2023年河北保定市高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/（x）=sin2x的圖象向右平移5個單位長度得到函數(shù)g（無）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[0,可上單調遞增，

則”的最大值為（）.

71715萬7"

A.—B.-C.—D.

2312~\2

已知復數(shù)2二二，則Z的虛部為（

2.)

1-1

A.-1B.-iC.1D.i

+3,凡為奇數(shù)

3.已知數(shù)列｛4｝滿足：％=L=,則4=(

2a“+1,%為偶數(shù)’)

A.16B.25C.28D.33

4.已知函數(shù)/（x）在R上都存在導函數(shù)/'（X）,對于任意的實數(shù)都有%j=e2x,當％＜0時，/（x）+/'（x）＞0,

若efl/（2a+l）＞f（a+1）,則實數(shù)a的取值范圍是（）

2~1「2-

A.0,-B.--,0C.[0,+oo）D.（-co,0J

5.已知非零向量a,5滿足同=胴，若夾角的余弦值為義，且（〃-24“3萬+5）,則實數(shù)x的值為（）

423f43

93292

6.已知隨機變量。滿足「信=左）=仁（1一〃,廣&/，7=1,2,k=0,1,2.若；＜0＜°2＜1,則（）

A.E信）＜E?）,。&）＜。體）B.E（4J＜E⑸,。侑）＞。（乙）

C.E（0）＞E值），0（初＜￡＞（曷）D.E信）＞E?）,啕＞叫）

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

8.波羅尼斯（古希臘數(shù)學家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲

線的性質網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k（k>0,

22

且呼1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓二+4=1（a>b>0）,A,B為橢圓的長軸端

a2b2

IMAI

點，c,D為橢圓的短軸端點，動點M滿足卜質=2,AMAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢

圓的離心率為（）

A&RGn百

A.-----B?-----C?-----D.-----

3322

9.已知丹，石是雙曲線C:1-營=13>0力>0）的左、右焦點，A,8是C的左、右頂點，點尸在過匕且斜率為弓的

直線上，△「/針為等腰三角形，ZABP=120°,則C的漸近線方程為（）

A.y-+—xB.y=±2xC.y=±-xD.y=±百x

23

10.已知函數(shù)〃尤）=皿,8（%）=旄7.若存在%?0,中?）,勺./?使得,4％）=g（W=M&<0）成立，則

X

（\2

-e”的最大值為（）

A.e1

1

D.

11.設一個正三棱柱ABC-DE/L每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并

爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行io次，仍然在上底面的概率為60,

則兒為（）

1

+-

2

12.已知a>〃>0,則下列不等式正確的是（）

A.|Va-/?|<|v^-?|B.即一q〉柩-4

C.|^n—Z?|<\eb—<z|D.卜"-6卜卜

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知二項式卜I：）"的展開式中的常數(shù)項為-60,貝！|“=

14.已知函數(shù)若在定義域內(nèi)恒有/（x）<0,則實數(shù)”的取值范圍是.

\nx-ax

15.二項式（五一的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項為.

16.已知雙曲線C：與一芯=1（6>。>。）的左、右焦點為兄，F(xiàn)2,P（2,正）為雙曲線C上一點，且高=3,

若線段PK與雙曲線C交于另一點4,則APAK的面積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知/（x）=|x+l|+|x+3].

（1）解不等式/（x）<6；

⑵若a*,c均為正數(shù)，且〃a）+/S）+c=10,求/+從+c?的最小值.

