△A1B1C1上的對應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2a，2b）．故答案為：（2a，2b）．一．選擇題（共7小題）1．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知AB＝DE，BC＝4，則EF的長為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】由AD∥BE∥CF，利用平行線分線段成比例，可得出EFDE=BCAB，再結(jié)合AB＝DE，BC＝【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴EFDE又∵AB＝DE，BC＝4，∴EF＝BC＝4．故選：A．2．下列各組的四條線段成比例的是（）A．1cm、2cm、3cm、4cm B．2cm、4cm、6cm、8cm C．5cm、30cm、10cm、15cm D．5cm、20cm、10cm、15cm【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A.2×3≠1×4，故本選項(xiàng)錯誤；B.2×8≠4×6，故本選項(xiàng)錯誤；C.5×30＝10×15，故本選項(xiàng)正確；D.20×5≠10×15，故本選項(xiàng)錯誤；故選：C．3．如圖，四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，四邊形ABCD的面積等于4，則四邊形A′B′C′D′的面積為（）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】利用位似的性質(zhì)得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多邊形的性質(zhì)得到得到四邊形A′B′C′D′的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，∴四邊形ABCD的面積：四邊形A′B′C′D′的面積＝4：9，而四邊形ABCD的面積等于4，∴四邊形A′B′C′D′的面積為9．故選：D．4．已知a-ba+b=2A．15 B．-15 C．5 【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得出a＝5b，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．【解答】解：∵a-ba+b∴3a﹣3b＝2a+2b，∴a＝5b，∴ab=故選：C．5．若ab=3A．17 B．-17 C．7 【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得出a=34【解答】解：∵ab∴a=34∴a-ba+b故選：B．6．若ba=3A．1 B．45 C．75 D【答案】C【分析】根據(jù)比例性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵ba∴設(shè)a＝5k，b＝3k（k≠0），∴2a-ba故選：C．7．如圖，已知a∥b∥c，直線m分別交直線a、b、c于點(diǎn)A、B、C，直線n分別交直線a、b、c于點(diǎn)D、E、F，若ABBC=1A．12 B．13 C．23 【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵ABBC∴ABAC∵a∥b∥c，∴DEDF故選：B．二．填空題（共5小題）8．如果xy=53，那么x-y【答案】23【分析】先把x-yy化成xy【解答】解：∵x：y＝5：3，∴x-yy=xy-故答案為：239．如圖，已知AD∥EF∥BC，BC＝2AD，BE＝2AE，AD→=a，那么用a表示EF→【答案】43【分析】連接BD交AC于G，由平行線得出BEBA=23，DFDC=AEAB=13，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出EGAD=EBAB=23，F(xiàn)GCB=DFDC【解答】解：連接BD交AC于G，∵AD∥EF∥BC，BE＝2AE，∴BEBA=23，DFDC=AEAB=∴EGAD=EB∴EG=23AD，GF=∵BC＝2AD，AD→∴EG=23a→∴EF＝EG+GF=4故答案為：4310．已知a3=b2≠0，且a+3b＝5，則a的值為【答案】53【分析】利用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：設(shè)a3=∴a＝3k，b＝2k，∵a+3b＝5，∴3k+6k＝5，解得：k=5∴a＝3k=5故答案為：5311．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2（AC＞BC），則AC＝5-1【答案】5-1【分析】把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．根據(jù)黃金分割的定義得到AC=5-12AB【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2（AC＞BC），∴AC=5-12AB=5故答案為：5-112．△ABC與△DEF是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△ABC與△DEF的相似比是2：1，則點(diǎn)C（6，8）的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，4）或（﹣3，﹣4）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比是2：1，點(diǎn)C（6，8），∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6×12，8×12）或（6×（-12），8×（-12）），即（故答案為：（3，4）或（﹣3，﹣4）．三．解答題（共3小題）13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．（1）以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1；（2）畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，并寫出C2的坐標(biāo)．【答案】（1）畫圖見解析過程；（2）畫圖見解析過程，C2（3，﹣1）．【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)，找到點(diǎn)A，C，使得BC1＝2BC，BA1＝2BA，連接A1，C1即可求解；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)畫出畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，并根據(jù)坐標(biāo)系寫出C2的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖所示，△A1BC1即為所求，（2）如圖所示，△A2B1C2即為所求，C2（3，﹣1）．