第35講 三角函數(shù)的應用（教師版）-高一數(shù)學同步講義

第13講三角函數(shù)的應用

號目標導航

課程標準課標解讀

1.掌握三角函數(shù)的圖象與解析式之間的

對應問題的處理方法.

2.能結(jié)合實際生產(chǎn)與生活中與三角函數(shù)

之間的密切關(guān)系，用三角函數(shù)這一數(shù)

通過本節(jié)課的學習，要求掌握常見的三角函數(shù)應用問題

學模式解決與之相關(guān)的問題.

的處理方法，了解并掌握數(shù)學建模的方法與步驟，能處

3.能處理三角函數(shù)相關(guān)學科之間的問

理與三角函數(shù)相結(jié)合的數(shù)學問題、物理問題及與之相關(guān)

題，用三角函數(shù)這一重要工具解決與

的其它學科與生產(chǎn)、生活有密切聯(lián)系的問題.

數(shù)學、物理學及其它學科與之相關(guān)聯(lián)

的問題.

4.掌握數(shù)學建模的重要方法與步驟，并

能嚴謹?shù)膽脭?shù)學知識解決問題.

漱:知識精講

*'知識點

1.三角函數(shù)模型的簡單應用

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)

律、預測等方面發(fā)揮著十分重要的作用.

教材中的例2對太陽光照以及潮汐問題的研究為我們展示了怎樣運用模型化的思想建立三角函數(shù)模型的方

法和過程.

2.三角函數(shù)模型應用的步驟

三角函數(shù)模型應用即建模問題，根據(jù)題意建立三角函數(shù)模型，再求出相應的三角函數(shù)在某點處的函數(shù)

值，進而使實際問題得到解決.

步驟可記為：審讀題意一建立三角函數(shù)式一根據(jù)題意求出某點的三角函數(shù)值一解決實際問題.

這里的關(guān)鍵是建立數(shù)學模型，一般先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫出具體的

三角函數(shù)解析式.

3.三角函數(shù)模型的擬合應用

我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應的“散點圖”，通過觀察散點圖并進行數(shù)據(jù)擬合，從而獲得具體的

函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應的實際問題.

TTTT

【即學即練1】把函數(shù)產(chǎn)sin（x+§）的圖象上所有點向右平移1個單位長度，再將所得圖象的橫坐標變?yōu)樵?/p>

來的g（縱坐標不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin（s+0）（加>0,附〈兀），則（）

1兀兀

A.co=—,（p=——B.CD=2（/）=一

2393

2兀

C.（o=2f0=0D.CD=2,^=—

【答案】C

TTTTTTJT

【解析】把函數(shù)y=sin（X+1）的圖象上所有點向右平移點個單位長度得到函數(shù)y=sin[（X-^）+^]=sinx的

圖象，再將所得圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標不變），所得圖象的解析式是產(chǎn)sin2x,故。=2,%0.

TT

（即學即練2】電流強度/（單位:安）隨時間"單位:秒）變化的函數(shù)/=Asin（初+9）（4〉0,0〉0,0<9<2）

的圖象如圖所示，則當仁二一秒時，電流強度是（）

100

A.一5安B.5安

C.5百安D.10安

【答案】A

【解析】由題圖可知4=10,—T=——4-——1，即1六一2，所T以。=r」=10的，函數(shù)圖象過點（0,5）且0<”上7t,

230030050T2

777rl

所以3=不，所以函數(shù)為/=10sin（100"+不），當秒時，/=—5安.故選A.

TT

【即學即練3】如圖，某港口?天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)）=3sin（—x+9）+k.據(jù)此函

6

數(shù)可知，這段時間水深（單位:

A.5

C.8D.10

【答案】C

【解析】根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2,有一3+"2,k=5,最大值為3+48.

【即學即練4】如圖所示，質(zhì)點尸在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為Po（、Q,-V2）,角

速度為1,那么點P到x軸的距離d關(guān)于時間［的函數(shù)圖象大致為（)

D

【答案】c

【解析】因為R）（、歷，-V2）,所以/PoOx=一四.因為角速度為1,所以按逆時針旋轉(zhuǎn)時間，后，得

4

7T7TTT

NPOPo=f,所以由三角函數(shù)定義，知點2的縱坐標為2sin?——），因此g2|sin?一一）|.令

444

r=0,則d=2|sin（—￥）|二.當/='■時，d=0.故選C.