18.（12分）貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會的標志性指標.黨的十九屆四中全會提出“堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，建

立解決相對貧困的長效機制”對當前和下一個階段的扶貧工作進行了前瞻性的部署，即2020年要通過精準扶貧全面消

除絕對貧困，實現(xiàn)全面建成小康社會的奮斗目標.為了響應黨的號召，某市對口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開展扶貧工作.對某種農(nóng)產(chǎn)品

加工生產(chǎn)銷售進行指導，經(jīng)調查知，在一個銷售季度內(nèi)，每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬元，未售出的商品，每噸虧損2

萬元.經(jīng)統(tǒng)計A,3兩市場以往100個銷售周期該產(chǎn)品的市場需求量的頻數(shù)分布如下表：

A市場：

需求量

90100110

（噸）

頻數(shù)205030

3市場:

需求量

90100110

(噸)

頻數(shù)106030

把市場需求量的頻率視為需求量的概率，設該廠在下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)〃噸該產(chǎn)品，在A、8兩市場同時銷售，以X

(單位：噸)表示下一個銷售周期兩市場的需求量，Y(單位：萬元)表示下一個銷售周期兩市場的銷售總利潤.

(1)求X>200的概率；

(2)以銷售利潤的期望為決策依據(jù)，確定下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量"=190噸還是〃=200噸?并說明理由.

19.(12分)橢圓W：4+4=1(。>人>0)的左、右焦點分別是匕，居，離心率為走，左、右頂點分別為A，

a-b~2

B.過片且垂直于X軸的直線被橢圓W截得的線段長為1.

(1)求橢圓W的標準方程；

(2)經(jīng)過點P(l,0)的直線與橢圓W相交于不同的兩點C、D(不與點A、B重合)，直線C8與直線x=4相交于

點M,求證：A、。、M三點共線.

20.(12分)已知函數(shù)，=+a--g(x)=g^

(1)當。為何值時，X軸為曲線〉=/(%)的切線；

(2)用max{/",〃}表示加、〃中的最大值，設函數(shù)〃(x)=maxW(x),xg(x)}(x>0),當0<”3時，討論〃(x)

零點的個數(shù).

21.(12分)設拋物線。：尸=2px(p>0)過點(相,2標)(m>0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)產(chǎn)是拋物線C的焦點，過焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若際=2而，求IA8|的值.

22.(10分)在正三棱柱45。1出1。中，已知48=1,44]=2,昆/,6分別是棱441,4。和4。|的中點，以{用，F(xiàn)B,FG^

為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.

(1)求異面直線AC與5E所成角的余弦值;

(2)求二面角尸-BGC的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題意利用函數(shù)了=45缶(5+⑼的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，求出。的最大值.

【詳解】

解：把函數(shù)/(%)=sin2x的圖象向右平移丁個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-5)的圖象，

若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,上單調遞增，

在區(qū)間［0,?］±,2。-芻，

333

則當。最大時，2a-求得〃=與，

3212

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(5+e)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

2.A

【解析】

分子分母同乘分母的共枕復數(shù)即可.

【詳解】

2i2i(i+l)-2+2i

z=-----=---------------=-------1-i,故二的虛部為一1.

i-1(i-l)(i+l)-2

故選：A.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.

3.C

【解析】

依次遞推求出得解.

【詳解】

n=l時，生=1+3=4,

n=2時，％=2X4+1=9,

n=3時，4=9+3=12,

n=4時，as=2x12+1=25,

n=5時，a6=25+3=28.

故選：C

【點睛】

本題主要考查遞推公式的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.B

【解析】

先構造函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性與單調性化簡不等式，解得結果.

【詳解】

令g(x)=e"(x),則當x<0時,g'(x)=e'"(x)+r(x)]>0,

又g(—x)=e-xf(-x)=e"(x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

從而eaf(2a+1)>/(?+1)等價于e2a+'f(2a+\)>ea+'f(a+1),g(2a+1)2g(a+1),

2

因此g(—I2。+11)Ng(—|a+11),—|2。+1—|a+11,3。-+2。K0「.一Q<a<0.選B.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調性求解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

5.D

【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結合同=4w以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.

【詳解】

依題意，得,一2方)?(3M+5)=0,即3同2—5小5_2忖，=0.

將同=/1同代入可得，18萬—19/1—12=0,

34

解得/1=不(4=一”舍去).

29

故選：D.

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的應用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎題.

