中考數學復習《三角板問題》專項檢測卷(附帶答案)

第頁中考數學復習《三角板問題》專項檢測卷(附帶答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________三角板是學生最常用的學習工具,以三角板為道具,以學生常見、熟悉的幾何圖形為載體,并輔之以平移、旋轉等變換手段的問題,能為學生提供動手實踐操作設計的空間,較好地考查了學生觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運動變化、分類討論思想等的綜合運用能力.這類操作性的題目格調清新,立意新穎,充分體現了課標中提出的“培養(yǎng)學生動手動腦、實踐探索的能力”的要求,既注重基礎知識,同時又具有很強的綜合性,因此受到了各地中考命題專家的青睞.由一副三角板產生的問題（一）.由一副三角板的疊放1、一副三角板如圖1所示疊放在一起，則圖中∠a的度數是。解析：本題利用學生熟知的三角板的度數和三角形的內角和易知∠a的度數為750。圖1.2.一幅三角板按圖2所示疊放在一起,若固定△AOB,將△ACD繞著公共頂點A,按順時針方向旋轉α度(0<α<180),當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時,相應的旋轉角α的值是.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如圖3所示的方式擺放，且∠1的度數比∠2的度數大500，若設∠1=x0,∠2=y0，則可得到方程組為（）。EQA、B、EQEQC、D、圖3（三）．由一副三角板的旋轉4取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如圖6（2）所示。試問（1）當α為多少度時，能使得圖6（2）中的AB∥DC?（2）當旋轉至圖6（3）位置時，此時α又為多少度？圖中你能找出哪幾對相似三角形，并求出其中一對的相似比；（3）連接BD，當0°<α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。5.一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點A，按順時針方向旋轉α度（0°<α<180°），當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時，相應的旋轉角α的值是______________________________________。7、已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖6擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°)，在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.(1)當α=30°時(如圖7)，求證：AG=DH；(2)當α=60°時(如圖8)，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；(3)當0°＜α＜90°時，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并根據圖9說明理由.二．由兩塊形狀大小都相同的三角板產生的問題（一）.兩塊形狀大小都相同三角板的平移8、如圖4，兩個相同的直角三角尺重疊后，沿斜邊推動其中一塊，使它平移到某一位置。四邊形ABOA/的面積與四邊形B/C/CO的面積有什么關系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四邊形ABOA/的面積。圖49、把兩塊含有300的相同的直角尺按如圖所示擺放，使點C、B、E在同一條直線上，連結CD，若AC=6cm，則ΔBCD的面積是。（二）.兩塊形狀大小都相同三角板的旋轉10、把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交與點Q。

（1）如圖17（1），當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，

易證△APD∽△CDQ。此時，AP·CQ=____。

（2）將三角板DEF由圖17（1）所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α，其中0°<α<90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由。

（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y,求y與x的函數關系式。11、將兩塊全等的含30°的三角尺如圖15擺放在一起,它們的較短直角邊長為3.(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖16的位置,使E點落在AB上,則CC′為多少？(2)將△ECD繞點C逆時針旋轉到圖17的位置,使點E落在AB上,則△ECD繞點C旋轉的度數為多少？(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖18的位置,ED′與AB相交于點F,求證:AF=FD′.12、把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉，設射線與射線相交于點，射線與線段相交于點．（1）如圖5，當射線經過點，即點與點重合時，易證．此時，________．（2）將三角板由圖5所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉至圖6，設旋轉角為．其中，問的值是否改變？說明你的理由．（3）在（2）的條件下，設，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．（三）.兩塊形狀大小都相同三角板的疊放13、如圖4，兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖4所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.14、（1）把兩個含有45°角的直角三角板如