44

【即學即練5】某彈簧振子做簡諧振動，其位移函數(shù)為，=疝（切+23>0）,其中f表示振動的時間，y表

示振動的位移，當fe[0,2]時，該振子剛好經(jīng)過平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過程

中該振子有（）次離平衡位置的距離最遠.

A.3B.2C.5D.5或6

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠的次數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知2?與,9），fe[0,2]時，該振子離平衡位置的距離最遠的次數(shù)共5

或6次，

【即學即練6】我們學過用角度制與弧度制度量角，最近，有學者提出用“面度制''度量角，因為在半徑不同

的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個常數(shù)為該角的面度數(shù)，這

種用面度作為單位來度量角的單位制，叫做面度制.在面度制下，角e的面度數(shù)為（，則角。的余弦值為

（）A.-且B.--C.；D.@

2222

【答案】B

【分析】利用扇形面積公式，根據(jù)面度數(shù)定義，求角夕

【詳解】由面度數(shù)的定義可知.'I=萬,即0cose=cos0-g.故選：B

口能力拓展

考法01

1.函數(shù)解析式與圖象的對應問題

（1）已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，可結(jié)合函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)排除干擾項即可得到正確的選項.

（2）函數(shù)圖象與解析式的對應問題是高考考查的熱點，解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的

函數(shù)性質(zhì)來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性、單調(diào)性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù).

【典例1].己知函數(shù)/（x）=3sin（2x+e）,xeR.

（1）用“五點法''作出y=/（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；

（2）請說明函數(shù)y=/（x）的圖像可以由正弦函數(shù)丫;出門、的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）先由函數(shù)解析式，按五個關(guān)鍵點列表，再描點連線，即可得出圖像；

（2）根據(jù)函數(shù)的平移變換以及伸縮變換的原則，即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）按五個關(guān)鍵點列表：

713TC

2x+-71

0T2兀

62

71715兀2/r1171

X

"12nT五

fM030-30

筒圖如圖所示.

（2）先將函數(shù)丫=5也”圖像上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=3sinx的圖像；再將

得到的圖像向左平移2個單位長度，得至1」丫=35也（工+1）的圖像；最后將得到的圖像上所有點的縱坐標不

變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼牡玫紽（x）=3sin（2x+tJ的圖像.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)圖像的畫法，以及三角函數(shù)的伸縮變換與平移變換，熟記五.點作圖法，以及圖像變

換的法則即可，屬于?？碱}型.

（71兀、

【即學即練7】函數(shù)11眼05磯-5<》<,的圖象是（）

【答案】A

（71兀、

【解析】丁=111（85幻［-5<%<5）是偶函數(shù)，，可排除8、D;

兀1

又當X=—時，y=ln—<0,故選A.

32

【名師點睛】該題也可直接利用余弦函數(shù)的定義域得到，顯然只有選項A滿足題意，直接得到正確的選

項.所以該類問題抓住函數(shù)的“特性”很重要.

【即學即練8］函數(shù)y=sin|x|的圖象是（）

【答案】B

【解析】令段)=sin|x|,xSR,則/(—x)=sin|-x|=sin|x|=y(x),.,.函數(shù)/(x)=sin|M為偶函數(shù)，排除A；

又當工=一時，y=sin|—|=sin—=1,排除D；

2'22

當x=5時，y=sin|——|=sin——=-1,排除C,故選B.

22

【名師點睛】解決函數(shù)圖象與解析式對應問題的策略

(I)解決此類問題的一般方法是根據(jù)圖象所反映出的函數(shù)性質(zhì)來解決，如函數(shù)的奇偶性、周期性、圖象

的對稱性、單調(diào)性、值域，此外零點也可以作為判斷的依據(jù).

(2)利用圖象確定函數(shù)y=Asin((?x+0)的解析式，實質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A,a>,<p.

其中4由最值確定；

3由周期確定，而周期由特殊點求得；

9由點在圖象上求得，確定0時;注意它的不唯一性，一般是求刷中最小的夕.