6.B

【解析】

根據(jù)二項分布的性質可得：夕(4)=0，，(或)=P,(1—P,),再根據(jù);<化<〃2<1和二次函數(shù)的性質求解.

【詳解】

因為隨機變量自滿足外芻/卜。：?！?-**，—？，Z=0,l,2.

所以。服從二項分布，

由二項分布的性質可得：E(4)=0，〃(當)=pj(1-0),

因為g<Pl<P2<l，

所以E(《)<E($),

由二次函數(shù)的性質可得：/(x)=x(l-X),在上單調遞減，

所以￡>(4)>￡>?).

故選：B

【點睛】

本題主要考查二項分布的性質及二次函數(shù)的性質的應用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，

且兩直角邊分別為1和2,所以底面面積為S=Lx1x2=1

2

112

高為人=2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V=—S〃=4xlx2=4,故選A.

333

8.D

【解析】

求得定點M的軌跡方程入—2)+/="土可得_1*2。乂百4=8-'2"』。=1,解得a,b即可.

2323

【詳解】

IAMI

設A(-a,0),B(a,0),M(x,y).；動點M滿足匕』=2,

\MB\

則J(x+a)2+/=2yJ(x-a)2+y2=2,化簡得(x-^-)2+y2=.

,.,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

「41,1,

??一x2ax—。=8o,一x2bx-ci—\,解得a=&力

2323

.??橢圓的離心率為＜1一￡=且.

\a22

故選D.

【點睛】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

9.D

【解析】

根據(jù)△P48為等腰三角形，乙鉆尸=120?？汕蟪鳇c尸的坐標，又由PK的斜率為立可得出。，c關系，即可求出漸

4

近線斜率得解.

【詳解】

如圖，

因為△P48為等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P8HAB|=2a,NPBM=60°,

xp=|PB|-cos6()°+a=2a,yp=\PB\sin60°=6a,

又_8-o_G

人Kpp------------，

'2a+c4

2a=c

3a2=h29

解得2=百，

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=土6x,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.

10.C

【解析】

由題意可知，g(x)=/(e*),由/(%)=g伍)=%(%<0)可得出0<X]<1,w<0,利用導數(shù)可得出函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間(0,1)上單調遞增，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(—,0)上單調遞增，進而可得出％=e*,由此可得出

土=々=g(%2)=Z,可得出(生■2

ek=k'ek,構造函數(shù)〃(后)=廿1,利用導數(shù)求出函數(shù)y=〃(A)在左€(F,0)

玉e-(西

7

上的最大值即可得解.

【詳解】

???/3=竽

由于/(xj=g

=女<0,則In%<0=>0<玉<1,同理可知,x2<0,

x\

函數(shù)y=/(x)的定義域為(0，+8)，/'(%)=號”〉0對Vxc(o,l)恒成立，所以，函數(shù))，=〃x)在區(qū)間(0,1)上

單調遞增，同理可知，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(YO,0)上單調遞增，

==則玉=e*,.,.三=々=g(z)=左，則*ek=k2ek,

玉eIx"

構造函數(shù)〃(%)=左2i，其中k<0,則〃'⑻=(公+2左)修=攵(女+2)六

當左<一2時，〃'僅)>0,此時函數(shù)>=/?(%)單調遞增；當一2<女<0時，〃'僅)<0,此時函數(shù)y=〃化)單調遞減.

4

所以，=

故選：C.

【點睛】

本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及指對同構思想的應用，考查化歸與轉化思想的應用，有一定的難度.

11.D

【解析】

由題意，設第〃次爬行后仍然在上底面的概率為①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率

21

為§月一”②若上一步在下面，則第〃-1步不在上面的概率是1-47.如果爬上來，其概率是3(1-月“)，兩種事件

21

又是互斥的,可得匕+-(1-^,),根據(jù)求數(shù)列的通項知識可得選項.

