線代線性相關(guān)與線性無關(guān)

關(guān)于線代線性相關(guān)與線性無關(guān)

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一、向量、向量組與矩陣第2頁,共25頁，2024年2月25日，星期天向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．第3頁,共25頁，2024年2月25日，星期天

反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.第4頁,共25頁，2024年2月25日，星期天線性方程組當(dāng)時(shí)，稱為齊次線性方程組當(dāng)不全為零時(shí)，稱為非齊次線性方程組第5頁,共25頁，2024年2月25日，星期天線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)第6頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定義１線性組合二、線性表示的概念及判定第7頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第8頁,共25頁，2024年2月25日，星期天注意定義3三、線性相關(guān)性的概念及判定則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)第9頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第10頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第11頁,共25頁，2024年2月25日，星期天證第12頁,共25頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理1

向量組（當(dāng)時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示．證明充分性

設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線性表示.即有四、線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論第14頁,共25頁，2024年2月25日，星期天故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線性相關(guān).必要性設(shè)線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使第15頁,共25頁，2024年2月25日，星期天因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線性表示.證畢.第16頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理2向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示式是唯一的.向量組中一部分向量構(gòu)成的向量組，稱為該向量組的子向量組.定理3第17頁,共25頁，2024年2月25日，星期天定理4第18頁,共25頁，2024年2月25日，星期天１.向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；

２.線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）

３.線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法：定義，四個(gè)定理．（難點(diǎn)）五、小結(jié)第19頁,共25頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P1131,3（1）第20頁,共25頁，2024年2月25日，星期天題型Ⅰ向量組的線性相關(guān)性的判斷方法一利用定義或結(jié)論判別（1）兩向量線性相關(guān)的充要條件是其分量成比例（2）單獨(dú)一個(gè)零向量組成的向量組線性相關(guān)；含有零向量的向量組必線性相關(guān)（3）向量組線性無關(guān)，則該向量組的任何部分向量組必線性無關(guān)；向量組的部分向量組線性相關(guān)，則該向量組必線性相關(guān)。（4）一向量組線性無關(guān)，則在相同位置增加相同個(gè)數(shù)的分量所得的向量組必線性無關(guān)；一向量組線性相關(guān)，則在相同位置上去掉相同個(gè)數(shù)的分量所得的向量組仍線性相關(guān)。（5）任意n+1個(gè)n維向量必線性相關(guān)第21頁,共25頁，2024年2月25日，星期天方法二

第22頁,共25頁，2024年2月25日，星期天題型Ⅱ判斷向量能否由向量組線性表出第23頁,共25頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)題1