考法02

函數(shù)解析式的應用

(1)已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關(guān)問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即可.

(2)三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應用主要是對相關(guān)量物理意義的考查.

【典例2].如圖，某海港一天從0~12h的水位高度y(單位：m)隨時間f(單位：h)的變化近似滿足函

數(shù)y=4sin(〃+夕)+6(A>0。>0,()<°<萬).

|y/m

0\2610z/h

(1)求該函數(shù)的解析式；

(2)若該海港在水位高度不低于6m時為輪船最佳進港時間，那么該海港在0~12h,輪船最佳進港時間總

共多少小時？

(71

【答案】(1)y=4sinl-/+-114+4,0釉12；(2)—h.

【分析】

(1)由圖可得人=等=4,〃=竿=4,7=2x00-2)=16,再由周期公式可求出,再把將，=2,

y=8代入可求出勿的值，從而可求得函數(shù)的解析式;

(2)由4s喂可J+4..6可求出結(jié)果

【詳解】

Q_AQ_i_n

(1)由圖可知，A=^=4,6=寸=4.

VT=2x(10-2)=16,.-.—=16,解得＜y=g,

CD8

/.y=4sin[*/+e)+4.

jrn

將t=2,y=8代入上式，解得gx2+g=彳+2ATT,kwZ,

82

?:金<(p<冗，：.(p=—,

故該曲線的函數(shù)解析式為y=4sin[(/+?)+4,0釉12.

(2)由題意得4sin修，+f]+4..6,即sin仔f+/]..、,解得[+2匕淡吟￡學+2&%,keZ,即

(84J<84；26846

214

--+16硼—+16A,keZ.

33

14

V0>12,二當％=0時，即魄小—,

3

14

二該海港在0~12h的輪船最佳進港時間總共為.

【即學即練9】如圖，某地一天從6?14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)尸AsinQx+0)+6(A>0,。>0,

0<9<兀)，則該函數(shù)的表達式為

TT371

【答案】y=10sin(—x+—)+20

84

2兀7t

【解析】由題意可知，函數(shù)的周期T=2x(14—6)=16,???口=；7

16

30-10

-------=A

2A=10兀

乂〈b20，*,?y=10sin(-x+^)+20.

30+10

-------=h7

2

71371371

20=10sin(—xl04-(^)+20,/.sin(—+9)=0,/.—+(p=knfk^Z.

3n7i3K

XV0<^<n,*.(p=—,.'.y=10sin(——x-\----)+20.

考法03

三角函數(shù)在物理學中的應用

【典例3]下圖是某簡諧運動的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問題:

(1)寫出這個簡諧運動的振幅、周期與頻率

(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如果從A點算起呢？

(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式.

【答案】⑴振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為g；

(2)如果從。點算起，到曲線上。點，表示完成了一次往復運動；如果從4點算起，到曲線上E點，表示完

成了一次往復運動；

5%

(3)y=2sin—x,xe[0,+oo).

【分析】

(1)從圖像中可以直接得到振幅、計算周期和頻率；

(2)從圖像中可以看出；

⑶設(shè)這個簡諾動的函數(shù)解析式為丁=入出(8+9)6式0,內(nèi)),從圖像得到A3,9，即可得到解析式.

【詳解】

(1)從圖像中可以看出：這個簡諧運動的振幅為2cm,周期為0.8s,頻率為人=3；

0.84

(2)如果從。點算起，到曲線上。點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，到曲線上E點，表示完

成了一次往復運動；

(3)設(shè)這個簡諧運動的函數(shù)解析式為y=Asin(<yx+e),xe[0,M),由圖像可知：A=2,*=0,又由

245乃

T=—=0.8,得：co=—.

co2

S乃

所以所求簡諧運動的函數(shù)解析式為卜=2$111耳為工€[0,+<?).

【典例4]彈簧掛著的小球做上下振動，它在時間f(s)內(nèi)離開平衡位置(靜止時的位置)的距離人(cm)由下面的

TT

函數(shù)關(guān)系式表示：〃=3sin(2f+—).