圖18（1）放置，點D在BC上，連結BE，AD，AD的延長線交BE于點F。

求證:AF⊥BE。

（2）把兩個含有30°角的直角三角板如圖18（2）放置，點D在BC上，連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F。問AF與BE是否垂直？并說明理由。三．由兩塊形狀相同但大小不等的三角板產生的問題15、如圖,腰長為1和2的兩個等腰直角三角形,其一腰在同一水平線上,小等腰直角三角形沿該水平線自左向右勻速穿過大等腰直角三角形,設穿過的時間為x,大等腰三角形內減去小等腰直角三角形部分的面積為y(各個圖中的陰影部分),則y與x的大致圖象為（）16、(1)把兩個含有45°角的直角三角板如圖19放置,點D在BC上,連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F.求證:AF⊥BE.(2)把兩個含有30°角的直角三角板如圖20放置,點D在BC上,連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F.問AF與BE是否垂直?說明理由.17、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板圖1圖1圖2DCEAB如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：．四．由一塊三角板產生的問題（一）.由一塊三角板產生旋轉18、如圖2，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉到A′B′C′的位置，若BC的長為15cm，那么頂點A從開始到結束所經過的路徑長為().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如圖5，斜邊長為6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，繞點C順時針方向旋轉90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板向左平移的距離為____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）繞直角頂點沿逆時針方向旋轉角（），再沿的對邊翻折得到，與交于點，與交于點，與相交于點．EBMACN（1）求證：．（2）當時，找出與的數量關系，并加以說明．21、如圖5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一塊含300角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉。在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DM=DN。在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與等腰直角三角板ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積？繼續(xù)旋轉至如圖6所示的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；繼續(xù)旋轉至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明。圖5圖6圖722、孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點，兩直角邊與該拋物線交于、兩點，請解答以下問題：

⑴若測得（如圖7），求的值；

⑵對同一條拋物線，孔明將三角板繞點旋轉到如圖8所示位置時，過作軸于點，測得，寫出此時點的坐標，并求點的橫坐標；

⑶對該拋物線，孔明將三角板繞點旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現，交點、的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標。

（二）.由一塊三角板產生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G，一等腰直角三角尺按如圖13（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經過點B。（1）在圖13(1)中請你通過觀察，測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖13（2）所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E。此時請你再通過觀察測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后證明你的猜想；

（3）當三角尺在圖13（2）的基礎上沿AC方向平移到圖13（3）所示位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合)時，圖13（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）五．一塊三角板相對運動問題24、如圖(1)，將斜邊長為6cm的直角三角板放置在直角坐標系中，直角頂點與原點重合，直角邊分別與x軸、y軸重合，且∠MNO=60°。將長和寬分別為6cm、2cm的直尺ABCD的長邊與直線MN重合，其中C點與N點重合（如圖(2)）。三角板固定不動，直尺以1cm/s的速度沿著直線MN向左上方滑動（如圖(3)），直到C點與M點重合為止。設移動ts后，直尺和三角板重疊部分的面積為Scm2。求：（1）直線MN的函數關系式；（2）S與t

之間的函數關系式，并求S的最大值。答案部分一．由一副三角板產生的問題（一）.由一副三角板的疊放1、一副三角板如圖1所示疊放在一起，則圖中∠a的度數是。解析：本題利用學生熟知的三角板的度數和三角形的內角和易知∠a的度數為750。圖1.2.一幅三角板按圖2所示疊放在一起,若固定△AOB,將△ACD繞著公共頂點A,按順時針方向旋轉α度(0<α<180),當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時,相應的旋轉角α的值是.解析當CD∥AB時,α=30°;當AC∥OB時,α=45°;當CD∥OA時,α=75°;當AD∥OB時,α=135°;當CD∥OB時,α=165°.（二）.由一副三角板的拼接3、一副三角板按如圖3所示的方式擺放，且∠1的度數比∠2的度數大500，若設∠1=x0,∠2=y0，則可得到方程組為（）。EQA、B、EQEQC、D、圖3解析：本題是以三角板的拼接為背景，巧妙的利用∠1和∠2互余和∠1比∠2的度數500兩個數量關系列出方程。故選擇D。（三）．由一副三角板的旋轉4取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°<α≤45°）等到△ABC′，如圖6（2）所示。試問（1）當α為多少度時，能使得圖6（2）中的AB∥DC?（2）當旋轉至圖6（3）位置時，此時α又為多少度？圖中你能找出哪幾對相似三角形，并求出其中一對的相似比；（3）連接BD，當0°<α≤45°時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明。5.一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定△AOB，將△ACD繞著公共頂點A，按順時針方向旋轉α度（0°<α<180°），當△ACD的一邊與△AOB的某一邊平行時，相應的旋轉角α的值是______________________________________。7、已知：將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖6擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點，將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α(0°＜α＜90°)，在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H.(1)當α=30°時(如圖7)，求證：AG=DH；(2)當α=60°時(如圖8)，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；(3)當0°＜α＜90°時，(1)中的結論是否成立？請寫出你的結論，并根據圖9說明理由.(1)證明如圖7，∵∠A=∠ADM=30°，∴MA=MD.又MG⊥AD于點G，∴AG=AD.∵∠BDC=180°-∠ADE-∠EDF=180°-30°-90°=60°=∠B，∴CB=CD.∴C與N重疊.又NH⊥DB于點H，∴DH=DB.∵AD=DB，∴AG=DH.(2)解當α=60°時，(1)中的結論成立.如圖8，∵∠ADM=60°，∴∠NDB=90°-60°=30°.∴∠MAD=∠NDB.又AD=DB，∠ADM=∠B=60°，∴△MAD≌△NDB.∴MA=ND.∵MG，NH分別是△MAD，△NDB的對應高，∴Rt△MAG≌Rt△NDH.∴AG=DH.(3)解當0°＜α＜90°時，(1)中的結論成立.如圖9，在Rt△AMG中，∠A=30°，∴∠AMG＝60°＝∠B.又∠AGM=∠NHB=90°，∴△AGM∽△NHB.∴.①∵∠MDG=α，∴∠DMG=90°-α=∠NDH.又∠MGD=∠DHN=90°，∴Rt△MGD∽Rt△DHN.∴.②①×②，得.由比例的性質，得，即.∵AD=DB，∴AG=DH二．由兩塊形狀大小都相同的三角板產生的問題（一）.兩塊形狀大小都相同三角板的平移8、如圖4，兩個相同的直角三角尺重疊后，沿斜邊推動其中一塊，使它平移到某一位置。四邊形ABOA/的面積與四邊形B/C/CO的面積有什么關系？已知BO=3，OB/=2，BC=a。用含a的整式表示四邊形ABOA/的面積。圖4解析：（1）因為兩個三角尺的面積相等，平移后重疊部分的面積相等，所以未重疊部分的面積也相等。（2）由圖知，四邊形B/C/CO是直角梯形，底邊B/C/=BC=a，底邊OC=BC-BO=a-3，高OB/=2，所以它的面積為。即四邊形ABOA/的面積也為2a-3。9、把兩塊含有300的相同的直角尺按如圖所示擺放，使點C、B、E在同一條直線上，連結CD，若AC=6cm，則ΔBCD的面積是。（二）.兩塊形狀大小都相同三角板的旋轉10、把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交與點Q。

