2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第1章 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【考試要求】1.掌握等式性質(zhì)2會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

?落實(shí)主干知識

【知識梳理】

1.兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>O^a>bf

作差法—（。，

a~b<O^a<h.

2.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：如果Q=b,那么b=a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3可加（減）性：如果。=b,那么〃±c=b士c；

性質(zhì)4可乘性：如果a=b,那么ac=bc；

性質(zhì)5可除性：如果a=b,cWO,那么旦=2

CC

3.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對稱性：a>bob<a；

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>c^a>c；

性質(zhì)3可加性：a>b^a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：d>h，c>00ac>bc；a>b,c<0=ac<bc；

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0>ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：心6>0=*>〃（〃WN,〃22）.

【常用結(jié)論】

1.若ab>0,且丄.

ab

2,若a>h>0,m>0=>紇'+"；

a。+〃7

若b>a>Q,m>0=>:>〃+〃?

aa~\~m

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)兩個實(shí)數(shù)a,6之間，有且只有Ab,a=b,三種關(guān)系中的一種.(V)

(2)若纟>1,則6>4.(X)

a

(3)若x>y,則f>y2.(X)

(4)若丄」，則b<a.(X)

ab

【教材改編題】

1.如果。。>從，那么下列不等式中，一定成立的是()

A.ac2>bc2B.a>b

C.a+c>b+cD.->^

cc

答案D

解析若c<0,貝1J所以〃c2Vbe2,a+c<b-\~c9A,B,C均錯；

因?yàn)閍c>bc,則c2>0,因?yàn)閍c>bc,則即且>纟，故D正確.

C2C2CC

2

2.己知-3x,N=-3x+x-3f則M,N的大小關(guān)系是.

答案M>N

解析VA/-^=(x2-3x)-(-3x2+x-3)

=4/-4X+3=(2X-1)2+2>0,

：.M>N.

3.若l<tz<2,2<*<3,則纟的取值范圍是

b

答案41)

解析由2Vb<3,

得kV，

3b2

又l<a<2,

，1X%X12X」,

3b2

即

■探究核心題型

題型一數(shù)(式)的大小比較

例1(1)已知pWR,M=(2p+l)(p—3),N=(p—6)(p+3)+10,則M,N的大小關(guān)系為()

A.M<NB.M>N

C.MWND.M^N

答案B

解析因?yàn)锳/—?N=(2p+1)(/?—3)—[⑦―"6)(/?+3)+10]=p2—2p+5=(p—l)2+4>0,所以

M>N.

⑵若a>6>l,P=ae%Q=be",則尸，。的大小關(guān)系是()

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.不能確定

答案C

eh

解析P,。作商可得笄”=立，

Qbe

a

令人x)="，則/(乃==0,

XX1

當(dāng)x>l時，/(x)>0,所以40=￡在(1,+8)上單調(diào)遞增，

X

因?yàn)樾?>1,所以浮，

ba

更

又#>0,”>0,所以4=立<1,所以尸<0.

ba。空

a

思維升華比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a,b為不相等的實(shí)數(shù)，iBM^a2-ab,N^ab-b2,則A/與N的大小關(guān)

系為()

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不確定

答案A

解析因?yàn)镸—N=(a2—ab)—(ab—b2)=(a-h)2,

又a乎b,所以(a—b)2>0,即

(2)已知川=e+1,N=e則M,N的大小關(guān)系為

20222023

e+le+l—

答案M>N

p.2021-I-1J022_|-l

解析方法一M-N^~~——

e2022+le2023+l

=(e202l+l)(e2O23+l)―(e2022+1)2

(e2022+l)(e2023+l)

2022

e2021+e2023—2e

-(e2022+l)(e2023+l)

e2021(e-l)2人

=------------------------->0.

(e2022+l)(e2023+l)

：.M>N.

方法二令大外二三?；

'+1

^''+1)+1--.1--

=ee=~L-|-e一

et+1+led+1+i'

顯然人x)是R上的減函數(shù)，

；.貝2021)>/(2022),即M>N.

題型二不等式的性質(zhì)

例2⑴已知a>6>c>0,下列結(jié)論正確的是()

A.2a<Z>+cB.a(b—c)>b(a—c)

C.-—>?_■-D.(a-c)3>(ft-c)3

a-cb-c

答案D

解析a>b>c>0,/.2a>b+c,故A錯誤；

<a=3>h=2>c=l>0,貝U〃(b—c)=3vb(a—c)=4,故B錯誤;

由a>b>c>0可知，a—c>b—c>0,

~■一<~■一，(〃-c)3>(b—c>,故C錯誤，D正確.

a-cb-c

(2)(多選)若〃>0>b>—a,c<d<0,則下列結(jié)論正確的是()

A.ad>bcB.-+^<0

dc

C.a-c>b—dD.a(d—c)>b(d—c)

答案BCD

解析因?yàn)閍>0>6,c<d<0,所以Q"VO,bc>0,所以故A錯誤；

因?yàn)?>b>—a,所以a>—b>0,因?yàn)閏<d<0,

所以一c>一">0,所以〃(一(?)>(——所以Qc+bd〈O,cd>0,所以生土想="+耍0,故B

cddc

正確；

因?yàn)閏〈d,所以一c>—d,因?yàn)樾耐咚詀+(—c)>6+(—rf),即a—c>b—d,故C正確；

因?yàn)閍>O>b,d—c>0,所以a(d—c)>b(d—c),故D正確.

