2023-2024學(xué)年廣東省惠州五中九年級（上）開門考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省惠州五中九年級（上）開門考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,7,5B.3,4,5C.2,3,4D.1,2,2

2.一組數(shù)據(jù)2、2、3、4、5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.4B.3.5C.3D.2

3.如圖，在RtzxZBC中，ZC=90°,AB=5cm,D為4B的中點,

則C。等于（）

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

4.代數(shù)式亠有意義時，x應(yīng)滿足的條件為（）

VX—1

A.xW1B.%<1C.%<1D.x>1

5.下列計算中，正確的是（）

A.3+<3=37-3B.V-3=3

C.\/~5x-\Z~~2=V10D.-y/-6+V-3-2

6.關(guān)于x的一元二次方程/+4%+漢=0有兩個不相等的實數(shù)根，則in的值可能是（）

A.9B.6C.4D.-1

7.A,8兩名射擊運動員進(jìn)行了相同次數(shù)的射擊，下列關(guān)于他們射擊成績的平均數(shù)和方差的

描述中，能說明4成績較好且更穩(wěn)定的是（）

A.xA>%且/>S&B.xA<心且*>S族

C.xA>如且S：<SgD.xA<小且S/<Sg

8.下列命題中正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

9.已知點（一2,丫1）（-142）（143）都在直線3/=-3x+b上，則為，丫2,為的值的大小關(guān)系是（）

A.y3<y2<B.y2<yi<為C.yx<y3<%D.yx<y2<為

10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線a的解析式為y=e+1,直線b的解析式為y=?X，

直線a交y軸于點4,以。力為邊作第一個等邊三角形AOAB,交直線b于點B,過點B作y軸的平

行線交直線a于點，以為邊作第二個等邊三角形厶A$Bi，交直線b于點當(dāng),…順次這樣做下去，

第2020個等邊三角形的邊長為（）

A.22019C.4038D.4040

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.將直線y=2x向下平移2個單位，所得直線的函數(shù)表達(dá)式是.

12.已知x=1是方程/+ax+2=。的一個根，貝b的值為.

13.一組數(shù)據(jù)84,84,88,89,89,95,95,95,98,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是.

14.計算（4/7-V-6）+S的結(jié)果等于.

15.如圖，a〃b,點A、B分別在直線a、b上，41=45。，點C_________q

在直線b上，且4B4?=105。，若a、b之間的距離為3,則線段

Ac的長度為.-c-----------------------6

三、計算題（本大題共1小題，共8.（）分）

16.解方程：x2+4x+3=0.

四、解答題（本大題共7小題，共67.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題8.0分）

如圖，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,求△4BC的面積.

A

18.(本小題8.0分)

己知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,7)與(1,6),求這個一次函數(shù)的解析式.

19.(本小題9.0分)

如圖，某校為了解選報“引體向上”的八年級男生的成績情況，隨機抽取了本校部分選報“引

體向上”的八年級男生進(jìn)行測試，并將測試得到的成績繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請

你根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

(1)求扇形統(tǒng)計圖中的a=,并補全條形統(tǒng)計圖；

(2)若該校選報“引體向上”的八年級男生共有200人，如果規(guī)定“引體向上”達(dá)6個以上(含6

個)得滿分，請你估計選報“引體向上”的八年級男生中，能獲得滿分的有多少名？

20.(本小題9.0分)

如圖，在平行四邊形48CD中，已知4B>4D.

(1)尺規(guī)作圖：延長BC,并在延長線上截取CF=4。，連接4尸交CD于點E；(保留作圖痕跡,

不寫作法)

(2)若CF=3,CE=2,求平行四邊形4BC0的周長.

DC

21.(本小題9.0分)

如圖，在RtA/BC中，NC=90°,BC=3,AC=4,M為斜邊AB上一動點，過M分別作MD丄AC

于點D.作ME丄CB于點、E.

(1)求證：四邊形DMEC是矩形；

(2)求線段CE的最小值.

22.(本小題12.0分)

如圖，直線y=-2芯+7與x軸、y軸分別相交于直C、B.與直線y=|x相交于點兒

(1)求4點坐標(biāo);

(2)如果在y軸上存在一點P,使AOAP是以04為底邊的等腰三角形，求P點坐標(biāo);

(3)在直線y=-2x+7上是否存在點Q,使厶04Q的面積等于6?若存在，請求出Q點的坐標(biāo),

若不存在，請說明理由.