4

(1)求小球開始振動的位置；

(2)求小球第一次上升到最高點和下降到最低點時的位置；

(3)經(jīng)過多長時間小球往返振動一次？

(4)每秒內(nèi)小球能往返振動多少次？

【解析】(1)令仁0,得/z=3sin2=逑，所以開始振動的位置為(0,—).

422

7T7T

(2)由題意知，當人=3時，t=-,即最高點為(一,3);

88

當仁—3時，廠5一7r，即最低點為(S一IE,一3).

88

27r

(3)T-——=K-3.14,即每經(jīng)過約3.14s小球往返振動一次.

2

(4)/=1?0.318,即每秒內(nèi)小球往返振動約0.318次.

【名師點睛】解決此類問題的關(guān)鍵在于明確各個參數(shù)的物理意義，易出現(xiàn)的問題是混淆彼此之間的對應關(guān)

系導致錯解.

【典例5】單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間〃單位：s)的函數(shù)關(guān)系式為s

=6sin(27t?+-^).

(1)作出函數(shù)的圖象.

(2)當單擺開始擺動(f=0)時，離開平衡位置的距離是多少？

(3)當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？

(4)單擺來回擺動一次需多長時間？

【解析】(1)利用“五點法''可作出其圖象.

7T

(2)因為當1=0時，s=6sin—=3,所以此時離開平衡位置3cm.

(3)離開平衡位置6cm.

(4)因為T=——=l,所以單擺來回擺動一次所需的時間為Is.

2兀

【名師點睛】三角函數(shù)在物理中的應用

三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關(guān)問題考查最多,

尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法.

考法04

三角函數(shù)在平面幾何中的應用

【典例6】如圖，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點落在矩形的左邊上，那么折痕長度/取決于角

。的大小.探求/,。之間的關(guān)系式，并導出用。表示/的函數(shù)表達式.

sin。。+cos20)

【分析】

根據(jù)圖形判斷直角三角形，利用直角三角形求解AE=GEcos2^=/sin0cos2^,由

4E+BE=/sin(98s2，+/sin9=6,求解即可.

【詳解】

解：由已知及對稱性知，GF=BF=lcos。,GE=BE=lsm0,

乂NGEA=ZGFB=20,

AE=GEcos20=1sin6cos29,

又由AE+BE=/sin9cos盼+/sin°=6得：d疝正8s2。）

【典例7】南開園自然環(huán)境清幽，棲居著多種鳥類，熱愛動物的南青同學獨愛其中形貌雅致的藍膀香鵲，于

是她計劃與生物興趣小組的同學一起在翔字樓前廣場一角架設(shè)一臺可轉(zhuǎn)動鏡頭的相機，希望可以捕捉到這

種可愛鳥兒的飄逸瞬間，南同學設(shè)計了以下草圖，為簡化模型，假設(shè)廣場形狀為正方形，邊長為1,已知相

機架設(shè)于A點處，其可捕捉到圖象的角度為45,即NE4Q=45,其中P,Q分別在邊BC,C￡＞上，記

N8"=e（o麴B(yǎng)45）.

(1)南鶯同學的數(shù)學老師很欣賞她的計劃，并根據(jù)她的設(shè)計草圖編制了此刻你正在思考的這道期中考試試

題，設(shè)AC與PQ相交于點R,當6=30時，請你求出：

(i)線段。。的長為多少？

(ii)線段AR的長為多少？

(2)為節(jié)省能源，南鶯同學計劃在廣場上人員較多的時段關(guān)閉相機鏡頭的自動轉(zhuǎn)動功能，為使相機能夠捕

捉到的面積(即四邊形APC。的面積，記為S)最大，。應取何值？S的最大值為多少？

【答案】(I)(i)2-73,(ii)瓜-五,(2)