【詳解】

由題意，設第〃次爬行后仍然在上底面的概率為月.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率為］匕_|(〃22)；

②若上一步在下面，則第n-1步不在上面的概率是1一月T，(〃>2).如果爬上來，其概率是g(l-匕),(〃>2),

兩種事件又是互斥的,?..以=：￡1+；(1-41),即

???數(shù)列］匕是以g為公比的等比數(shù)列，而［=］，所以匕

2⑶2

故選：D.

【點睛】

本題考查幾何體中的概率問題，關鍵在于運用遞推的知識，得出相鄰的項的關系，這是常用的方法，屬于難度題.

12.D

【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項.

【詳解】

已知。>6>0,賦值法討論a>匕>0的情況：

(1)當時，令a=2,b=\,貝“右一。|<|新一《，卜"一。|>——《，排除B、C選項；

(2)當()</><a〈l時，令“=3，b=；,貝!]]右一0>|樂一《，排除A選項.

故選：D.

【點睛】

比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關系，不等式的基本性質，利用特殊值代入法，排除不符合條

件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

在二項展開式的通項公式中，令1?的幕指數(shù)等于0,求出，?的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于-/60求得實數(shù)〃的

值.

【詳解】

:,二項式的展開式中的通項公式為7；+/=4r'f,

令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項為160,-,-a=2,

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題.

1

14.

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=/與對數(shù)函數(shù)y=Inx圖象可將原題轉化為-ox）（lnx—以）＜0恒成立問題，湊而可知y=◎

的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結合分母不為零

的條件可最終確定”的取值范圍.

【詳解】

x

由指數(shù)函數(shù)y=e'與對數(shù)函數(shù)y=lnx圖象可知：e＞inx?

.,./（》）＜0恒成立可轉化為士”＜0恒成立，即（，一奴）（lnx—以）＜0恒成立，.、一依〉]!!%，即丁=6是

\nx-ax

夾在函數(shù)y=e'與y=Inx的圖象之間,

y=◎的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.

設過原點且與y=InX相切的直線與函數(shù)相切于點（〃4Inm）,

[m=e

1Inm

則切線斜率占=一=——，解得：L1?

mmk[=一

、e

設過原點且與y=e"相切的直線與函數(shù)相切于點（〃,e"）,

則切線斜率&=e"=《，解得：|：一1；

-n[k2=e

當。=一時，Inx—x?0,又Inx—一滿足題意；

eee

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為

【點睛】

本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導數(shù)幾何意義應用中的過一點的曲線切線的求解方法；關鍵是能夠結合指數(shù)

函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得

的討論.

in15

15.彳

【解析】

由二項式系數(shù)性質求出〃，由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項.

【詳解】

由題意2"=64,〃=6.

展開式通項為（+1=C；（五）6-=（_，）'CA"E,由3—三二0得廠=2,

2x22

???常數(shù)項為（=（一3）2。；=?.

故答案為：:.

4

【點睛】

本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質，掌握二項展開式通項公式是解題關鍵.

傷9血

10.----

4

【解析】

由已知得|尸周=3歸閭即歸用2=9「周2,上閭2=（2—4+2,可解得心由P（2,后）在雙曲線C上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線PK的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標，借助S“g=S&pg-，即可解得所求.

【詳解】

由已知得歸制=3|"|,又|PK『=（2+C）2+2,|PR『=（2_C）2+2,所以（2+c）?+2=9[（2-域+2],解得

4242

1=1〃=3a2=2

c=3或c=2,由尸（2,/）在雙曲線C上，所以＜a1b2或＜/一乒，所以"6或（舍去），因

b2=2

a2+b2=9a2+b2=4

22

此雙曲線C的方程為工一二=I.又耳（-3.0），所以線段PR的方程為yx+3）,與雙曲線C的方程聯(lián)立消去

36

f7

x整理得8y2—10&),+4=0,所以x=?,必=3,所以點A坐標為一二,一，所以

I44J

SbPAF?=SAPFR-§必65

2244

【點睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學生的計算能力，難度較難.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）（-5,1）；⑵2

【解析】

（1）利用零點分段討論法可求不等式的解.