思維升華判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗(yàn)證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項(xiàng).

(3)作差法.

(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練2(1)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等

號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“v”和符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等

號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a,b,ceR,則下列命題正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若三>與則a<b

C.若a<b<c<0,則纟纟+」

aa+c

D.若a>b,則a2>b2

答案C

解析對于A選項(xiàng)，當(dāng)。=0時不滿足，故錯誤；

對于B選項(xiàng)，由不等式性質(zhì)知，胃>4兩邊同時乘以。2>0,可得a>b,故錯誤；

C2C1

對于C選項(xiàng)，若a<b<c<0,貝!]a+c<0,b—Q>0,(b—a)c<0,a(a+c)>0,故纟一"十。=

aa+c

地土上處3=紇處<0,即”±￡,故正確；

a(a+c)a(a+c)aa+c

對于D選項(xiàng)，取。=-1,b=-2,可得次〈爐，故錯誤.

(2)(多選)若1<Lo,則下列不等式正確的是()

ab

A.^—<—B.|a|+/?0

a+bab

C.a-->b--D.Ina2>\nb1

ab

答案AC

解析由L4<0,可知bqvo.

ab

A中，因?yàn)椤?XO,ab>09所以二-vO,—>0.

a+bah

則一;一<；,故A正確；

a+bab

B中，因?yàn)?<av0,所以一b>—4>0.

故一抗>同，即同+b<0,故B錯誤；

C中，因?yàn)?a<0,又〃<0,

ab

則一1>一丄>0,所以Q—丄>6—丄，故C正確；

abab

D中，因?yàn)閄〃v0,根據(jù)y=/在(—8,0)上單調(diào)遞減，可得分,層,。，而》=lnx在定義域(0,

+8)上單調(diào)遞增，所以ln〃>ln〃2,故D錯誤.

題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3(1)已知一1今<4,2勺<3,則y一y的取值范圍是，3x+2y的取值范圍是

答案(-4,2)(1,18)

解析V-l<x<4,2<y<3,???一3〈一產(chǎn)一2,

；?一4<x—y<2.

由—l<x<4,2<y<3,

得一3<3x<l2,4<2y<6,

???l〈3x+2六18.

延伸探究若將本例(1)中條件改為一1<%+產(chǎn)4,2<了一)Y3,求3x+2y的取值范圍.

解設(shè)3x+2y=m(x+y)+n(x—y),

5

加=；，

2

,m+n=39.

則.Ai

〃一〃=2,n=~.

2

即3x+2產(chǎn)*x+v)+；(x-y),

又:一1<x+y<4,2<x—y<3,

i3

+^)<10,l<^(x—y)<~,

?3.1，,、丄I,,23

..-^<-(x+y)+-(x-y)<~,

即一，3x+2產(chǎn)益,

22

f_323]

，3x+2y的取值范圍為I2'2J

(2)已知3va<8,4v*9,則“的取值范圍是________.

h

答案Q2]

解析V4</><9,丄丄丄，

964

又3<a<8,

.?.丄X3〈"2X8,即丄屋<2.

9b43b

思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求

得整體范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知lWaW2,-1〈收4,則。一26的取值范圍是()

A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]

答案A

解析因?yàn)橐?W6W4,

所以一8W—2bW2,

由得一7Wa-2bW4.

(2)已知實(shí)數(shù)a,h,c,滿足a>b>c,且a+b+c=O,那么色的取值范圍是.

a

答案_2<耍一?

a2

解析由于a>b>c,且a+b+c=O,

所以〃>0,c<0,h=-a~c—a—c<a,2a>—c->—2,

99a

—a—c>c,-a>2c,々一丄，

課時精練

土基礎(chǔ)保分練

1.（2023?長春模擬）已知〃>0,b>0,M=^a+b,N=W+栃，則M與N的大小關(guān)系為（）

A.M>N

B.M<N

C.MSN

D.M,N大小關(guān)系不確定

答案B

解析M2-N2=(a+b)~(a+b+2y]ab)

=-2\fab<09

2.已知o,bWR,若4丄同時成立，貝lj()

ab

A.ab>0B.ab<0

C.tz+A>0D.a+h<0

答案A

解析因?yàn)?<4，

七ixi11b—a八

所以一一7=-------0,

abab

又a>b,所以b—a〈0,所以ab>0.

