2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年湖南省長沙市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若直線/過點(diǎn)4（1,2）,不過第四象限，則直線/的斜率的最大值為（）

1

A.0B.1C.-D.2

2

2.函數(shù)y=sin、+x}anx的一條對稱軸方程是（）

71c兀

A.X=0B.x=-C?x=一

42

34

D.x=——

4

3.若集合/={〃eN|A：=A：T},6={〃eN|C：=C：-"},則/8=()

A.0B.{4}C{0,4}

D.{0,1,2,3,4}

4.如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形N8CD兩邊/氏/。為斜邊向外作等腰直角

JT八八

△4DF,若AB=2,AD=1,/BAD=-,則/。研=()

372

F

逑

F

5.6名志愿者分配到3個(gè)社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至

少分配一名志愿者且人數(shù)各不相同，不同的分配方案共有（）

A.540種B.360種C.180種D.120

種

6.雙曲線烏―g=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)尸與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，兩曲線有一

個(gè)公共點(diǎn)為P,若|=4,則該雙曲線的離心率為（）

A.y/2.4-1B.y/3+1C.y/3-1D.2

7.函數(shù)/（工）=/）+/+???+工一1（%>0）的零點(diǎn)屬于區(qū)間（）

乜石T）

8.己知X/,OER,若e'T<（x-y一1）/,則J+歹2-2xcos6—2ysin6的最小值等

于（）

A.3—2>/2B.2—2^/^C.2+2>/2

D.3+272

二、選擇題：本共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是

符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z=-2+i,則（）

A.Z的虛部是一2B.Z的共樞復(fù)數(shù)是-2-i

C.z的模是J?D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是（一2,1）

10.下列數(shù)列｛%｝中，單調(diào)遞增的數(shù)列是（）

A.%=（“一3）2B.a=_fC

na“=tan〃

11.法國數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了解析幾何思想方法的先河.他研究了許多優(yōu)美的曲線，在平面

直角坐標(biāo)系中，方程/+3?=34呼所表示的曲線稱為笛卡爾葉形線.當(dāng)。=1時(shí)，笛卡爾

葉形線具有的性質(zhì)是（）

A.經(jīng)過第三象限B.關(guān)于直線y=x對稱

C.與直線x+y+l=O有公共點(diǎn)D.與直線x+y+l=O沒有公共點(diǎn)

12.過下列哪些點(diǎn)恰可以作函數(shù)/(x)=2/—3x的兩條切線()

A.(-2,-10)B.(-2,3)C(-2,6)

D.(-2,8)

三、本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.+的展開式的常數(shù)項(xiàng)是.

14.圓/+/=1與圓a—4)2+⑶一4y=25的公共弦長等于.

15.如圖，在正方體Z8CD—44G2中，動點(diǎn)加在線段4c上，異面直線力口和8M所

成的角為。，則6的取值范圍是.(用區(qū)間表示)

16.曲線的曲率就是針對曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的

程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大，工程規(guī)劃中常需要計(jì)算曲率，如高鐵的彎道設(shè)

計(jì).曲線y=/(x)在點(diǎn)(x,7(x))曲率的計(jì)算公式是K=/,其中/是V的導(dǎo)

函數(shù).則曲線肛=1上點(diǎn)的曲率的最大值是.

三、本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題10分)

“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社

會的優(yōu)質(zhì)平臺.該平臺首次實(shí)現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿

足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國

家動態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP.某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)國家

政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖

是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在區(qū)間［6,8)內(nèi)的概率和每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”

的平均時(shí)長；

(2)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從

［4,6)和［10,12)組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會，求所選取

的2人來自不同的組的概率.

18.(本題12分)

記&為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知外=1,>的公差為1的等差數(shù)列.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：1---1—,H---<2.

q/a?

19.(本題12分)

如圖，△/8C中，角B,C的對邊分別為a,b,c,(b+c+a)(b+c-a)-3bc.

(1)求4的大??；

(2)若A4BC內(nèi)點(diǎn)P滿足NPAB=NPBC=NPC4=NP4C,求/8尸。的大小.

20.(本題12分)

如圖所示，在直三棱柱Z8C—44G中，AB工BC,AB=BC=2BB1=2,E為BB1的

中點(diǎn).