（2）利用柯西不等式可求標+〃+c.2的最小值.

【詳解】

2x+4,x>-l

(1)/(x)=<2,-3<x<-l,

-2x-4,x<-3

x>-l-3<x<-lxW—3

由/(n)<6得<或<CN或V

2x+4<62<6-2x-4<6'

解得XG(-5,1).

(2)/(a)+/?+c=(2a+4)+(?+4)+c=10,

所以2z7+2Z?+c=2,

由柯西不等式+〃；+裙)僅：+力；+&)N(岫+a2b2+得：

[a2+b2+c2)^+T2+l2)>(2a+2b+c)2

所以g3+/+c+w+zb+cy=4,

44

BPa2+h2+c2>-(當且僅當a=b=2c=—時取“=”).

99

4

所以/+〃+。2的最小值為g.

【點睛】

本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平

方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數(shù)式的正負，而利用圖象

法求解時注意圖象的正確刻畫.利用柯西不等式求最值時注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.

18.(1)0.42；(2)〃=200噸，理由見解析

【解析】

(D設“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件A,4,A3,“8市場需求量為90,100,110噸”分別記為

事件%83,由題可得尸(4),P(A),尸(A),尸(鳥),代入

B2,P⑻,P(BQ,

尸(X>200)=,計算可得答案；

(2)X可取180,190,200,210,220,求出〃=190噸和"=200噸時的期望，比較大小即可.

【詳解】

(1)設“A市場需求量為90,100,110噸”分別記為事件4，4，4,“B市場需求量為90,100,11()噸”分別記為

事件用，則

B2,B3,

P(A)=0.2,P⑷=0.5,P(A,)=0.3,

p(4)=0.1,尸(務=0.6,P(員)=0.3,

p(X>200)=P(44+A,B2+)

=p(a)p(⑷+P(A)P(52)+P(4)P(4)

=0.5x0.3+0.3x0.6+0.3x0.3=0.42；

(2)X可取180,190,200,210,220,

P(X=180)=0(A4)=0.2x0.1=0.02

P(X=190)=P(A,BI+4B2)=0.5X0.1+0.2X0.6=0.17

當〃=190時，E(r)=(180x5-10x2)x0.02+190x5x(1-0.02)=948.6

當〃=200時，E(y)=(180x5-20x2)x0.02+(190x5-10x2)x0.17+200x5x(1-0.02-0.17)

=985.3.

v948.6<985.3,

.??〃=200時，平均利潤大，所以下個銷售周期內(nèi)生產(chǎn)量〃=200噸.

【點睛】

本題考查離散型隨機變量的期望，是中檔題.

r2

19.(1)±+y2=1；(2)見解析

4

【解析】

2b2

(1)根據(jù)已知可得式-=1,結合離心率和。*,C關系，即可求出橢圓W的標準方程；

a

(2)8斜率不為零，設CO的方程為了=加'+1,與橢圓方程聯(lián)立，消去x,得到縱坐標關系，求出方

程，令x=4求出M坐標，要證A、D、/三點共線，只需證心。一心,”=0,將心0-&時分子用縱坐標表示,

即可證明結論.

【詳解】

r2

(1)由于02=儲—從，將X=-C代入橢圓方程'+=1,

Q-

Wy=±—.由題意知近=1,即a=2〃.

aa

又e=￡=正，所以a=2,b=l.

a2

2

所以橢圓W的方程為工+y2=i.

4-

(2)解法一：

依題意直線CO斜率不為0,設CO的方程為x=my+l,

x=my

聯(lián)立方程X2,，消去X得（〃?2+4）;/+2/2一3=0,

一+y=1

I4'

由題意，得/>0恒成立，設。(王，,)，D(x2,y2),

b,、，2m3

所以x+%=一-一-r-T

加+4m+4

直線CB的方程為y=-A；（x—2）.令x=4,得V（4,-^）.