【分析】

(1)如圖建立平面直角坐標系，在用D4Q中，直接求解。Q,從而可得。(2-6,1),求出直線P。的方

程，再與直線AC的方程聯(lián)立可求出點R的坐標，再用兩點間的距離公式可求出AR的長；

TTTT

(2)由于3P=ABtan9=tan6,DQ=ADtan(--^)=tan(--0),從而可求出S八期,5從園的值，進而可表

44

示出四邊形APCQ的面枳，再用三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值

【詳解】

解：(1)如圖建立平面直角坐標系，由于8=30，AB=AD^BC=CD^l,

所以40,0),C(l,l),8(1,0),。(0,1),

由tan<9=t^,得8P=ABtan30°=f，所以P(l,g),

因為ZPAQ=45,ZBAP=30°,所以NOAQ=15°,tan15°=tan(45°-30°)=3符一血好=2一代

1+tan45°tan30°

在Rf.DAQ中，tanZDAQ=—,pjljDQ=ADtanZ.DAQ=tan15°=2->/3,

AD

所以Q(2-G,l),

k=----

1k+m=—G東所以直線尸。為y=-石2#)

設(shè)直線產(chǎn)。為丫="+，〃,則3,解得，--XH-----?

33

(2-Bk+m=lm=———

3

直線忙為丁=》,

62>/3

y=----x+----X=yf3-1廠l

ill<33得L，Bp/?(V3-1,V3-1),

y=x

所以AH=7(>/3-1)2+(>/3-1)2=向6-》=瓜-6

TT1T

(2)BP=ABtan6=tan。，QQ=A0tan(一―6>)=tan(一一9)，

44

所以5神=加的=軻45八狽=gA〃QQ=gta吟-⑶,

]]TT

所以S=l-SABP-SADQ=1--tan<9--tan(--0),

1sin。cossin0

=1-----------------------

2cos02(cos0+sin0)

=1------；--------------

2cos-9+2cosesin6

=1-----------:——

1+cos2。+sin20

=1-----------------

V2sin(20+-)+l

4

"出=2-6,當且僅當即。4時取等號,

所以當。時，S取得最大值，最大值為2-&

O

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，求出直線PQ、AC的方程,

從而可求出點R的坐標，進而可求出AR的長，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題

考法05

三角函數(shù)模型的應用

三角函數(shù)應用模型的三種模式：

一、給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題；

二、給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題；

三、搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化

規(guī)律的函數(shù)模型，進一步用函數(shù)模型來解決問題.

【典例8】已知某海濱浴場的海浪高度是時間/(h)的函數(shù)，記作)，=4).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).

f(h)03691215182124

y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

經(jīng)長期觀測，⑺的曲線可近似地看成是函數(shù))，=兒0$皿+。

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)〉=48$函+6的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式；

(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8

時到晚上20時之間，有多長時間可供沖浪者進行運動？

【解析】(1)依題意，得T=12,A=%期:2血=0.5,山皿=1,

A1兀兀

(2)令y=—cos—則2版——<一，<2日H---(氏￡Z),

62

.\12jt-3<f<12Jl+3()teZ).又：8<r<20,.-.9<f<15,

從9點到15點適合對沖浪愛好者開放，一共有6個小時.

【名師點睛】解決此類問題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知數(shù)據(jù)確定相應的數(shù)學模型，然后根據(jù)已知條件確定函數(shù)解

析式中的各個參數(shù)，最后利用模型解決實際問題.

【典例9】心臟跳動時，血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的

讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標準值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p")=1l5+25sin160叫

其中p(f)為血壓(mmHg),r為時間(min),試回答下列問題：

(1)求函數(shù)p⑺的周期；

(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫出函數(shù)p⑺的草圖：

(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù).

27t2兀1一

【解析】(1)由于<o=160兀，代入周期公式~,可得7=-----=——(min),所以函數(shù)p⑺的周期

1。|160兀80

為Lin.

80

(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率.尸-=80(次).

(3)列表:

1131

t0

32016032080

P⑺11514011590115

描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)〃⑺的簡圖如圖所示:

(4)由圖可知此人的收縮壓為140mmHg,舒張壓為90mmHg.

【名師點睛】解三角函數(shù)應用問題的基本步驟：

讀懂題目中的“文字”“圖象”“符號”

I審清題意f等語言，理解所反映的實際問題的背

景，提煉出相應的數(shù)學問題

整理數(shù)據(jù)，引入變量，找出變化規(guī)律，

建立函運用已掌握的三角函數(shù)知識、物理知

數(shù)模型識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，即建

立三角函數(shù)模型

解答函利用所學的三角函數(shù)知識解答得到的

數(shù)模型三角函數(shù)模型，求得結(jié)果

得出結(jié)論f將所得結(jié)論翻譯成實際問題的答案

TT

【典例10］如圖，在扇形。尸。中，半徑。P=l,圓心角/POQ=§,C是扇形弧上的動點，矩形ABCO內(nèi)

接于扇形.記NPOC=&,求當角a取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積.