(1)直線3C與平面的交點(diǎn)記為M,直線4片與平面NEC的交點(diǎn)記為N.證明:

直線MN〃平面NCC/i?

(2)求二面角E—NG—。的大??；

21.(本題12分)

22

設(shè)P,E分別是橢圓]+]=l(a〉b>O,aeN*)的左，右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M滿足

NENF=900且叢ENF的面積為20.

(1)求b的值；

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),直線過點(diǎn)P,與橢圓交于點(diǎn)4B,線段43的中點(diǎn)記為若

|列是|E4|與|￡B|的等比中項(xiàng)，求。的最小值，并求出此時(shí)直線/的方程.

22.(本小題12分)

設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)-",aeR,曲線y=/(x)在原點(diǎn)處的切線為x軸,

(1)求〃的值；

x2

(2)求方程/(x)=———的解;

x+2

20232022.420242023.5

(3)證明:<e<

20222023

考試答案

2-0

1.答案：D解析：直線/的斜率的最大值=——=2.

1-0

171

2.解析：y=sinxXWATTH——，攵cZ,對稱軸方程是工=左江+—,左￡Z,取左=0,

k2J2

TT

知*=一是一條對稱軸.選C.

2

3.答案：B解析:4={4},8={0,1,2,3,4},4B={4}.

3

4.答案：B解析：ACEF=(AB+ADy(AF-AE)=ADAF-ABAE=--.

5.答案：B解析：共有C；C；C；A；=360種.

6.解析：不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，；|尸尸|=4=p,的坐標(biāo)為(2,4).?.?雙曲線的焦

點(diǎn)是尸(2,0),^(-2,0),根據(jù)雙曲線的定義2。=|尸耳卜|P*=4逝-4,...

e=—=y/2+1.

a

C解析因?yàn)?(%)是增函數(shù)

1if

1.2

-1-----1-----1=一—1=—0,

10

21--2

2

+???+>0,所以/(x)有唯一的零點(diǎn)

8.解析：由題意得e"尸2=》—歹―1,所以x-y-2=0.設(shè)P是直線x-y-2=0上的

點(diǎn),0(cosQsin。)是圓是+產(chǎn)曰上的點(diǎn),則丁十科—2xcos?！?ysin8=|尸。f一1,

答案:B.

9.答案：BCD

10.答案：BD

11.答案：BD解析：A：若x<0,y<0,則d+y1o,3孫〉0,/+w3砂

B：若點(diǎn)（x,y）在曲線上，則點(diǎn)（y,x）也在曲線上.

C、D：由方程組卜3+L得［*+'=°方程組無解.

x+y=-\［x+y=-1

13.答案：20

14.答案：V2解析：易知點(diǎn)4（1,0）,8（0,1）為兩圓交點(diǎn)，

ITTT

15.答案：解析：連結(jié)8G，由正方體的性質(zhì)，知8G「所以異面直線

和BM所成的角即直線BCy與BM所成的角，3的最小值為BC］與平面A.BC所成的角?設(shè)

7T

3M的交點(diǎn)為。，則“g為的與平面.所成的角.所以。的最小值為?

的最大值為一,一

63

16.答案：—解析：對于曲線呼=l，V=—4/"=W

2xx

K=,當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時(shí)等號成立.

17.解：（1）由題意知，該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［6,8）內(nèi)的頻率為0.15x2=0.3,

所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［6,8）內(nèi)的概率為0.3.

由題意知各組的頻率分別為0.05,（）.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05,

所以于=1x0.05+3x0.1+5x0.25+7x0.3+9x0.15+11x0.1+13x0.05=6.8,

所以估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長是6.8小時(shí).

（2）由（1）知，利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”時(shí)長在［4,6）和［10,12）的頻率分別為0.25,0.1,故兩

組人數(shù)分別為250,100,采用分層抽樣的方法從［4,6）組抽取5人，記作a,b,c,d,e；

從［10,12）組抽取2人數(shù)為，記作4B-,……

從7人中抽取2人的基本事件有

ab.ac,ad,ae,aA,aB,be,bd,be,bA,bB,cd.ce,cA,cB,de,dA,dB,eA.eB,AB,共21個(gè)，來

自不同組的基本事件有。4響四姐”,俎d4gMs'共I。個(gè)'故所求概率尸=?.