3.（多選）已知avbvO,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b2<abB.L丄

ah

C.2a>2bD.ln(l—6r)>ln(l—Z))

答案AD

解析對于A,因?yàn)椤╲bvO,所以/?一〃>0,貝!|從一ab=b（b—a）<0,即析vab,故選項(xiàng)A正確;

對于B,因?yàn)?XO,所以心>0,則丹<與，即）<丄，故選項(xiàng)B錯誤;

ababba

對于C,因?yàn)閍vbvO且函數(shù)歹=2"是增函數(shù)，所以2y2上故選項(xiàng)C錯誤；

對于D,因?yàn)镼VXO,所以1—a>l—b>l,又因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以

ln（l—tz）>ln（l—/?）,故選項(xiàng)D正確.

4.若一R<a<ff5,則。一尸的取值范圍是（）

A.-2兀vq—兀B.0<a—￡<2兀

C.—2n<a—0<OD.{0}

答案C

解析V—Tl<P<1t,

/.—7tV一夕〈冗,

又一兀<。<兀,

-2?！碼-兀，

又QV/?,/?<0,

5.已知x,y￡R,且x>y>0,貝lj()

A.COSR-cosy>0

B.cosx+cosy>0

C.Inx—lny>0

D.lnx+ln^>0

答案C

解析對于A,y=cosx在(0,+8)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx—cos^>0不一定成立，A錯誤;

對于B,當(dāng)工=兀，時，cosx+cosy=_1<0,B不一定成立；

對于C,y=lnx在(0,+8)上為增函數(shù)，若x>y>0,則lnx>lny,必有Inx—lny>0,C正確；

對于D,當(dāng)x=l,歹=；時，lnx+Inj/=ln^<0,D不一定成立.

6.(多選)(2023?汕頭模擬)已知〃，b,c滿足cVzvb,且QC<0,那么下列各式中一定成立的是

()

A.QC(Q—c)>0B.c(b—a)<Q

C.ctr<ab2D.ab>ac

答案BCD

解析因?yàn)閍,b,。滿足c〈avb,且ac〈0,

所以c<0,a>0fb>0,a-c>09b—a>。,

所以ac{a—c)<0,c(b—a)<0,cb2<ab2,ab>ac.

7.(多選)設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù)，且心b>0>c>d,則下列不等式正確的有()

A.c2<cdB.a—c<b~d

C.ac<bdD.———>0

ab

答案AD

解析因?yàn)閍>b>0>c>d,

所以a>b>0fi>c>d9

對于A,因?yàn)?>c>d,由不等式的性質(zhì)可得/〈cd,故選項(xiàng)A正確；

對于B,取。=2,b=l,c=—1,d=-2,

貝UQ—c=3,b—d=3,

所以a—c=b~~d,故選項(xiàng)B錯誤；

對于C,取。=2,b=l,c=—l9d=-2,

則ac=-2,bd=-2,

所以ac=",故選項(xiàng)C錯誤；

對于D,因?yàn)閍>b>0,d〈c<0,則ad<bc,

所以針，

ab

故C_g>0,故選項(xiàng)D正確.

ab

8.(多選)(2022?沈陽模擬)已知非零實(shí)數(shù)a,6滿足a>|6|+l,則下列不等關(guān)系一定成立的是

()

A.a2>62+lB.2a>2h+'

C.a2>4bD.U>b+l

答案ABC

解析對于非零實(shí)數(shù)a,6滿足。>向+1,

則他+1)2,

即.2>〃+2創(chuàng)+1>按+1,故A一定成立；

因?yàn)?>向+126+1=2?>2m1,故B一定成立；

又(網(wǎng)一1)2》。即〃+i.2|b|,

所以。2>4同246,故C一定成立；

令a=5,6=3,滿足a>|b|+l,

此時l/J=—+1=4,故D不一定成立.

3

9.已知加=/+/+22,N^2x+2y+2z-n,則MN.(填或“=”)

答案>

解析M-N—x2+z2—2x~2y—2z+兀

=(x-l)2+(y-l)2+(z-]>+兀-32兀一3>0,

故M>N.

10.能夠說明“設(shè)a,6,c是任意實(shí)數(shù).若標(biāo)沖2>°2,則。+護(hù)”是假命題的一組整數(shù)a,b,

c的值依次為.

答案一3,一1,0(答案不唯一)

解析令a=-3,b=~\,c=0,則”2>/>212,

此時a+b=—4<0,所以a+b>c是假命題.

II.若l<a<3,—4<夕<2,則2a+|向的取值范圍是.

答案(2,10)

解析?.?一4<夕<2,

；.0柳<4,

又l<a<3,

2<2a<6,

：.2<2a+\^\<\0.

12.e-Tte與ee-7T啲大小關(guān)系為

答案eK-if<ee-ift

解析

ev-7Cn7lne

又0<^<l,0<7t—e<l,

7t

.用e<l,

即竺尤<1,即e"RC<ec?產(chǎn).

立綜合提升練

13.已知Oqvbvl,設(shè)機(jī)=61na,n=alnb,p=ln[nj,則相，n,p的大小關(guān)系為（）

A.m<n<pB.n<m<p

C.p<m<nD.p<n<m

答案A

解析因?yàn)?<a<ft<l,貝心>1,

a

且In<7<