2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章：導(dǎo)數(shù)的綜合問題（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章：導(dǎo)數(shù)的綜合問題

1.(2023?溫州模擬)已知函數(shù)")=/一(a+1)lnx.

(1)當(dāng)a=0時(shí),求加)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若於)2(辟一〃)lnx對(duì)Vxe(l,+8)恒成立，求a的取值范圍.

解的定義域?yàn)?0,+8),

10丫2—1

當(dāng)4=0時(shí)，f(x)=2x--=^—^-.

XX

當(dāng)xwQ'5)時(shí)，/(x)<o,

則;(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為10'巧，

當(dāng)Xdb'+8)時(shí)，/(x)>0,

則段)的單調(diào)遞增區(qū)間為停’+°°1

(2)由於)2(〃2—a)lnx對(duì)Vx￡(l,+8)恒成立，

得42+IW￡■對(duì)VxC(l,+8)恒成立.

Inx

設(shè)槍?戶戶(x>l),則人'(x)=fnx：l)

Inx(Inx)2

當(dāng)xG(l,a)時(shí),h'(x)<0；

當(dāng)xG(a,+8)時(shí)，h'(x)>0.

所以〃(X)min=A(/)=2e,

則/+iW2e,解得一y2e—1將-2e—1,

故。的取值范圍是[一、2e-l,^2e-l].

2.設(shè)y(x)=2xlnx+L

⑴求/(x)的最小值；

(2)證明：於)W/一冗+1+21nx.

x

⑴解危)的定義域?yàn)?0,+8),/a)=2(lnx+l),

當(dāng)xwP，3時(shí)，/(x)<0,犬x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x上‘十勺時(shí)，/(x)>o,?單調(diào)遞增，

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所以當(dāng)犬=1時(shí)，/(x)取得最小值/2

e

(2)證明令F(x)=x2—x+-+21nx—/(x)

x

x-1

=x(x-1)-------2(x—l)lnx

x

|x---21nxl

=(x—1)1XJ,

令g(x)=x---21nx,

x

則g'(x)=i+4-2=^^2o，

X2Xx2

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又g(l)=0,所以當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<0,F(x)>0

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,F(x)>0,當(dāng)x=l時(shí)，尸(x)=0,

所以(x-1大xJ20,

即負(fù)x)Wx2—x+」+21nx.

x

3.(2023?邢臺(tái)質(zhì)檢)2022年2月4日，第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式在北京國家體

育場(chǎng)舉行，拉開了冬奧會(huì)的帷幕.冬奧會(huì)發(fā)布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家

的廣泛喜愛，達(dá)到一墩難求的地步.當(dāng)?shù)啬陈糜斡闷飞痰戢@批經(jīng)銷此次奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念品，其中

某個(gè)掛件紀(jì)念品每件的成本為5元，并且每件紀(jì)念品需向稅務(wù)部門上交a元(lOWaW13)的稅

收，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)定為x元(13WxW17)時(shí)，一年的銷售量為(18—x)2萬件.

(1)求該商店一年的利潤(rùn)7(x)(萬元)與每件紀(jì)念品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出兀v)的最大值。(〃).

解(1)由題意，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(13WxW17)時(shí)，一年的銷售量為(18—x)2萬件,

而每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交。元(10WaW13),

，商店一年的利潤(rùn)寅x)(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為./(x)=(x-5—a)(18-x)2,x￡[13,17].

(2)V/(x)=(x-5-a)(l8~x)2,x6[13,17],

：.f(x)=(28+2a—3x)(18—x),

令，(x)=0,解得x=28：2?；騲=[8,而10W.W13,則16wg%W18,

①若16^28+2a<17,即10Wavll.5,

3

28+2al

13,3」時(shí),f(x)》0,Xx)單調(diào)遞增,

當(dāng)xd

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“-17

當(dāng)3'」時(shí)，，(x)WO,/(x)單調(diào)遞減,

4

m-(13-a)3；

②若17W型及<18,即11.5WaW13,

3

則，(x)川,即麻)在[13,17]上單調(diào)遞增,

?；/(X)max=/(17)=12—Q,

4

—(13-a)3,1O，V11.5,

綜上，C(a)='27

.12-a,11.5<aW13.

4.(2022?重慶質(zhì)檢)已知函數(shù)兀0=爐+2》一aln}aCR.

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求兀0的極值；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=ax在(0,4］上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

解(1)由題意，兀0=/+2%—41njx>0,

4?7

則/(X)=2A-+2--=-(X2+X-2)=-(X-1)(X+2),

XXX

故人x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,十8)上單調(diào)遞增，

有極小值/(1)=3—41n；,無極大值.

⑵設(shè)虱好=加)一"=爐+(2一°”一如今x*(0,4］,

則g'(x)=2x+(2-a)--=-[2x2+(2-tz)x-?]=-(x+l)(2x-a),

XX

①當(dāng)4=0時(shí)，g(x)=x2+2x,在(0,4］上無零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)a〈0時(shí)，g(x)在(0,4］上單調(diào)遞增，g(2)=4+(2-a)X2>0,

x-0時(shí)，g(x)<0,

由零點(diǎn)存在定理得，g(x)在(0,4］內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，即曲線y=/(x)與直線y=ax在(0,4］上有且只

有一個(gè)交點(diǎn).

③當(dāng)心0時(shí)，g(x)在］“孑上單調(diào)遞減，在匕。上單調(diào)遞增,

若彳4,即0<a<8,則只能JJ=a—Hnj

fi-inq

=al44J=0=a=4,

若心8,則g(x)在(0,4］上單調(diào)遞減，當(dāng)％—0時(shí)，g(x)>0,

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則要g(4)=16+4(2-a)-aln2<0,則

4+In2

故心8,

綜上，a的取值范圍為(-8,0)U{4}U[8,+8).

5.(2023?濟(jì)寧質(zhì)檢)已知函數(shù)人》)="05*+6式。,6GR),曲線y=危)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線

方程為y=-X.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)當(dāng)xd.2口時(shí)，人x)Wc(cCZ)恒成立，求c的最小值.

解(1)因?yàn)?(x)=-asinx+be\

f(0)=/>=-1,a=\,

所以解得

/(0)=a+%=0,b=-L

(2)因?yàn)閥(x)=cosx—e\xG2J,

所以，(x)=-sinx-e>,設(shè)g(x)=-sinx-e')

g'(x)=—cosx—er=—(cosx+er).

當(dāng)xW2,一時(shí)，cosx^O,ev>0,

所以g'(x)<0,

當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，-IWcosxWl,e>>l,

所以g'(x)<0.

_7t+81

所以，當(dāng)xG2'J時(shí)，g'(x)<0,g(x)即/"(x)單調(diào)遞減.

因?yàn)?(0)=-1<0,/卜力=也一2-—,

1

(

E1

因?yàn)閑2>e>2,所以—

<e2>

所以4,。)

,使得，(xo)=—sinxo-e"=0,即e'"=-sinxo.

所以，當(dāng)北一5'叼時(shí)，/a)>o,/㈤單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(xo,+8)時(shí)，，a)vo,")單調(diào)遞減.

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