2021年初中數(shù)學(xué)-10大全等模型：8字全等-一線三等角-半角-手拉手-腳拉腳-十字模型-三垂直

模型一八字全等【模型條件】平行線+中點【模型解析】該模型由兩個全等三角形進(jìn)行180°旋轉(zhuǎn)，使得兩組對應(yīng)邊共線，對應(yīng)角構(gòu)成內(nèi)錯角，所以一定會形成平行和中點。如圖。所以，在兩條平行線間如果存在中點，一定會形成全等三角形。如圖已知，則有【模型總結(jié)】①平行線間出現(xiàn)中點，一定會有全等。②證明線段中點問題，可以采用作垂直構(gòu)造8字全等來解決③三角形的中線問題，常采用倍長中線構(gòu)造8字全等轉(zhuǎn)換條件

【例1-1】如圖、在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF＝BD求證：D是BC的中點

【例1-2】如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD＝CE，連接DE交BC于點M．求證：MD＝ME

【例1-3】如圖，等邊三角形ABC中，E是線段AC上一點，F(xiàn)是BC延長線上一點．連接BE，AF．點G是線段BE的中點，BN∥AC，BN與AG延長線交于點N（1）若∠BAN＝15°，求∠N（2）若AE＝CF，求證：2AG＝AF

【例1-4】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是C．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．

【例1-5】閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE求證：AB＝CD分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證明AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形，現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明（1）延長DE到F，使得EF＝DE（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F（3）過點C作CF∥AB交DE的延長線于F

【例1-6】如圖，在∠ABC＝90°，∠DBE＝90°，BA＝BC，BD＝BE，連接AE、CD，AE所在直線交CD于點F，連接BF（1）連接AD，EC，求證：AD＝EC（2）若BF⊥AF，求證：點F為CD的中點

【例1-7】如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，連接DE，過點D作DF⊥DE交BE于點F，G為BE中點，連接AF，DG．（1）如圖1，若點F與點G重合，求證：AF⊥DF（2）如圖2，請寫出AF與DG之間的關(guān)系并證明

【例1-8】P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．

【例1-9】已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，（1）求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，過點E的直線交射線AM于點C，交射線BN于點D，求證：AC+BD＝AB；（3）如圖3，過點E的直線交射線AM的反向延長線于點C，交射線BN于點D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面積．

模型二一線三等角模型【模型條件】，一組對應(yīng)邊相等【模型解析】本質(zhì)上兩個全等三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)三角形的一個外角大小得到的，當(dāng)一組非對應(yīng)邊共線時就會形成等角，故會形成三個等角。如圖2：已知，則有【模型總結(jié)】①一線三等角證明常用外角證明，一線三垂直用余角證明亦可。②一線三等角會形成等腰三角形，解題時要考慮。如圖2，③三等角模型，對應(yīng)邊夾角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角。

【例2-1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，點E在AC邊上，連接AD、DE，若AD＝DE，AC＝CD．（1）求證：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的長．

【例2-2】如圖，點P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若BP＝2cm，求等邊△ABC的邊長．

【例2-3】已知，M是等邊△ABC邊BC上的點．（1）如圖1，過點M作MN∥AC且交于點N，求證：BM＝BN；（2）如圖2，連接AM，過點M作∠AMH＝60°，MH與∠ACB的鄰補角的平分線交于點H，過H作HD⊥BC于點D．求證：MA＝MH．

【例2-4】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A＝36°時，求∠DEF的度數(shù)．

模型三角平分線模型1、角平分線定理【模型條件】【模型解析】如圖1，已知,則有【模型總結(jié)】角平分線上的點到角的兩邊距離相等。（角平分線定理）2、等腰△三線合一【模型條件】如圖2：以上四個條件中兩個即可?！灸Ｐ徒馕觥咳鐖D2，已知,則有如圖2，已知,則有如圖2，已知,則有【模型總結(jié)】等腰三角形的高是中線也是角平分線（等腰三線合一）

【例3-1】如圖，已知等邊三角形ABC，點D為線段BC上一點，以線段DB為邊向右側(cè)作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，則∠DBE的度數(shù)是（）A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°

【例3-2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，P，Q分別在BC，CA上，AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的角平分線．求證：BQ+AQ＝AB+BP．

【例3-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BQ和AP分別為∠BAC和∠ABC的角平分線，若△ABQ的周長為18，BP＝4，則AB的長為7．

【例3-4】如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M為AC的中點，OM⊥AC交∠ABC的平分線于O，OE⊥AB交BA的延長線于E，OF⊥BC．垂足為F．（1）求證：AE＝CF．（2）求線段BE的長．

