專題03 將軍飲馬求最小值2-平移（含答案）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸滿分突破之二次函數(shù)篇

2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第3節(jié)將軍飲馬求最值2--平移內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：例題演練例1．如圖1，拋物線y＝x與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，連AC，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)D作DE∥AC交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)P．(1)點(diǎn)F是直線AC下方拋物線上點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，連DF交AC于點(diǎn)G，連EG，當(dāng)△EFG的面積的最大值時(shí)，直線DE上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)N，滿足MN⊥AC，連GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；練1.1如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC(1)點(diǎn)G是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，過點(diǎn)G作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，作GF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝EF，連接DM、GN．當(dāng)△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求DM+MN+NG的最小值；練1.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)D(﹣4，n)在拋物線上．(1)求直線CD的解析式；(2)E為直線CD下方拋物線上的一點(diǎn)，連接EC，ED，當(dāng)△ECD的面積最大時(shí)，在直線l上取一點(diǎn)M，過M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EM，BN，若EM＝BN時(shí)，求EM+MN+BN的值．練1.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，OB＝1，∠OBC＝60°．(1)如圖1，求直線BC的解析式；(2)如圖1，線段AC上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，PD⊥x軸于點(diǎn)H，交線段AC于點(diǎn)D，直線BG∥AC，交拋物線于點(diǎn)G，點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)E∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是點(diǎn)A關(guān)于直線BG的對(duì)稱點(diǎn)，連接PE、QF．當(dāng)線段PD取最大值時(shí)，求PE+EF+QF的最小值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，直線CE交拋物線于點(diǎn)F(異于點(diǎn)C)，直線CD交x軸交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求直線CE的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P為直線CF上方拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)△PCF的面積最大時(shí)，點(diǎn)M是過P垂直于x軸的直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求FM+MN+NO的最小值；練1.5如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．(1)求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)E、F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方)，且EF＝1，使四邊形ACEF的周長(zhǎng)最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．練1.6如圖1，已知拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為頂點(diǎn)．(1)求直線AC的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)已知E(0，)，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PR⊥AC于點(diǎn)R，當(dāng)PR最大時(shí)，有一條長(zhǎng)為的線段MN(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))在直線BE上移動(dòng)，首尾順次連接A、M、N、P構(gòu)成四邊形AMNP，請(qǐng)求出四邊形AMNP的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)； 2024中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第3節(jié)將軍飲馬求最值2--平移內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：例題演練例1．如圖1，拋物線y＝x與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B左邊)，與y軸交于點(diǎn)C，連AC，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，過點(diǎn)D作DE∥AC交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)P．(1)點(diǎn)F是直線AC下方拋物線上點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)，連DF交AC于點(diǎn)G，連EG，當(dāng)△EFG的面積的最大值時(shí)，直線DE上有一動(dòng)點(diǎn)M，直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)N，滿足MN⊥AC，連GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；【解答】解：(1)如圖1中，作FH∥y軸交DE于H．設(shè)F(m，m2+m+2)．由題意可知A(﹣6，0)，B(﹣2，0)，C(0，2)，∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣4，C，D關(guān)于直線x＝﹣4對(duì)稱，∴D(﹣8，2)，∴直線AC的解析式為y＝x+2，∵DE∥AC，∴直線DE的解析式為y＝x+，由，解得或，∴E(2，)，H(m，m+)，∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面積為定值，∴△DEF的面積最大時(shí)，△EFG的面積最大，∵FH的值最大時(shí)，△DEF的面積最大，∴FH的值最大時(shí)，△EFG的面積最大，∵FH＝﹣m2﹣m+，∵a＜0．開口向下，∴x＝﹣3時(shí)，F(xiàn)H的值最大，此時(shí)F(﹣3，﹣)．如圖2中，作點(diǎn)G關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)T，TG交DE于R，連接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，連接TM，GM，此時(shí)GM+MN+ON的值最?。咧本€DF的解析式為：y＝﹣x﹣2，由，解得，∴G(﹣，)，∵TG⊥AC，∴直線GR的解析式為y＝﹣x﹣，由，解得，∴R(﹣，)，∴RG＝4，OR＝，∵GM＝TM＝RN，∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．∴GM+MN+NO的最小值為4+．