【答案】a=J時，矩形ABC。的面積，最大面積為立

66

【分析】

由題意可得CD=cosa-木sina,BC=sin?,從而可得矩形A8CO的面積為

I17rlT[7C7T57r

S=CDBC=(cosa--f=sina)sina=-j=sin(2a4--)------,再由o＜。＜一可得—＜2a+—v—,山此可

v3v362,33666

得2a+g=g時，S取得最大值

62

【詳解】

在RlQ8C中，8C=sina,OC=cosa,

.,AD7i/r

在向..ADO匚3——=tan—=V3,

OD3

所以O(shè)D=—j=AD=—j=BC=sina

所以CD=OC-OD=cosa一&ina

設(shè)矩形A8CO的面積為S,則

S=CDBC

、.

=(/cosa——1si.na)-sina

V3

1?，

=sinacosa——j=sm~a

6

=—1si?nc2aH-----1產(chǎn)cosr2a-----1產(chǎn)

22V326

=—Usin(2<z+—)---------------,

y/36273

1八7Czr-i7C_7C5〃"..._TCf1rlTC..?

由0<a<一,得一<2aH—<—,所以?2aH—=—,Q[Jcc——時,

3666626

?115/3

染「耳一法=不，

因此，當a=￡時，矩形A8CZ）的面積，最大面積為近，

66

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是將四邊形A8C￡＞的面積表示為

S=CD3C=（cosa-耳sina）.sina=有$也（20!+不）-5萬，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，屬

于中檔題

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.簡諧運動>=4$曲（5》-不）的相位與初相分別是（）

_7t71

A.5x---,—B.5x—3,4

33

C.5x—3,—D.4,一

33

【答案】C

【分析】

根據(jù)相位與初相的概念，直接求解即可.

【詳解】

相位是當x=（）時的相位為初相，即-g.

故選：C

2.在兩個彈簧上各掛一個質(zhì)量分別為Mi和例2的小球，它們做上下自由振動.已知它們在時間f（s）時離

開平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分別由下列兩式確定：

si=5sin（2f+專），s2=5cos（2f-3）.

則在時間t=,時，si與S2的大小關(guān)系是（）

A.S\>S2B.S\<S2

C.5,1=52D.不能確定

【答案】C

【分析】

將『=當2乃代入求值，可得$1=52

【詳解】

當時，si=5sin（2x竺+g]=-5,S2=5cos（2x空一=-5,.*.51=52

3136yz\33y

故選：C

3.月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫.某城市一年中12個月的月均溫》（單

位：C）與月份X（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)丫=Asin-（JC-3）+。（x=1,2,3,112）來表示，

O_

已知6月份的月均溫為29C,12月份的月均溫為17C,則10月份的月均溫為（)

A.20CB.20.5CC.21CD.21.5C

【答案】A

【分析】

由題意得出關(guān)于A、。的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令x=10可得結(jié)果.

【詳解】

Asin—+a=A+a=29(./

2|A=6

由題意可得;,解得”，

AAsi.n——"+,a=a-AA=nl71a=23

2

所以，函數(shù)解析式為y=6sinf(x-3)+23,

o

在函數(shù)解析式中，令x=10,可得y=6sin今+23=6x(-；)+23=20.

因此，10月份的月均溫為20c.

故選：A.

4.在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生的時間相距12h,低潮時水深為9m,高潮時水深為15m.每天潮漲潮

落時，該港口水的深度y(m)關(guān)于時間r(h)的函數(shù)圖象可以近似地看成函數(shù)y=4sin(w+?)+?A>0,。

>0)的圖象，其中g(shù)江24,且f=3時漲潮到一次高潮，則該函數(shù)的解析式可以是()

JT

A.y=3sin-r+12B.y=-3sin-/+12

66

IT7T

C.y=3sin—r+12D.y=3cos7f+12

【答案】A

【分析】

由兩次高潮的時間間隔12人知7=12,且T=12=生(0>0)得0==，又由最高水深和最低水深得A=3,

co6

k=12,將r=3y=15代入解析式解出夕，進而求出該函數(shù)的解析式.