【例3-5】如圖，△ABC的∠B和∠C的平分線BD，CE相交于點F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度數(shù)．（2）求證：BC＝BE+CD．

【例3-6】在四邊形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，點O為BD的中點，且OA平分∠BAC．（1）求證：OC平分∠ACD；（2）求證：OA⊥OC；（3）求證：AB+CD＝AC．

模型四三垂直模型【模型條件】如圖1，【模型解析】如圖1，已知,則有如圖2，已知,則有如圖3，已知,則有【模型總結(jié)】如果已知邊的數(shù)量關(guān)系，亦可證直角三角形全等

【例4-1】如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的長．

【例4-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是AB的中點，點D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EM．（1）求證：CE＝BF；（2）求證：∠AEM＝∠DEM．

【例4-3】如圖所示，直線MN一側(cè)有一個等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直線MN過頂點C，分別過點A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分別為點E，F(xiàn)，∠CAB的角平分線AG交BC于點O，交MN于點G，連接BG，恰好滿足AG⊥BG．延長AC，BG交于點D．（1）求證：CE＝BF；（2）求證：AC+CO＝AB．

【例4-4】問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．

【例4-5】在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC．（1）如圖①，DE是過點C的一條直線，且A，B在DE的同側(cè)，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．寫出AD，BE，ED間的數(shù)量關(guān)系，并寫明理由；（2）如圖②，DE是過點C的一條直線，且A，B在DE的兩側(cè)，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．寫出AD，BE，ED間的數(shù)量關(guān)系，并寫明理由．

【例4-6】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）如圖1，求證：DE＝AD+BE；（2）如圖2，點O為AB的中點，連接OD，OE．請判斷△ODE的形狀？并說明理由．

【例4-7】如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個動點，當(dāng)P點向y軸負(fù)半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，已知點F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運動時，作Rt△FGH，始終保持∠GFH＝90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)半軸交于點G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點H（n，0），當(dāng)G點在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運動時，以下兩個結(jié)論：①m﹣n為定值；②m+n為定值，其中只有一個結(jié)論是正確的，請找出正確的結(jié)論，并求出其值．

模型五十字模型【模型條件】正方形或等腰三角形，一組對應(yīng)邊相等【模型解析】如圖1，已知：四邊形ABCD是正方形，MN⊥EF，則有MN=EF圖1如圖2，已知等邊△ABC，BD=EC，則有AD=BE，且AD和BE夾角為60°圖2【模型總結(jié)】正方形中兩條垂直的線段相等，兩條相等的線段垂直等腰三角形中兩條相等的線段夾角等于等腰三角形底角

【例5-1】如圖．已知△ABC中．∠BAC＝90°．∠BCA＝45°，D為線段AC上任一點，連接BD，過C點作CE∥AB且AD＝CE．試說明BD和AE之間的關(guān)系，并證明．

【例5-2】如圖，點M，N分別是正五邊形ABCDE的邊BC，CD上的點，且BM＝CN，AM交BN于點P．（1）求證：△ABM≌△BCN．（2）求∠APN的度數(shù)．

【例5-3】如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AC的中點，AF⊥BD于點E，交BC于點F，連接DF．求證：∠ADB＝∠CDF．

【例5-4】如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且BD＝CE，AD與BE相交于點P．下列結(jié)論：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正確的結(jié)論共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

【例5-5】提出問題：（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點O，求證：AE＝DH；類比探究：（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【例5-6】如圖，在等邊三角形ABC的AC，BC邊上各取一點P，Q，使AP＝CQ，連接AQ，BP相交于點O．（1）寫出圖中所有的全等三角形，并選擇其中一對加以證明；（2）求∠BOQ的度數(shù)；（3）連接OC，若OC⊥BP，求的值．

模型六半角模型1、正方形半角模型【模型條件】【模型解析】如圖1，正方形中存在一個45°角與正方形共頂點，∠BDC被45°分成三個角，且有∠EDF=∠BDE+∠FDC=45°，這也是半角的意義所在，通過旋轉(zhuǎn)的思想，我們將∠BDE和∠FDC拼接成一個角，即∠FDC。通過全等三角形的旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)我們易證。半角通常的思路就是通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造半角得全等?！灸Ｐ涂偨Y(jié)】①；②DF平分∠EAG；③2、等邊三角形半角模型【模型條件】【模型解析】【模型總結(jié)】①；②DF平分∠EAG；③

【例6-1】如圖，正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別與邊BC、CD交于點E、F，AE、AF分別交BD于點G、H，且∠EAF＝45°．（1）當(dāng)∠AEB＝55°時，求∠DAH的度數(shù)；（2）設(shè)∠AEB＝α，則∠AFD＝135°﹣α（用含α的代數(shù)式表示）；（3）求證：∠AEB＝∠AEF．