練1.1如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接BC(1)點(diǎn)G是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，過點(diǎn)G作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，作GF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN＝EF，連接DM、GN．當(dāng)△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求DM+MN+NG的最小值；【解答】解：(1)y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣3)(x+1)＝﹣(x﹣1)2+4∴拋物線與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)、點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D(1，4)，∴直線CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°∵GE∥y軸，GF⊥BC∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝GE∴C△GEF＝EF+FG+GE＝(+1)GE設(shè)點(diǎn)G(a，﹣a2+2a+3)，則點(diǎn)E(a，﹣a+3)，其中0＜a＜3∴GE＝﹣a2+2a+3﹣(﹣a+3)＝﹣a2+3a＝﹣(a﹣)2+∴a＝時(shí)，GE有最大值為∴△GEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，G(，)，E(，)，∴MN＝EF＝，E點(diǎn)可看作點(diǎn)F向右平移個(gè)單位、向下平移個(gè)單位如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D1(﹣1，2)，過N作ND2∥D1M且ND2＝D1M∴DM＝D1M＝ND2，D2(﹣1+，2﹣)即D2(，)∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG∴當(dāng)D2、N、G在同一直線上時(shí)，ND2+NG＝D2G為最小值∵D2G＝∴DM+MN+NG最小值為練1.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)D(﹣4，n)在拋物線上．(1)求直線CD的解析式；(2)E為直線CD下方拋物線上的一點(diǎn)，連接EC，ED，當(dāng)△ECD的面積最大時(shí)，在直線l上取一點(diǎn)M，過M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EM，BN，若EM＝BN時(shí)，求EM+MN+BN的值．【解答】解：(1)由題意C(0，﹣3)，D(﹣4，5)，設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，則有解得，∴直線CD的解析式為y＝﹣2x﹣3．(2)如圖1中，過點(diǎn)E作EG∥y軸交直線CD于G．設(shè)E(m，m2+2m﹣3)．則G(m，﹣2m﹣3)，GE＝﹣m2﹣4m．∴S△EDC＝?EG?|Dx|＝(﹣m2﹣4m)×4＝﹣2(m+2)2+8，∵﹣2＜0，∴m＝﹣2時(shí)，△DEC的面積最大，此時(shí)E(﹣2，﹣3)，∵C(0，﹣3)，∴EC∥AB，設(shè)CE交對(duì)稱軸于H，∵B(1，0)，∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH＝ON＝OC＝，∴EM＝BN＝＝，∴EM+MN+BN＝1+．練1.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣x+b與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，OB＝1，∠OBC＝60°．(1)如圖1，求直線BC的解析式；(2)如圖1，線段AC上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，PD⊥x軸于點(diǎn)H，交線段AC于點(diǎn)D，直線BG∥AC，交拋物線于點(diǎn)G，點(diǎn)F是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)E∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是點(diǎn)A關(guān)于直線BG的對(duì)稱點(diǎn)，連接PE、QF．當(dāng)線段PD取最大值時(shí)，求PE+EF+QF的最小值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；【解答】解：(1)在△BOC中，OB＝1，∠OBC＝60°∴BC＝2，OC＝．∴拋物線解析式為：；令y＝0，得解之得，x1﹣3，x2＝1∴A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)設(shè)直線BC解析式為：y＝kx+b，經(jīng)過B(1，0)，C(0，)∴，∴，∴；(2)設(shè)直線AC解析式為：y＝k1x+b1，經(jīng)過A(﹣3，0)，B(1，0)，得設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為∴PD＝═當(dāng)時(shí)，PD有最大值．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，可得∠CAB＝30°＝∠ABG，由對(duì)稱可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，∴△ABQ是等邊三角形．過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M．∴MB＝4，且OB＝1∴OM＝1，QM＝2∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)；由題意得，四邊形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．將Q點(diǎn)沿射線EF方向平移2個(gè)單位(向左平移1個(gè)單位，向上平移個(gè)單位)，可得Q′的坐標(biāo)為(﹣2，﹣)，連接PQ′交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．PQ′＝PE+EF+QF最小值＝PQ′+EF＝+2，直線PQ的解析式為：聯(lián)立，解得：x＝﹣，故E點(diǎn)坐標(biāo)；練1.4如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x﹣與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，直線CE交拋物線于點(diǎn)F(異于點(diǎn)C)，直線CD交x軸交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求直線CE的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P為直線CF上方拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PF，當(dāng)△PCF的面積最大時(shí)，點(diǎn)M是過P垂直于x軸的直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求FM+MN+NO的最小值；【解答】解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+2x﹣與y軸交于點(diǎn)C，∴C(0，﹣)，∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣(x﹣2)2+，∴頂點(diǎn)D(2，)，對(duì)稱軸x＝2，∴E(2，0)，設(shè)CE解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，解得：，∴直線CE的解析式：y＝x﹣；(2)∵直線CE交拋物線于點(diǎn)F(異于點(diǎn)C)，∴x﹣＝﹣(x﹣2)2+，∴x1＝0，x2＝3，∴F(3，)，過P作PH⊥x軸，交CE于H，如圖1，設(shè)P(a，﹣a2+2a﹣)則H(a，a﹣)，∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣(a﹣)，＝﹣a2+，∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，∴當(dāng)a＝時(shí)，S△CFP面積最大，如圖2，作點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，過F點(diǎn)作FG∥MM'，F(xiàn)G＝1，即G(4，)，∵M(jìn)的橫坐標(biāo)為，且M與M'關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，∴M'的橫坐標(biāo)為，∴MM'＝1，∴MM'＝FG，且FG∥MM'，∴FGM'M是平行四邊形，∴FM＝GM'，∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)O，N，M'，G四點(diǎn)共線時(shí)，GM'+NM'+ON的值最短，即FM+MN+ON的值最小，∴FM+MN+ON＝OG＝＝；練1.5如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD．(1)求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對(duì)稱軸上取兩點(diǎn)E、F(點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方)，且EF＝1，使四邊形ACEF的周長(zhǎng)最小，求出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，2)，D點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，0)，(2)設(shè)所求拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，由題意，得，解得，b＝1，c＝4，∴所求拋物線的解析式為；(3)只需求AF+CE最短，拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，將點(diǎn)A向上平移至A1(﹣2，1)，則AF＝A1E，作A1關(guān)于對(duì)稱軸x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A2(4，1)，連接A2C，A2C與對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，E為所求，可求得A2C的解析式為，當(dāng)x＝1時(shí)，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．練1.6如圖1，已知拋物線y＝x2+2x﹣3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為頂點(diǎn)．(1)求直線AC的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)已知E(0，)，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PR⊥AC于點(diǎn)R，當(dāng)PR最大時(shí)，有一條長(zhǎng)為的線段MN(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))在直線BE上移動(dòng)，首尾順次連接A、M、N、P構(gòu)成四邊形AMNP，請(qǐng)求出四邊形AMNP的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；【解答】解：(1)對(duì)于拋物線y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，令x＝0，得y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∵拋物線y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1，﹣4)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3，點(diǎn)D坐標(biāo)(﹣1，﹣4)．(2)如圖1中，設(shè)P(m，m2+2m﹣3)，由題意，當(dāng)PR最大時(shí)，△ACP的面積最大，即四邊形APCO的面積最大，∵S四邊形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝?3?(﹣m2﹣2m+3)+?3?(﹣m)﹣?3?3＝﹣m2﹣m＝﹣(m+)2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，四邊形APCO的面積最大，即PR最長(zhǎng)，∴P(﹣，﹣)，將點(diǎn)P沿BE方向平移個(gè)單位得到G(﹣，﹣)，作點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)K，連接GK交BE于M，此時(shí)四邊形APNM的最長(zhǎng)最小，∵直線BE的解析式為y＝﹣x+，直線AK的解析式為y＝2x+6，由解得，∴J(﹣，)，∵AJ＝JK，∴k(﹣，)，∴直線KG的解析式為y＝x+，由解得，∴M(﹣2，)，將點(diǎn)M向下平移1個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到N，∴N(0，)．中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第4節(jié)胡不歸求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥從前，有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B(如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶)，當(dāng)他趕到父親眼前時(shí)，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子時(shí)告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。?，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．胡不歸模型問題解題步驟如下：1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式(<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決)。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題例題演練題組1：PA+k?PB例1．如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為Q，連接BC．(1)求直線BC的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，在直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)線段PD最大時(shí)，求PM+MB最小值；練1.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D，B(﹣3，0)，A(0，)(1)求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，P為線段OB上(不與O、B重舍)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)N作NK⊥BA交BA于點(diǎn)K，當(dāng)△MNK與△MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q，使得CQ+QN最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及CQ+QN最小值；練1.2如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求直線BD的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，當(dāng)△DQB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)E，使QE+EB的值最小，求E的坐標(biāo)和最小值．練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求直線BC的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接PB、PC．當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，在線段BC上找一點(diǎn)E(不與B、C重合)，使PE+BE的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE+BE的最小值；題組2：PA+QB+k?PQ例2．如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交直線BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P為∠CAB角平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q；點(diǎn)F是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求DF+FQ+PQ的最小值．