（1）如圖17（1），當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，

易證△APD∽△CDQ。此時，AP·CQ=____。

（2）將三角板DEF由圖17（1）所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α，其中0°<α<90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由。

（3）在（2）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y,求y與x的函數關系式。解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，

∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．

∴即AP×CQ=AD×CD，

∵AB=BC=6，

∴AD=CD=3

2

，

∴AP×CQ=AD×CD=18；

故答案為：18．

（2）當時，如圖2

過點D作于M，

于N

則

∵，則

∴

∴

當時，如圖3

過點D作

于G，

∵

∴

∴

∵

即

∴

∴（）

（3）在圖（2）的情況下，

時

則

∴則

當，11、將兩塊全等的含30°的三角尺如圖15擺放在一起,它們的較短直角邊長為3.(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖16的位置,使E點落在AB上,則CC′為多少？(2)將△ECD繞點C逆時針旋轉到圖17的位置,使點E落在AB上,則△ECD繞點C旋轉的度數為多少？(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖18的位置,ED′與AB相交于點F,求證:AF=FD′.12、把兩塊全等的直角三角板和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，，，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉，設射線與射線相交于點，射線與線段相交于點．（1）如圖5，當射線經過點，即點與點重合時，易證．此時，________．（2）將三角板由圖5所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉至圖6，設旋轉角為．其中，問的值是否改變？說明你的理由．（3）在（2）的條件下，設，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式．分析：本題綜合考查函數、相似三角形、動點問題，第三問通過分析不同情況下兩個三角板的位置，確定函數解析式．解：（1）8；（2）的值不會改變．理由如下：在與中，，，，∴，∴，∴，∴．（3）情形1：當時，，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，∴，由（2）知：，得．于是．情形2：當時，時，即，此時兩三角板重疊部分為，由于，，易證：，∴即解得，∴，于是．綜上所述，當時，．當時，．（三）.兩塊形狀大小都相同三角板的疊放13、如圖4，兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖4所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.14、（1）把兩個含有45°角的直角三角板如