【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足為H，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動．①試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系．②求證：AB＝AH．

【例6-3】如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點C（0，4），A（4，4），過C點作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點（1）若OF+BE＝AB，求證：CF＝CE．（2）如圖（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．

【例6-4】如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點，且始終∠MAN＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點M、N分別在線段BC、DC上時，請直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點M、N分別在CB、DC的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點M、N分別在CB、DC的延長線上時，若CN＝CD＝6，設(shè)BD與AM的延長線交于點P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長．

【例6-5】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【例6-6】如圖，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC，CD＝DE，且BC＝BD，邊BD交CE于點F，連接AD．（1）如圖1，連接BE，若AD＝4，求BE的長；（2）如圖2，若點F為BD的中點，求證：AD＝2EF．

模型七共頂點等直模型圖1圖2【模型條件】△ABO和△DOC共頂點等直三角形【模型解析】【模型總結(jié)】

【例7-1】如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．（1）找出圖中的全等三角形，并說明理由；（2）當(dāng)AD＝AB＝4cm，則AE的長度為8cm．（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．

【例7-2】已知：如圖，直線AF經(jīng)過兩個等腰直角△ABC和△ADE的頂點A，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，且BD⊥AF于點F，CE與直線AF交于點G．求證：點G是CE的中點．

【例7-3】（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．

【例7-4】在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結(jié)論：①BG＝CE；②BG⊥CE；③∠EAM＝∠ABC；④AM是△AEG的中線，其中結(jié)論正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

【例7-5】已知，△ABC中，AB＝6，AC＝4，M是BC的中點，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，正方形ACFG，連接EG，MA的延長線交EG于點N，（1）如圖1，若∠BAC＝90°，求證：AM＝EG，AM⊥EG；（2）將正方形ACFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至如圖2，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）將正方形ACFG繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至B，C，F(xiàn)三點在一條直線上，請畫出圖形，并直接寫出AN的長．

【例7-6】以Rt△ABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點A作AM⊥BC于M，延長MA交EG于點N．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易證：EN＝GN；（2）如圖②，∠BAC＝90°；如圖③，∠BAC≠90°，（1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

模型八對角互補四邊形模型【模型條件】對角互補鄰邊相等的四邊形【模型解析】如圖1，已知,則有【模型總結(jié)】如圖1，三個條件，已知其中即可推出第三個?！就卣顾伎?】如圖4，當(dāng)點A運動到OB下方時，OP平分∠AOB的外角時，且仍有∠AOB的外角與∠APB互補，猜想線段AP與BP的數(shù)量關(guān)系?！就卣顾伎?】如圖4，當(dāng)點A運動到OB下方時，∠AOB的外角與∠APB互補，AP=BP，是否仍有OP平分∠AOB的外角？

【例8-1】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD．試說明：（1）△CBE≌△CDF；（2）AB+DF＝AF．

【例8-2】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA＝PE．（1）求證：PC＝PE；（2）求∠CPE的度數(shù)；（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【例8-3】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，點E為CD延長線上一點，連接BE，AE，在BC上取一點F，使EF＝AE，過F點作FG⊥EF交CD于點G．（1）求證：AE⊥EF；（2）連接DF，當(dāng)DF＝GF時，求證：①DF∥BE；②求的值．

【例8-4】問題背景：如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的等量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+FD．探索延伸：如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實際應(yīng)用：如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙再指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向行駛60海里到達(dá)E處，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向行駛100海里到達(dá)F處，此時指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

模型九手拉手模型如圖1如圖2如圖3【模型條件】△ABC和△ADC是共頂點的頂角相等的等腰三角形【模型解析】【模型總結(jié)】△ABC和△ADC是共頂點的頂角相等的等腰三角形，一定會形成全等三角形，EC和BD的夾角等于等腰三角形的頂角?！灸Ｐ屯卣埂俊鰽BC和△CDE均為等邊三角形，求證：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ為等邊三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD

【例9-1】如圖，在等腰△ABC中，BA＝BC，點F在AB邊上，延長CF交AD于點E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．（1）求證：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度數(shù)．

【例9-2】如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為BC延長線上的一點，CE平分∠ACD，CE＝BD，求證：（1）△ABD≌△ACE；（2）試判斷△ADE的形狀，并證明．

【例9-3】如圖，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于點H，連CH．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）求證：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度數(shù)．（用含α的式子表示）

【例9-4】△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD．（1）如圖①，△ABE是等邊三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長；