14．如果a2=b3=c4，且3a﹣2b+c＝8【答案】6．【分析】令a2=b3=c4=k，從而表示出a，b，c．再代入3a﹣2【解答】解：令a2=∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵3a﹣2b+c＝8，∴6k﹣6k+4k＝8，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝3k＝6，c＝4k＝8，∴a﹣b+c＝4﹣6+8＝6．15．如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1，l2，l3于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，若AC：CE＝2：3，BF＝9，求DF的長．【答案】275【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACAE∵AC：CE＝2：3，∴ACAC+CE即22+3∴BD=18∴DF=BF-BD=9-18一．選擇題（共7小題）1．下列長度的四組線段中，成比例的一組是（）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，3cm，3cm，4C．2cm，4cm，9cm，18cm D．4cm，5cm，6cm，7cm【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵2×3.5≠3×2.5，∴四條線段不成比例；B、∵3×43≠3×C、∵18×2＝4×9，∴四條線段成比例；D、∵4×7≠6×5，∴四條線段不成比例；故選：C．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（m，n）是線段AB上一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n）【答案】B【分析】回顧位似的兩種類型，有A型或者X型；所以給點(diǎn)P的坐標(biāo)乘±2，即為（m×2，n×2）或（m×（﹣2），n×（﹣2）），化簡即可．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，∴P的坐標(biāo)為（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n），故選：B．3．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，則線段a的長度為（）A．8cm B．2cm C．4cm D．1cm【答案】B【分析】根據(jù)成比例線段的定義得到a：3＝6：9，然后利用比例的性質(zhì)求a的值．【解答】解：∵四條線段a、b、c、d是成比例線段，∴a：b＝c：d，即a：3＝6：9，∴a＝2（cm）．故選：B．4．如圖，l1∥l2∥l3，AB＝8，BC＝12，EF＝9，則DE的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝8，BC＝12，EF＝9，∴ABBC∴812∴DE＝6．故選：A．5．如圖，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，直線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①EDEA=EFEB；②DEBC=EFA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，對各個結(jié)論進(jìn)行分析即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴EDEA=EFEB，DEAD故①②④正確；故③錯誤；故選：C．6．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【答案】C【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個數(shù)之積是否相等進(jìn)行判斷．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四條線段不成比例，故A選項(xiàng)不符合題意；B.3×9≠5×8，所以四條線段不成比例，故B選項(xiàng)不符合題意；C.3×30＝9×10，所以四條線段成比例，故C選項(xiàng)符合題意；D.3×9≠6×7，所以四條線段不成比例，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．7．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖，AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB，使BD=12AB，連接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，點(diǎn)C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AB＝2A．5-12 B．5-1 C．3-5【答案】C【分析】利用勾股定理求出AD的長即可解決問題．【解答】解：由題知，∵AB＝2，BD=1∴BD＝1．又∵BD⊥AB，∴AD=1又∵DE＝BD＝1，∴AE=5則AC＝AE=5∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（5-1）＝3-故選：C．二．填空題（共5小題）8．如圖，已知l1∥l2∥l3，AC＝6，DF＝8，AB＝2，那么EF＝163【答案】163【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABAC=DE解得：DE=8∴EF＝DF﹣DE＝8-8故答案為：1639．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是6．【答案】6．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：3．∴△ABC的周長：△DEF的周長＝2：3，∵△ABC的周長為4，∴△DEF的周長＝6，故答案為：6．10．已知ab=13，那么a+b【答案】43【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)“如果ab=c【解答】解：∵ab∴a+bb∴a+bb故答案為：411．黃金分割能讓人產(chǎn)生視覺上的美感．某本書的寬與長的比為黃金比（長＞寬），若該書長為20cm，則寬為12.4cm．（結(jié)果精確到0.1cm）【答案】12.4．