專題3.4 函數的應用（一）【六大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題3.4函數的應用（一）【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數模型的應用】 1【題型2二次函數模型的應用】 3【題型3冪函數模型的應用】 7【題型4分段函數模型的應用】 9【題型5“對勾”函數模型的應用】 12【題型6函數模型的綜合應用】 15【知識點1一次函數、二次函數模型的應用】1．實際問題中函數建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的函數模型.

(3)求解：根據實際問題所需要解決的目標及函數式的結構特征正確求得函數模型的解.

(4)還原：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科背景又要符合實際背景，因此解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，最后得出結論，作出回答.2．一次函數模型的應用一次函數模型：f(x)=kx+b(k,b為常數，k≠0).一次函數是常見的一種函數模型，在初中就已接觸過.3．二次函數模型的應用二次函數模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數,a≠0).

二次函數為生活中常見的一種數學模型，因二次函數可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數模型.【題型1一次函數模型的應用】【例1】（2022秋·福建泉州·高一校考期中）從裝滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（

）A．fx=45x+2 B．f【解題思路】求出第k次倒出酒精后容器中含純酒精的質量，然后可得第k+1次倒出的純酒精的質量，然后可得倒k【解答過程】∵第k次時共倒出了純酒精x升，∴第k次倒出后容器中含純酒精為(10-x第k+1次倒出的純酒精是10-所以倒出第k+1次時，共倒出了純酒精故選：C.【變式1-1】（2022秋·四川廣安·高一?？茧A段練習）一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關于腰長x的函數，則它的解析式為（

）A．y=20-2x BC．y=20-2x(5≤【解題思路】由等腰三角形的周長為20，得到y=20-2x，結合三角形的性質，求得5<【解答過程】由等腰三角形的周長為20，且底邊長y是關于腰長x，可得y+2x=20又由2x>y，即2因為y>0，即20-2x>0，可得x所以解析式為y=20-2故選：D.【變式1-2】（2023春·福建·高三統考學業(yè)考試）某公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數關系，其對應關系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【解題思路】利用公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數關系，設出函數解析式，代入圖象中的坐標，求出函數并將月銷售量為3百件代入，可得此時的月收入．【解答過程】設一次函數為：y=kx+bk≠0，將解得k=300,故公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量之間的函數關系為y=300令x=3，可得y故選：C.【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數關系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【解題思路】根據題意，利用一次函數的性質判斷不同方案下參數的變化對圖象的影響，即可確定正確選項.【解答過程】設目前車票價格為k1，支出費用為b1，則對于建議（I），設建議后的支出費用為b2（b2＜b1顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設建議后的車票價格為k2（k2＞k1顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．【題型2二次函數模型的應用】【例2】（2023春·廣東廣州·高一?？计谥校┠硨W校因為學生活動區(qū)域緊張，為了更好的為學生提供活動場地，決定在一塊長AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AMPN上施工，規(guī)劃建設占地如圖中矩形ABCD的學生活動中心，要求頂點C在地塊的對角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設AB長度為x

(1)要使矩形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米，AB的長度應在什么范圍？(2)長度AB和寬度AD分別為多少米時矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？【解題思路】（1）由已知可得△NDC∽△NAM，可求得ND=23x（2）利用二次函數的基本性質可求得矩形ABCD面積的最大值，及其對應的x的值，即可得出結論.【解答過程】（1）解：因為CD//AB，由圖可知，△NDC∽△NAM所以，ND=23x，所以，矩形ABCD的面積為fx=AB由fx=-23x因此，當120≤x≤180時，形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400（2）解：由（1）知，fx=-2故當x=150時，函數fx取最大值，即因此，當AB=150米，AD=100米時，矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大，且最大值為15000【變式2-1】（2023·高一課時練習）小明同學想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時，燒開一壺水最省燃氣，于是通過實驗統計了旋鈕的轉角為18°、36°、54°、72°、90°時，燒開一壺水所耗燃氣情況：旋鈕的轉角（單位：度）1836547290所耗燃氣量（單位：m30.1300.1220.1390.1490.172請選擇合適的函數模擬擬合以上數據，由此計算：旋鈕的轉角為多少度時，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃氣為多少立方米？【解題思路】設旋鈕的轉角（單位：度）為x，所耗燃氣量（單位：m3）為y，在平面直角坐標系中描點，可選擇二次函數進行模擬擬合，設y=ax2+【解答過程】設旋鈕的轉角（單位：度）為x，所耗燃氣量（單位：m3）為y，在平面直角坐標系中描出表中的五個點(

