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線性代數(shù)0806參考答案及評分標準一、填空題（每小題3分，共30分）1．設為的矩陣，其中均為維列向量，已知行列式，則行列式2．設，則3．設三階矩陣，已知與線性相關，則4．二次型的矩陣是5．由向量組（1，1），（1，0），（0，1）生成的空間的維數(shù)是.26．已知向量組，則此向量組的秩7．設四階方陣滿足條件，則的伴隨的一個特征值為8．設，且的特征值為，如果有三個線性無關的特征向量，則9．設四元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，均為此方程組的解，且，則方程組的通解為10．排列的逆序數(shù)為二、簡答題（每小題4分，共8分）1．1．若，且，則有嗎？為什么？不正確（2分），可舉任何反例（2分）。2．設是階方陣，已知有非零解，對任意的自然數(shù)，方程是否也有非零解？為什么？答：必有非零解2分因有非零解，故，從而，所以也有非零解。2分三、計算題（一）（每小題8分，共24分）1．求行列式的值：解：（每步驟各2分）2．已知，且，求矩陣解：顯然可逆，由得（3分）因，（3分）故（2分）3．從向量組中選出一組最大無關組，并將其余向量表成最大無關組的線性組合。解：選為最大無關組（也可選其它），四、計算題（二）（每小題12分，共24分）1．已知線性方程組討論參數(shù)取何值時，方程組有解？無解？當有解時，求出其解。解：（3分）（1）當時，，方程組無解。（3分）（2）當時，，方程組有無窮解。其解為（3分）（3）當時，，方程組有無窮角解。此時其通解為（3分）2．設矩陣有三個線性無關的特征向量，求，并求可逆陣，使為對角矩陣。解：由矩陣的特征多項式得的特征值（4分）對于，方程組應有兩個線性無關的解，則。由得，故（2分）對應的兩個線性無關的特征向量為（2分）對應的特征向量為（2分）則令，有（2分）五、證明題（每小題7分，共14分）1.設向量組線性相關，向量組線性無關，證明：（1）能由線性表示；（2）不能由線性表示。證明：（1）因線性無關，故也線性無關，又線性相關，所以能由線性表示。（4分）（2）反證，若能由線性表示，利用（1），則能由線性表示，這與線性無關的已知矛盾。（3分）2．設均為階方陣，且，證明可逆，并求其逆。證明：（3分）

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