2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)概率分布

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)概率分布

考點(diǎn)梳理考情回顧高考預(yù)測(cè)復(fù)雜事件分解

為簡(jiǎn)單事件的

和與積的概率2022全國甲卷

（理）第19題1.離散型隨機(jī)變量：重點(diǎn)考查概率模型

的構(gòu)建，會(huì)用隨機(jī)變量表示事件等.2.概率分布及其期望：重點(diǎn)考查隨機(jī)變

量的分布列，會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

望，能應(yīng)用數(shù)學(xué)期望進(jìn)行決策.離散型隨機(jī)變

量分布列及其

數(shù)字特征（均

值、方差）2023新高考Ⅰ

卷第21題

（2022·全國甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)

目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束

后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分

別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）

求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）

設(shè)乙學(xué)校的總得分為

X

分，求隨機(jī)變量

X

的分布列與數(shù)學(xué)期望

E

（

X

）.解：（2）

由題意，得隨機(jī)變量

X

的所有可能取值為0，10，20，30.因

為

P

（

X

＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P

（

X

＝10）＝（1－0.5）

×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，

P

（

X

＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－

0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34.

P

（

X

＝30）＝（1－0.5）

×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06，所以隨機(jī)變量

X

的分布列如下表：X0102030P0.160.440.340.06所以

E

（

X

）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.

熱點(diǎn)

概率分布

[思維導(dǎo)圖]

X234P

（2）

若現(xiàn)在是小明6∶2領(lǐng)先，記結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)為

X

，求

X

的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

X2345P

[思維導(dǎo)圖]

總結(jié)提煉

以離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征為決策依據(jù)的問題在這類實(shí)際問題中，通常有兩個(gè)隨機(jī)變量

X

，

Y

，分別求出兩個(gè)隨

機(jī)變量

X

，

Y

的概率分布列，再求數(shù)學(xué)期望，最后依據(jù)實(shí)際問題，進(jìn)行

決策.如果兩者的期望相等或較為接近時(shí)，就需要計(jì)算兩個(gè)變量的方

差，來比較兩個(gè)隨機(jī)變量的穩(wěn)定程度.一般將期望最大（或最?。┑姆?/p>

案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小（或最大）

的方案作為最優(yōu)方案.

[典例設(shè)計(jì)]例3

（2022·恩施州模擬）某地區(qū)鼓勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡植樹.某農(nóng)戶考察了

A，B，C三種不同的樹苗，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，樹苗A的自然成活率為

0.8，樹苗B，C的自然成活率均為

p

（0.7≤

p

≤0.9）.（1）

任取A，B，C三種樹苗各一棵，記成活的棵數(shù)為

X

，求

X

的分布

列及

E

（

X

）.（2）

將（1）中的

E

（

X

）取得最大值時(shí)

p

的值作為B種樹苗的自然成

活率.該農(nóng)戶決定引種

n

棵B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75

％的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的

樹苗不能成活.①

求一棵B種樹苗最終成活的概率.②

已知每棵B種樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵樹苗

虧損50元.若該農(nóng)戶只引種B種樹苗，且為了獲利不低于20萬元，求該農(nóng)

戶至少應(yīng)引種B種樹苗多少棵.[思維導(dǎo)圖]

X0123P0.2（1－p）20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2所以

E

（

X

）＝0×0.2（1－

p

）2＋1×（0.4

p

2－1.2

p

＋0.8）＋2×（－

1.4

p

2＋1.6

p

）＋3×0.8

p

2＝2

p

＋0.8.

總結(jié)提煉

預(yù)測(cè)問題現(xiàn)實(shí)中，某些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)有有限個(gè)可能的結(jié)果，且能獲得各個(gè)結(jié)果

對(duì)應(yīng)的概率，那么預(yù)測(cè)此類經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果，可以通過建立概率模

型，轉(zhuǎn)化為研究離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，用數(shù)學(xué)期望代替經(jīng)濟(jì)活

動(dòng)的結(jié)果.主要過程有以下幾步：（1）

確定隨機(jī)變量，建立模型；

（2）

求概率分布列；（3）

求數(shù)學(xué)期望；（4）

構(gòu)建方程或不等式，

并求解；（5）

在實(shí)際問題中，解釋所獲得的結(jié)果.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.（2022·永州三模）某游樂場(chǎng)開展摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的盒

子中放入除顏色外其他完全相同的10個(gè)小球，其中紅球4個(gè)，黑球6個(gè)，

游客花10元錢，就可以參加一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)，從盒子中一次隨機(jī)摸取

4個(gè)小球，規(guī)定摸取到兩個(gè)或兩個(gè)以上的紅球就中獎(jiǎng).根據(jù)摸取到的紅球

個(gè)數(shù)，設(shè)立如下的中獎(jiǎng)等級(jí)：摸