%1-2%1-2

又因為4—2,0）,。（乙,必），

則直線A"■的斜率分別為原L養(yǎng)'正號，

%y=3%（內(nèi)一2）一%（工2+2）

所以％AO—^AM

x,+23（尤1—2）3（Xj—2）（X2+2）

上式中的分子3y2(王一2)—y(x2+2)=3%。孫一1)-X(加為+3)

c?、-6/〃+6帆八

=2g%-3(y+y)=-；——=0,

2m-+4

一心“=0.所以A，D,"三點共線.

解法二：

當直線CD的斜率攵不存在時，由題意，得CO的方程為x=l,

代入橢圓W的方程，得C(l,日)，DQ,-日),

直線CB的方程為y=-￥(x-2).

則M(4,-g),AM=(6-y/3),AD=(3-—),

2

所以麗=2而，即A，D,M三點共線?

當直線CD的斜率Z存在時，

設8的方程為3=網(wǎng)無一1)(b0),D(x2,y2),

'y^k(x-l),

聯(lián)立方程I爐消去y,得(4代+l)f-8公x+4公-4=0.

工+丁=1,

I4

Qb24*2—4

由題意，得/>0恒成立，故%%=絲1?

直線C8的方程為y=-A;(x-2).令x=4,得"(4,-^).

Xj-2x,-2

又因為A(—2,0),。(馬。2)，

則直線AD,AM的斜率分別為原一六‘腦=建'

所以心。一心”二春一反含53y2(%—2)—%(々+2)

3(X,-2)(%+2)

上式中的分子3%(%一2)—%(%+2)=3Z&2-1)(玉-2)-k(x,-l)(x2+2)

4“2_48I-2

=2@々-5Mxi+x2)+8k=2kx-v------5kx--~~+Sk=0

4t+14F+1

所以MD-以M=0.

所以A，D,/三點共線.

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，要熟練掌握根與系數(shù)關系，設而不求方法解決相交弦問題，考查

計算求解能力，屬于中檔題.

3

20.(1)。=—；(2)見解析.

4

【解析】

/'(xo)=°

(1)設切點坐標為(毛,0),然后根據(jù)\八可解得實數(shù)"的值;

/(%)=°

沖令力(力=4(力=一/+公-；,g](x)=xg(x)=lnx(x>o),然后對實數(shù)。進行分類討論，結合工a

和于\(1)的符號來確定函數(shù)y=〃(x)的零點個數(shù).

【詳解】

/5)=。

設曲線y=/(x)與x軸相切于點(七,0),則"

/'(%)=0'

-+a----——o1

4%

即《,解得，

3

―2%+~r^~°a--

4片4

3

所以，當a=a時，X軸為曲線y=/(x)的切線;

3

(2)令/(x)=4(x)-x+ax-—,g}(x)=xg(x)=Inx(x>O),

則〃(x)=max{/；(x),g|(x)},<'(力=-3f+。，由<'(力=0,得.丫=a

3

當xe0,J1時，<'(力>0,此時，函數(shù)y=/；(x)為增函數(shù)；當xe號+8時，此時，函數(shù)y=/；(%)

為減函數(shù).

-.-0<a<3,0<^<l.

3

①當工,即當0<4<1時，函數(shù)y=/i(x)有一個零點;

3

②當工,即當q=j時，函數(shù)y=〃(x)有兩個零點;

35

③當<，即當時，函數(shù)y=〃(x)有三個零點;

［創(chuàng)<0

>05/、

④當,即當a=j時，函數(shù)y=/?(x)有兩個零點;

［工⑴=0

,即當:<時，函數(shù)只有一個零點.

⑤當a<3y=/i(x)

〔工⑴>0

35

綜上所述，當0<a<：或j<a<3時，函數(shù)y=/z(x)只有一個零點;

當4=彳或a=W時，函數(shù)y=/7(x)有兩個零點；

當時，函數(shù)y=/i(x)有三個零