可以選擇二次函數進行模擬擬合，設y=不妨取(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入，得0.130=a?18故y=1.9033×當x=-y的最小值為4ac-b2所以當x≈39（度）時，燒開一壺水所耗燃氣最少，約0.1218m【變式2-2】（2023秋·江蘇無錫·高一統考期末）某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個，用于種植普通蔬菜，平均每個大棚年收入為10萬元．為適應市場需求，提高收益，決定調整原種植方案，將x(10≤x≤32,x∈(1)當m=20時，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%，求(2)當22<m【解題思路】（1）當m=20時，設種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y1,y2，表示出y1,y（2）設蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，可得Z=xm-【解答過程】（1）當m=20時，設種植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分別為y則y1=xy=-0.25x要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%則y1所以x20-化簡得：x2-56解得：16≤x≤40，又因為所以16≤x≤32，（2）設蔬菜種植大棚全年總收入為Z萬元，所以Z=-5=-當22<m<23時，所以當x∈10,4所以，當x=29時，Z當x=30時，Z當x=31時，Z所以當22<m<23時，Z2Z3-Z所以Z2最大，所以當x=30時，蔬菜種植大棚全年總收入最大為：30【變式2-3】（2023秋·北京西城·高一統考期末）某商貿公司售賣某種水果．經市場調研可知：在未來20天內，這種水果每箱的銷售利潤r（單位：元）與時間t（1≤t≤20,t∈N，單位：天）之間的函數關系式為r=1(1)求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈mm∈N*元給“精準扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間【解題思路】（1）通過計算得f(（2）計算g(t)=-12t2+(10+2m)t+1200-120【解答過程】（1）設第t日的銷售利潤為f(tf(t)=rp=(∵1≤t當t=10時，f所以第10天的銷售利潤最大，最大值是1250元.（2）設捐贈之后第t日的銷售利潤為g(g(t)=(依題意，m應滿足以下條件：①m∈②10+2m>19+20③m≤14t+10綜上5≤m≤10，且【知識點2冪函數模型的應用】1．冪函數模型的應用冪函數模型應用的求解策略

(1)給出含參數的函數關系式，利用待定系數法求出參數，確定函數關系式.