另解：P=嬰=12.

C；21

S1

18.解：(1)因?yàn)閝=1,所以'?二一.

11x22

c11<?11

又因?yàn)?〃是公差為上的等差數(shù)列,所以-〃?=」+上(〃一1),

〃(〃+l)J3〃(〃+1)23

所以S“=！〃(〃+1)(2〃+1).

6

2

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_{=n,n=1時(shí)，ax=1也滿足上式.

所以{%}的通項(xiàng)公式是勺=".

(2)當(dāng)〃=1時(shí):—=1<2,不等式成立；

當(dāng)心2時(shí)，LL…+，」+[+[+…+二<1+,+'+1

H----------------

a}a2an1231x22x3(〃一1)〃

=1+1-;+n

—+…+=2--<2

3)(〃一1n

19.解：(1)因?yàn)?力+c+a)S+c-a)=3bc,

所以b2+C1-a1=bc,

“2由?彳b2+c2-a2be1

由余弦理，得cosA=-----------=----=-

2bc2bc2

TT

因?yàn)?</〈乃，所以/=—.

3

(2)設(shè)4PCB=a/PBA=0,在△尸6c和△P48中分別應(yīng)用正弦定理，得

PBsinaPAsinB廠、，八，八八

——=------,—=———,因?yàn)镽4=PC,

PCsin30°PBsin30°

]TTTT27r

所以sina-sin4=—,又因?yàn)閍+，=—,所以a=/?=—,所以N8PC=——

4363

AA

20.解：根據(jù)題意知，兩兩垂直，分別以也1為x軸，y軸，z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-平.因?yàn)锳B=BC=2BB1=2,￡為8民的中點(diǎn).所以

^(0,0,2),m0,0),C(2,0,0),￡^0,p0^,C1(2,l,0),Jc>(2,l,-2),Ict(2,0,-2).

(1)直線8C與GE的交點(diǎn)即為直線8c與平面ZEG的交點(diǎn)〃，直線ZE與4片的交點(diǎn)

即為直線44與平面ZEC的交點(diǎn)N,所以M(-2,0,0),N(0,l,-2).

所以加二(2,1,—2),加=NC；,所以MN〃/G，又(=平面/CG4,朋Na平面

ACC,A,,所以直線MN〃平面NCG4.

(2)設(shè)G為NC的中點(diǎn)，則6G_L/C,因?yàn)槠矫鎆8C_L平面NCG4，且它們的交線

是/C,所以8G，平面/CG4,所以平面ZCG4的一個(gè)法向量3G=(l,0,l).

ZE=(0,；,—2),EG=(2,g,0),設(shè)/1=(xo，%,zo)是平面AEC,的法向量，則

^-AE'=0,5%-2ZO=O,X(11、Tx

l4X〃Tg=S，i2x0+，％=0.令X)=2,得〃=I——2,2,2-),8G-〃=0,所以二面角

E—〃G—C的大小是90°.

m+n=2a,

21.解《)設(shè)|2|=m,|即|=〃，根據(jù)題意得(加2+〃2=4。2=4(/—62),解得62=20

mn=40

(2)由中線長公式|楨|2=g(|￡4『+|五—力力切2,

又因?yàn)镮FN|2=|FA\-\FB\,所以『=2（|E41FB.

設(shè)/（X|,乂），8（看,8），記c=《6-20,則J（X]+c『+y；+J（x「C）2+y\—2a,從

而1（Xi+c）2+y；-J（X1—c『+y；+4+/=〃+卜，即

\FA\=-xi+a,同理|必|=二/+4,

aa

所以|F/H所|=：（X「馬），帶入①，得（七一工2）2+（乂一/）2=苧（為一》2）2.

整理，得（乂一%）2=巧竺&—0）2

由②得。2-40?0,因?yàn)閍eN*,所以a的最小值為7,

此時(shí)（%—為y=2國—當(dāng)）2,即直線/的斜率為上三=±3.

49Xj-x27

3

又點(diǎn)尸（1,1）在橢圓內(nèi)，于是兩條直線y-l=+-（x-1）均滿足要求.

綜上，a的最小值是7,此時(shí)直線/的方程為3x-7y+4=0或3x+7y—10=0.

22.(1)a=l