【詳解】

由相鄰兩次高潮的時間間隔為12兒知7=12,且7=12=券@>。),得又由高潮時水深15”和

低潮時水深9/?7,得A=3,k=12,由題意知當f=3時，y=15.故將/=3,y=15代入解析式尸35皿隹/+夕

+12中，得3sinJx3+e|+12=15,得￡x3+^=1+24;r(Z￡Z),解得g=2%;r(&￡Z).所以該函數(shù)的解析

16J62

式可以是y=3sin菅1+2&乃+12=3sin3+12.

6

5.在圖中，點。為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm,

周期為3s,且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時.則物體對平衡位置的位移x(單位：cm)

和時間r(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系式為()

C.x=—sin3，+一

2(2

【答案】D

【分析】

設(shè)x=f(f)=Asin(d+s)(0>O),根據(jù)振幅確定A,根據(jù)周期確定。，根據(jù)/(0)=3確定夕，即可得出結(jié)

果.

【詳解】

設(shè)位移x關(guān)于時間f的函數(shù)為x=/(r)=Asin?+9)(<w>0),

2萬27r24

根據(jù)題中條件，可得A=3,周期T='=3,故幻=g=q,

coT3

jr

由題意可知當x=0時，取得最大值3,故3sine=3,則9=5+2%"(keZ),

所以x=3sin[-^-f+5+2k;rJ=3sin[7r+5J.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的應用，考查由二角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

6.若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移詈個單位得到的圖象對應的函數(shù)為g(x),則下列說法正確的是

()

A.g(x)的圖象關(guān)于》=-看對稱B.g(x)在[0,句上有2個零點

C.g(x)在區(qū)間與歌|上單調(diào)遞減D.g(x)在卜別上的值域為當()

【答案】B

【分析】

求出g(x)的解析式，并整理后，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)判斷.

【詳解】

由題意g(x)=sin2(x-----)=sin(2x------)=sin(2x+—),

633

g(4)=sin(q+$=g不是函數(shù)的最值，》=卡不是對稱軸，A錯；

由g(x)=sin(2x+f)=0,2x+g=br(AeZ),x="-￡,其中g(shù),學是[0,兀]上的零點，B正確；

332636

由2人萬H—42XH—<IkrrH-----得ZTTH&x&k兀T-----,kwZ,因此且(工)在(一,—)是遞減，在(—,—)上

2321212312126

遞增，C錯；

時,2x+ye[-^,y],g(x)e[_1,#],D錯.

故選:B.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖象變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì).掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.某藝術(shù)展覽館在開館時間段(9：00—16：00)的參觀人數(shù)(單位：千)隨時間f(單位：時)的變化近

似滿足函數(shù)關(guān)系/⑺=Asin[?"F)+5(A>0,94r416),且下午兩點整參觀人數(shù)為7千，則開館中參觀

人數(shù)的最大值為()

A.1萬B.9千C.8千D.7千

【答案】B

【分析】

利用當7=14時，f(f)=7,求出A=4,由94Y16,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

卜午兩點整即r=14,當r=14時，/(r)=7.

即Asin------F5=7,1.A=4,

6

，'冗11%「7乃7乃

丁當94，416時?，-t-------e—,

36L62_

.?.當苧時，/⑺取得最大值，且最大值為4+5=9.故選：B

362

【點睛】本題考查/三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式、三角函數(shù)的應用，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y=Asin(s+3)+

?4>0,。>0,]<夕<萬|勺半個周期的圖象，則該天8h的溫度大約為()

T/t

t/h

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【分析】

由最大值和最小值及中間值求得由周期求得。，再由起點求得8（注意圖象起點是最低點）.得函數(shù)

解析式，然后令x=8代入即可得.

【詳解】

由題意得A=Jx(30-10)=10,

/?=1x(30+10)=20,

2萬71

72x(14-6)=16,J一=16,