(2)根據題意，直接列出相應的函數關系式.【題型3冪函數模型的應用】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則A．14 B．12 C．23【解題思路】初始狀態(tài)設為(x1,y1)，變化后為【解答過程】設初始狀態(tài)為(x1,y1又y1=kx1α，8y1y1=k?16α故選：D．【變式3-1】（2023秋·高一課時練習）上海市為抑制房價，2011年準備新建經濟適用房800萬m2，解決中低收入家庭的住房問題.設年平均增長率為x%，設2014年新建經濟住房面積為ym2，則y關于A．y=800(1+3x%)(C．y=800(1+4x%)(【解題思路】根據平均增長率的定義寫出方程即可得到答案．【解答過程】由題意知2012年為800(1+2013年為8002014年為y故選B.【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【解題思路】設年平均增長率為x，依題意列方程求x即可.【解答過程】由題意，設年平均增長率為x，則150(1+所以x=3故選：B.【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習）某公司的收入由保險業(yè)務收入和理財業(yè)務收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務收入為150億元，理財業(yè)務收入為50億元.該公司經營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務收入不高于當年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.4【解題思路】求出2025年通過理財業(yè)務的收入為50t5億元，根據題意可得出關于t的不等式，解出t【解答過程】因為該公司2020年總收入為200億元，預計每年總收入比前一年增加20億元，所以2025年的總收入為300億元，因為要求從2020年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財業(yè)務的收入為50t5億元，所以300-50t5≤300×0.6，解得t≥故選：A.【知識點3分段函數模型的應用】1．分段函數模型的應用由于分段函數在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應用.【題型4分段函數模型的應用】【例4】（2022秋·河南·高一校聯考階段練習）某企業(yè)生產一種化學產品的總成本y（單位：萬元）與生產量x（單位：噸）之間的函數關系可近似表示為y=x3A．20噸 B．40噸 C．50噸 D．60噸【解題思路】由總成本與生產量之間的關系求出平均生產成本的函數解析式，求函數取最小值時的x的值即為所求.【解答過程】因為總成本y與生產量x之間的關系為y=設平均生產成本為f(x)當x∈0,30時，則x=20時，f(x當x∈30,+∞當且僅當x2=800x，即x=40綜上，x=40，即生產量控制在40噸時，每噸的平均生產成本最少故選：B.【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）2005年10月27日全國人大通過了關于修改個人所得稅的決定，工薪所得減去費用標準從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級數全月應納稅所得額稅率%1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定【解題思路】根據已知寫出稅法修改前納稅額與工資的分段函數形式，根據個人所得稅求出某人工資，再按新稅法求稅額即可.【解答過程】設工資為x元，當0≤x≤800，納稅為當800<x≤1300，納稅為當1300<x≤2800，納稅為當2800<x≤5800，納稅為所以，納稅為y=而25<123<175，令x10-105=123由x-1600=680>500，則按新稅法只要交稅500×5故選：A.【變式4-2】（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┰谝话闱闆r下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為90千米/小時；研究表明，當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．設當車流密度x=x0時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/A．x0=100 B．x0=120 C．【解題思路】根據條件建立分段函數關系，利用待定系數法求出k，m的值，利用二次函數的最值性質進行求解即可．【解答過程】vx則當x=200時，v當x=20時，v20=90，即200k+故fx當0<x≤20時，fx的最大值為x當20≤x≤200時，根據二次函數的對稱軸方程為x=100，得fx的最大值為x0故選：A．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）我國在2020年9月22日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和．為了響應黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數關系可近似表示為y=13A．120 B．200 C．240 D．400【解題思路】先根據題意求出每噸的平均處理成本與處理量之間的函數關系，然后分x∈[120,144)和x【解答過程】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=當x∈[120,144)時，S當x=120時，S取得最小值240當x∈[144,500]時，S當且僅當12x=80000x，即x綜上，當每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，故選：D.【知識點4“對勾”函數模型的應用】1．“對勾”函數模型的應用對勾函數模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數的性質，尤其是單調性：y=ax+(a>0,b>0)，當x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型5“對勾”函數模型的應用】【例5】（2022秋·河北邯鄲·高一校考期中）某工廠為提升品牌知名度進行促銷活動，需促銷費用x（0<x≤a,a為常數）萬元，計劃生產并銷售某種文化產品（x+1）萬件（生產量與銷售量相等）.已知生產該產品需投入成本費用（x(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；（注：利潤=銷售額-投入成本-促銷費用）(2)當促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？【解題思路】（1）根據題意可得銷售額1+20x+1x+1（2）由（1）得y=-x+1x+20，x∈0,【解答過程】（1）由題意得y=1+20（2）由（1）得y=-x+∵x∴x+1x≥2由對勾函數的性質可知：當0<a<1時，y=-∴當x=a時，當a≥1時，y=-x綜上所述，當0<a<1時，當促銷費用投入a萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為當a≥1時，當促銷費用投入1萬元時，此工廠所獲得的利潤最大，最大利潤為18萬元【變式5-1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距45km的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設當地道路限速50km/h.油價為每升8元，當汽車以xkm/h的速度行駛時，油耗率為3+x2【解題思路】根據題設可得y=3600x+【解答過程】設汽車以xkm/h行駛時，開車時間為45x小時，則代駕費用為油耗為45x則總費用y==36010由對勾函數的性質知，函數在0,60單調遞減，在60,+∞因為0≤x≤50，所以當x=50最小值為y=最經濟的車速為50km/h時，使得本次行程的總費用最少為122元【變式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校┤鐖D，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200m2的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元(1)設總價為S（單位：元），AD長為x（單位：m），試建立S關于x的函數關系式；(2)當x為何值時，S最??？并求出這個最小值．【解題思路】（1）先設DQ=y，又AD=x，建立等式找出（2）利用均值不等式計算即可，注意等號成立的條件.【解答過程】（1）設DQ=y，又AD=則x2+4xy=200∴S=4200x（2）由（1）得S=38000+4000利用均值不等式得S=38000+4000當4000x2=所以當x=10m時，S最小，最小值為【變式5-3】（2022·江蘇·高一專題練習）某廠家擬在2021年舉行某產品的促銷活動，經調查，該產品的年銷售量（即該產品的年產量）x（單位：萬件）與年促銷費用mm≥0（單位：萬元）滿足x=3-km+1（k為常數），如果不舉行促銷活動，該產品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產該產品的固定投入為8萬，每生產1(1)將2021年該產品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數；(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？【解題思路】（1）由m=0時，x=1可構造方程求得k，得到x=3-2m（2）利用基本不等式可求得16m（3）利用對勾函數的單調性即得.【解答過程】（1）由題意可知：當m=0時，x∴1=3-k，解得：k∴x=3-2∴2021年利潤y=28-16（2）因為y=28-當m≥0時，16m+1+m此時年利潤ymax∴該廠家2021年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.（3）因為y=28-當0≤m≤2時函數為增函數，故當m=2故當促銷費用為2萬元時，該廠家的利潤最大.【題型6函數模型的綜合應用】【例6】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為y=12x(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利，如果獲利，最大利潤為多少元？【解題思路】（1）依題意寫出每噸的平均處理成本與月處理量x之間的函數關系，再用基本不等式即可求解；（2）設該單位每月獲利s元根，據題意寫出s的函數關系式，用一元二次函數求最值的方法求解.【解答過程】（1）由題意，每噸的平均處理成本為12x+45000x故該單位月處理量為300噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.（2）設該單位每月獲利為s元，則s=200x-y=-1故該單位每月獲利，最大利潤為35000元.【變式6-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產改革，從單一產品轉為生產A、B兩種產品，根據市場調查與市場預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖①；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并