練2.1如圖1，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、BD．(1)求△ABD的面積；(2)如圖2，連接AC、BC，若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PE∥BC交AC于點(diǎn)E，作PQ∥y軸交AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQE周長(zhǎng)最大時(shí)，將△PQE沿著直線AC平移，記移動(dòng)中的△PQE為△P′Q′E′，連接CP′，求△PQE的周長(zhǎng)的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；練2.2在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BD的解析式；(2)如圖1，連接CD、AD、BD，點(diǎn)E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)．過E作EF∥BD交線段AD于F點(diǎn)，當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)P，在y軸上找一點(diǎn)Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；練2.3如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．(1)過點(diǎn)A且平行于BC的直線交于y軸于點(diǎn)D，求AD的解析式；(2)如圖②，P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸l上有一動(dòng)點(diǎn)M，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，連接PM、MN，當(dāng)△PAD的面積最大時(shí)，求PM+MN+BN的最小值；中考數(shù)學(xué)壓軸題--二次函數(shù)第4節(jié)胡不歸求最小值內(nèi)容導(dǎo)航方法點(diǎn)撥從前，有一個(gè)小伙子在外地當(dāng)學(xué)徒，當(dāng)他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B(如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶)，當(dāng)他趕到父親眼前時(shí)，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子時(shí)告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。?，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．胡不歸模型問題解題步驟如下：1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式(<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決)。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=3、最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題例題演練題組1：PA+k?PB例1．如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為Q，連接BC．(1)求直線BC的解析式；(2)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，在直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)線段PD最大時(shí)，求PM+MB最小值；【解答】解：(1)令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，∴A(﹣1，0)，B(4，0)，令x＝0，y＝2，∴C(0，2)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2．(2)如圖1中，作PM∥y軸交BC于M．∵∠DPM是定值，∴當(dāng)PM的值最大時(shí)，PD的值最大，設(shè)P(m，﹣m2+m+2)，則M(m，﹣m+2)，∴PM＝﹣m2+2m＝﹣(m﹣2)2+2，∵﹣＜0，∴m＝2時(shí)，PM的值有最大值，即PD的值最大，此時(shí)P(2，3)．在y軸上取一點(diǎn)G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，∵sin∠GBK＝＝，設(shè)GK＝k，BG＝3k，則BK＝2k，∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，∴△CKG∽△COB，∴＝＝，∴＝＝，∴CK＝k，CG＝k，∵CK+BK＝BC，∴k+2k＝2，∴k＝，∴OG＝OC﹣CG＝，∴G(0，)，∴直線BG的解析式為y＝﹣x+，∵PM+BM＝PM+ME，∴當(dāng)P．M，E共線，且PE⊥BG時(shí)，PM+PE的值最小，∵PE⊥BG，∴直線PE的解析式為y＝y(tǒng)＝x﹣2，由，解得，∴E(，)，∴PE＝＝，∴PM+BM的最小值為．練1.1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)A，拋物線的頂點(diǎn)為D，B(﹣3，0)，A(0，)(1)求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，P為線段OB上(不與O、B重舍)一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，點(diǎn)N作NK⊥BA交BA于點(diǎn)K，當(dāng)△MNK與△MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q，使得CQ+QN最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及CQ+QN最小值；【解答】解：(1)把B(﹣3，0)，A(0，)的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣x+，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1，)．(2)如圖1中，設(shè)P(m，0)則N(m，＝﹣m2﹣m+)．∵A(0，)，B(﹣3，0)，∴直線AB的解析式為y＝x+，AB用PN的交點(diǎn)M(m，m+)，∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，∴△NMK∽△BMN，∵△MNK與△MPB的面積相等，∴△NMK≌△BMN，∴MN＝BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴BM＝2PM＝MN，∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2(m+)，解得m＝﹣2或﹣3(舍棄)，∴N(﹣2，)，在y軸上取一點(diǎn)F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，∵QH＝CQ，∴NQ+CQ＝NQ+QH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)N、Q、H共線，且NH⊥CF時(shí)，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小．∵直線CF的解析式為y＝x﹣，直線NH的解析式為y＝﹣x﹣，∴Q(﹣1，0)，由，解得，∴H(﹣，﹣)，∴NH＝＝3，∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值為3．練1.2如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．(1)求直線BD的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，當(dāng)△DQB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)E，使QE+EB的值最小，求E的坐標(biāo)和最小值．【解答】解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A(﹣1，0)、B(6，0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則C(0，3)．∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D為(0，﹣3)．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，將D(0，﹣3)和B(6，0)分別代入得，解得：k＝，b＝﹣3．∴直線BD的解析式為y＝x﹣3．(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，則點(diǎn)Q(m，m2+m+3)，M(m，m﹣3)．△QBD的面積＝QM?OB＝×6×(m2+m+3﹣m+3)＝﹣(m﹣2)2+24，∴當(dāng)m＝2時(shí)，△QBD的面積有最大值，此時(shí)Q(2，6)．如圖1所示：過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F．在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，則BD＝3，∴tan∠EBF＝tan∠OBD＝＝．∴EF＝BE．∴QE+EB＝QE+EF．∴當(dāng)點(diǎn)Q、E、F在一條直線上時(shí)，QE+EB有最小值．過點(diǎn)Q作QF′⊥BC，垂足為F′，QF′交OB與點(diǎn)E′．設(shè)QF′的解析式為y＝﹣2x+b，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10，∴QF′的解析式為y＝﹣2x+10．由，解得x＝，∴F(，﹣)當(dāng)y＝0時(shí)，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(5，0)．即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，0)時(shí)QE+EB有最小值．∴QE+EB的最小值＝QF＝＝．練1.3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求直線BC的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接PB、PC．當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，在線段BC上找一點(diǎn)E(不與B、C重合)，使PE+BE的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PE+BE的最小值；【解答】解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+x+＝，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)；當(dāng)y＝0時(shí)，有﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b(k≠0)，將B(3，0)、C(0，)代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+．(2)如圖2中，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)F．EN⊥x軸設(shè)P(a，﹣a2+a+)，則F(a，﹣a+)∴PF＝﹣a2+a∴S△PBC＝×PF×3＝﹣a2+a∴當(dāng)，a＝時(shí)，S△PBC最大∴P(，)∵直線BC的解析式為y＝﹣x+．∴∠CBO＝30°，EN⊥x軸∴EN＝BE∴PE+BE＝PE+EN∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短，則當(dāng)P，E，N三點(diǎn)共線且垂直于x軸時(shí)，PE+BE值最?。郟E+BE＝PE+EN＝PN＝題組2：PA+QB+k?PQ例2．如圖1，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥x軸交直線BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P為∠CAB角平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)Q；點(diǎn)F是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求DF+FQ+PQ的最小值．【解答】解：(1)如圖1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3．當(dāng)y＝0時(shí)，．∴∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且設(shè)D(a，)，則E()∴DE＝a﹣∴當(dāng)a＝﹣時(shí)，DE最大．此時(shí)D()∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴AQ＝PQ，∴＝，將射線AB繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線AM，過點(diǎn)D作AM的垂線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)Q′，則．當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到Q′時(shí)，有＝DM，過D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，可得△AQ′M與△DQ′N相似，DN＝Dy＝，AN＝∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝＝DM＝．練2.1如圖1，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，連接AD、BD．(1)求△ABD的面積；(2)如圖2，連接AC、BC，若點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PE∥BC交AC于點(diǎn)E，作PQ∥y軸交AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQE周長(zhǎng)最大時(shí)，將△PQE沿著直線AC平移，記移動(dòng)中的△PQE為△P′Q′E′，連接CP′，求△PQE的周長(zhǎng)的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；【解答】解(1)對(duì)于拋物線y＝﹣x2+x+2，令y＝0，得到x＝6或﹣2，∴A(6，0)，B(﹣2，0)，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣(x﹣2)2+，∴D(2，)．∴S△ABD＝×8×＝．(2)∵A(6，0)，C(0，2)，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P(m，﹣m2+m+2)，則Q(m，﹣m+2)，∴PQ＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣(m﹣3)2+，∵△PEQ∽△AOC，∴＝＝，∴PQ的值最大時(shí)，△PEQ的周長(zhǎng)最大，∵m＝3時(shí)，PQ有最大值，此時(shí)：＝＝，∴PE＝，QE＝，∴△PQE周長(zhǎng)的最大值＝++＝．此時(shí)P(3，)，E(，)．在Rt△BOC中，tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝30°，同法可得：∠ACO＝60°，∴∠ACB＝90°，如圖2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，連接ME′、CP′．∵四邊形MCE′P′是矩形，∴CP′＝ME′，∵E′H＝AE′，∴CP′+P′E′+AE′＝ME′+E′H+P′E′，∴當(dāng)M，E′，H共線時(shí)，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值＝MH+P′E′，易知M(，)，∴CP′+P′E′+AE′的最小值＝+＝．練2.2在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BD的解析式；(2)如圖1，連接CD、AD、BD，點(diǎn)E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)．過E作EF∥BD交線段AD于F點(diǎn)，當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)P，在y軸上找一點(diǎn)Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；【解答】解：(1)對(duì)于拋物線y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，令y＝0，則x＝2