圖18（1）放置，點D在BC上，連結BE，AD，AD的延長線交BE于點F。

求證:AF⊥BE。

（2）把兩個含有30°角的直角三角板如圖18（2）放置，點D在BC上，連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F。問AF與BE是否垂直？并說明理由。證明：（1）證明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………三．由兩塊形狀相同但大小不等的三角板產生的問題15、如圖,腰長為1和2的兩個等腰直角三角形,其一腰在同一水平線上,小等腰直角三角形沿該水平線自左向右勻速穿過大等腰直角三角形,設穿過的時間為x,大等腰三角形內減去小等腰直角三角形部分的面積為y(各個圖中的陰影部分),則y與x的大致圖象為（）16、(1)把兩個含有45°角的直角三角板如圖19放置,點D在BC上,連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F.求證:AF⊥BE.(2)把兩個含有30°角的直角三角板如圖20放置,點D在BC上,連結BE,AD,AD的延長線交BE于點F.問AF與BE是否垂直?說明理由.證明：（1）證明：方法一：在△ACD和△BCE中，AFBCEAFBCED∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE（SAS）．………………2分∴∠DAC＝∠EBC．………3分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………………5分方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，ABDCEF∴．即tan∠DAC＝ABDCEF∴∠DAC＝∠EBC．（下略）…3分（2）AF⊥BE．…………………6分∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60°．……7分∴△DCA∽△ECB．…………8分∴∠DAC＝∠EBC．…………9分∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．…………17、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板圖1圖1圖2DCEAB（第22題）如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：．解：圖2中證明如下：與均為等腰直角三角形，，即證明：由（1）知又5方法二：∵AC＝BC，DC＝EC，∴．即tan∠DAC＝tan∠EBC．∴∠DAC＝∠EBC．（下略（2）AF⊥BE．…∵∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴＝tan60∴△DCA∽△ECB．∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ADC＝∠BDF，∴∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．∴∠BFD=90°．∴AF⊥BE．四．由一塊三角板產生的問題（一）.由一塊三角板產生旋轉18、如圖2，一塊含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上繞點C按順時針方向旋轉到A′B′C′的位置，若BC的長為15cm，那么頂點A從開始到結束所經過的路徑長為().A.10πcmB.10πcmC.15πcmD.20πcm19、如圖5，斜邊長為6cm，∠A=30°的直角三角板ABC，繞點C順時針方向旋轉90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使點B′落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板向左平移的距離為____cm.EBMACN20、含角的直角三角板（）繞直角頂點沿逆時針方向旋轉角（），再沿的對邊翻折得到，與交于點，與交于點，與相交于點．EBMACN（1）求證：．（2）當時，找出與的數量關系，并加以說明．21、如圖5，已知等腰直角三角板ABC中，AB=AC=1，ABC=900，把一塊含300角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉。在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DM=DN。在這一旋轉過程中，直角三角板DEF與等腰直角三角板ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積？繼續(xù)旋轉至如圖6所示的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；繼續(xù)旋轉至如圖7的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？請寫出結論，不用證明。圖5圖6圖7解析：（1）①證明：連結DB。在Rt△ABC中，因為AB=AC，AD=DC，所以DB=DC=AD，BDC=900所以∠ABD=∠C=450因為∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=900所以∠MDB=∠NDC所以△BMD≌△CND。所以DM=DN。四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化。由①知△BMD≌△CND。所以S△BMD=S△CND所以S四邊形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=。（2）DM=DN仍然成立。證明：連結DB在Rt△ABC中，因為AB=AC，AD=DC，所以DB=DC，∠BDC=900所以∠DCB=∠DBC=450所以∠DBM=∠DCM=1350因為∠NDC+∠CDN=∠BDM+∠BDN=900所以∠CDN=∠BDM所以△CDN≌△BDM所以DM=DNDM=DN。22、孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點，兩直角邊與該拋物線交于、兩點，請解答以下問題：

⑴若測得（如圖7），求的值；

⑵對同一條拋物線，孔明將三角板繞點旋轉到如圖8所示位置時，過作軸于點，測得，寫出此時點的坐標，并求點的橫坐標；

⑶對該拋物線，孔明將三角板繞點旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現，交點、的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標。

解析：⑴設線段與軸的交點為，由拋物線的對稱性可得為中點，又由三角板的特殊性可知，點的坐標為：(，)，將(，)代入拋物線得，。

⑵此問解法較多，現舉例如下：

如圖8，過點作軸于點，

解法一：證△∽△和拋物線的有關知識可求得點的橫坐標；

解法二：由解直角三角形和拋物線的有關知識可求得點的橫坐標；

解法三：利用勾股定理和拋物線的有關知識可求得點的橫坐標。

⑶解法一：設（，）（），（，）（），

設直線的解析式為：，得，解得，又易知△∽△，，，，.由此可知不論為何值，直線恒過點（，）

解法二：設（，）（），（，）（），直線與軸的交點為，根據，可得

，

化簡，得.又易知△∽△，∴，

∴，∴，∴為固定值。故直線恒過其與軸的交點（,）。

解法三：的值也可以通過以下方法求得：

由前可知，，，由，得：，化簡，得。（二）.由一塊三角板產生平移23.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G，一等腰直角三角尺按如圖13（1）所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經過點B。（1）在圖1