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到書的寬與長之比計(jì)算它的寬即可．【解答】解：∵書的寬與長之比為黃金比，長為20cm，∴它的寬＝20×5-12≈故答案為：12.4．12．已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是該正方形邊上一點(diǎn)，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12，則點(diǎn)A1與點(diǎn)B的最大距離為210；連接A1C1，若△PA1C1的周長為3+22，則△PA1C1的面積為12【答案】210；12【分析】依據(jù)題意，根據(jù)對角線最長，當(dāng)位似中心P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)A1最遠(yuǎn)，此時與點(diǎn)B的距離也是最大的，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；根據(jù)正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是該正方形邊上一點(diǎn)，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12，得到正方形A1B1C1D1的邊長為2，得到A1C1＝22，設(shè)PA1＝x，則PB1＝2﹣x，根據(jù)PA1+PC1＝3【解答】解：如圖，當(dāng)位似中心P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)A1最遠(yuǎn)，此時與點(diǎn)B的距離也是最大的．∵正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是該正方形邊上一點(diǎn)，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12∴正方形A1B1C1D1的邊長為2．∴A1B=BB1故答案為：210．∵正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P是該正方形邊上一點(diǎn)，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12∴正方形A1B1C1D1的邊長為2．∴A1C1＝22．設(shè)PA1＝x，則PD1＝2﹣x，∵△PA1C1的周長為3+22，∴PA1+PC1＝3．∴x+(2-x)∴（2﹣x）2+22＝（3﹣x）2．∴x=1∴△PA1C1的面積為12故答案為：12三．解答題（共3小題）13．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝120°，E為BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與B，C重合），連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段FE，連接AC，AF，AF交CD邊于點(diǎn)H，設(shè)BECE=x，【嘗試初探】（1）如圖1，求證：△ABC∽△AEF；【深入探究】（2）如圖2，連接CF，當(dāng)x＝1時，探究得出y的值為1，請寫出證明過程；【聯(lián)系拓展】（3）結(jié)合（2）的探究經(jīng)驗(yàn)，從特殊到一般，最后得出y與x之間滿足的關(guān)系式為y=2x1+x．請根據(jù)該關(guān)系式，解決下列問題：連接EH，若AB＝12，當(dāng)△EHF為等腰三角形時，求【答案】（1）（2）見解析，（3）BE＝3或33【分析】（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等兩三角形相似證明△ABC∽△AEF．（2）連結(jié)BD交AC于O，過F作BC的平行線交CD于M．等腰三角形ABC中，頂角120°，底角30°，得到AC=3BC，證明△ABE∽△ACF，得到CF=3BE，再證△CFM中∠FCM＝90°，∠CFM＝30°，CF=3CM，得到CM＝BE，DM＝CE，x＝1，BE＝CE，可得MF＝DA，證明△ADH≌△FMH，可得AH＝FH，（3）①當(dāng)△EHF為等腰三角形時有兩種可能，①HE＝HF，②FF＝FH，可求x的兩個值．【解答】證明：（1）∵AB＝BC，AE＝EF，∴ABAE∵∠ABC＝∠AEF，∴△ABC∽△AEF．（2）連結(jié)BD交AC于O，過F作BC的平行線交CD于M．菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，AC，BD互相垂直平分，∴AB＝2OB，OA=A∴AC=3AB∵△ABC∽△AEF，∴ABAE∵∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴BECFCF=3BE∠ABE＝∠ACF＝120°，∠MCF＝∠ACF﹣∠ACD＝120°﹣30°＝90°，∵M(jìn)F∥BC，∴∠FMC＝∠BCD＝60°，∴∠MCF＝30°，∴MF＝2CM，CF=MF∵CF=3BE∴BE＝CM，∵BC＝CD，∴CE＝MD．∵x＝1，BE＝CE，∴CM＝DM．∵M(jìn)F∥AD，∴∠D＝∠HMF，∠DAH＝∠MFH，∴△ADH≌△FMH（AAS）．∴AH＝FH，∴y=FHAH解：（3）當(dāng)△EHF為等腰三角形時有兩種可能，①△EFH中，HE＝HF，∵△AEF∽△ABC，∵AC=3∴AF=3EF△EFH中，HE＝HF，∴∠HEF＝∠F＝30°，∴△AEF∽△EHF，∴EF=3FH∴AF＝3HF，∴AH＝2FH，∴y=FH∵y=2x∴x=1∴BECE∵AB＝BC＝12，∴BE＝3．②FH＝FE，AF=3FE∴AH＝AF﹣FH＝（3-1）EF∴y=FHy=2x2x1+xx=2x=BECE，AB＝BC＝BE＝33+3所以BE＝3或33+314．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在第二象限內(nèi)畫出將△ABC放大為原來的2倍后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C；（3）直接寫出∠A1C1B1+∠B2A2C的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）90°．【分析】（1）分別確定A，B，C的位似對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1，再順次連接即可；（2）分別確定A，B繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點(diǎn)A2，B2，再順次連接即可；（3）由位似的性質(zhì)可得：∠A1C1B1＝∠ACB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠B2A2C＝∠BAC，∠ACB+∠BAC＝90°，從而可得答案．【解答】解：（1）如圖△A1B1C1即為所求；（2）如圖△A2B2C即為所求；（3）由位似的性質(zhì)可得：∠A1C1B1＝∠ACB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠B2A2C＝∠BAC，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°∴∠A1C1B1+∠B2A2C＝90°15．已知圖①和圖②中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請?jiān)诜礁窦埳习匆螽嫵龈顸c(diǎn)三角形．（1）在圖①中畫△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖②中畫△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周長比為2：【答案】（1）作圖見解答過程；（2）作圖見解答過程．【分析】（1）根據(jù)相似比得出各邊擴(kuò)大2倍，即可得出答案；（2）根據(jù)相似比得出各邊擴(kuò)大2倍，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖①所示，△A1B1C1即為所作圖形；（2）如圖②所示，△MNP即為所作圖形．一．選擇題（共1小題）1．（2023?廣東）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，故選：A．二．填空題（共2小題）2．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【答案】15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴ABAD∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴420∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴ACAD∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴1020∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積=12（HK+GF=12×（＝15．故答案為：15．3．（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43【答案】332【分析】通過作輔助線，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，進(jìn)而得出對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)tan∠ACB=12，BOOD=43，得出對應(yīng)邊之間關(guān)系，設(shè)BC＝4a，表示AB、【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DM∥BC，交CA的延長線于點(diǎn)M，延長BA交DM于點(diǎn)N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC設(shè)BC＝4a，由BCDM=OBOD=4∴AB＝2a，DN=35a，AN=∴NB＝AB+AN＝2a+65a=∴S△ABD故答案為：332三．解答題（共3小題）4．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD～△ACE；②若tan∠BAC=13，求cos∠【答案】（1）作法、證明見解答；（2）①證明見解答；②cos∠DCE的值是35【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可知AD＝AB，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，也就是以AD為一邊在菱形ABCD外作一個三角形與△ABC全等，第三個頂點(diǎn)E的作法是：以點(diǎn)D為圓心，BC長為半徑作弧，再以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)E；（2）①由旋轉(zhuǎn)得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，則ABAC=ADAE，∠BAD＝∠CAE，即可根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證明△②延長AD交CE于點(diǎn)F，可證明△ABC≌△ADC，得∠BAC＝∠DAC，而∠BAC＝∠DAE，所以∠DAE＝∠DAC，由等腰三角形的“三線合一”得AD⊥CE，則∠CFD＝90°，設(shè)CF＝m，CD＝AD＝x，則CFAF=tan∠DAC＝tan∠BAC=13，所以AF＝3m，DF＝3m﹣x，由勾股定理得m2+（3m﹣x）2＝x2，求得CD＝x=53m【解答】解：（1）如圖1，作法：1．以點(diǎn)D為圓心，BC長為半徑作弧，2．以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)E，3．連接DE、AE，△ADE就是所求的圖形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE＝BC，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SSS），∴△ADE就是△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到圖形．（2）①如圖2，由旋轉(zhuǎn)得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴ABAC=ADAE，∠BAC+∠CAD＝∠DAE∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如圖2，延長AD交CE于點(diǎn)F，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∵AE＝AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD＝90°，設(shè)CF＝m，CD＝AD＝x，∵CFAF=tan∠DAC＝tan∠BAC∴AF＝3CF＝3m，∴DF＝3m﹣x，∵CF2+DF2＝CD2，∴m2+（3m﹣x）2＝x2，∴解關(guān)于x的方程得x=53∴CD=53∴cos∠DCE=CF∴cos∠DCE的值是355．（2021?深圳）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE＝90°，連接CE，H為CE中點(diǎn)，連接BH、BF、HF，發(fā)現(xiàn)BFBH和∠HBF（1）①BFBH=2②∠HBF＝