23.(本小題12.0分)

如圖1,在正方形4BC。中，48=2，有，點E在邊BC上，連接4E,且NB4E=30。，點F是4E

的中點.

(1)求AE的長；

(2)過點尸作直線GH,分別交AB,CD于點G,H,BLGH=AE,求4G的長；

(3)如圖2,過點尸作4E的垂線,分別交4B,BD,CD于點M,0,N,連接0E,求N4E。的度

數(shù).

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4、???42+52。72,

???以4,7,5為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

B、?:32+42=52,

.??以3,4,5為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；

C、?：22+32",

.?.以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

。、v/+22722,

.?.以1,2,2為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可.

本題考查了勾股定理的逆定理等知識點，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：數(shù)據(jù)由小到大排序：2、2、3、4、5,

???中位數(shù)為3.

故選：C.

將數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列后由中位數(shù)的定義可得答案.

本題考查了中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小

）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)

據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

3.【答案】B

【解析】解：???直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

CD==2.5cm.

故選艮

本題涉及到的知識點是“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，所以有故可直

接求得結(jié)果.

此題主要是考查了直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.【答案】D

【解析】解：由題意得：%-1>0,

解得：%>1.

故選：D.

根據(jù)二次根式有意義時被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式有意義時分母不為零可求解x的取值范圍.

本題主要考查二次根式有意義的條件及分式有意義的條件，根據(jù)二次根式及分式有意義的條件求

解是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：43與不是同類項，原計算錯誤，不符合題意；

B、原計算錯誤，不符合題意；

C、V5x<7=>fio）正確，符合題意；

D、=原計算錯誤，不符合題意.

故選：C.

根據(jù)二次根式混合運算的法則對各選項進(jìn)行逐一分析即可.

本題考查的是二次根式的混合運算，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：?.?關(guān)于x的一元二次方程/+4%+漢=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=42—4m>0,

解得m<4.

故選：D.

根據(jù)一元二次方程根的情況的判別式可得4=b2-4ac>0,把各系數(shù)代入即可求出rn的取值范圍.

本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握通過判別式判斷一元二次方程根的情況是解題

的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)平均數(shù)越高成績越好，方差越小成績越穩(wěn)定.

故選：C.

根據(jù)平均數(shù)、方差的定義，平均數(shù)越高成績越好，方差越小成績越穩(wěn)定解答即可.

此題考查平均數(shù)、方差的定義，解答的關(guān)鍵是理解平均數(shù)、方差的定義，熟知方差是衡量一組數(shù)

據(jù)波動大小的量，方差越小表明該組數(shù)據(jù)分布比較集中，即波動越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

8.【答案】C

【解析】解：人對角線相等的平行四邊形是矩形，所以4選項錯誤；

8、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項錯誤；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以C選項正確；

。、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，所以。選項錯誤.

故選：C.

根據(jù)根據(jù)矩形、菱形、正方形和平行四邊形的判定方法對各選項進(jìn)行判斷.

本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命

題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

9.【答案】A

【解析】解：?.』=—3<0,

y隨x的增大而減小，

又1>—1>—2,

?,??3<y2<yi-

故選：A.

由k=—3<0,利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得出y隨x的增大而減小，結(jié)合1>一1>一2可得出結(jié)論.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“k>0,y隨工的增大而增大；k<0,y隨x的增大而減小”是

解題的關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】解：延長交X軸于D,延長々Bi交工軸于E,

???△OAB,厶BA[B],△Bi4%均為等邊三角形，

???OA=OB,ArB=BB],=%當(dāng)，

???直線b的解析式為：y=?x，

??.厶BOD=30°,

對于直線a,y=V_3x4-1,當(dāng)％=0時，y=l,

?,?點4的坐標(biāo)為（0,1）,

???OA=OB=1,

在RMOBD中，OB=1,Z,BOD=30°,

...BD見OB見，OC=?,

???點B的坐標(biāo)為（殍,；），

對于y=V"&+l,當(dāng)％=容時，y=|,

.??點兒的坐標(biāo)為（行,|）,

???ArD~|,

=BB]=AD-BD=2=2】,

?,.OB1=OB+BBi=3,

在RtAZBiE中，。/=3,￡.B\OE=30°,

???BrE=I，OE=浮，

，點名的坐標(biāo)為（學(xué),|）,

對于y=I5x+l,當(dāng)％=咚^時，y=?，

厶厶

:.A2E—y,

2

?1?>42BI=A2E=B]E=4=2,

3

同理得：A3B2=2,.......

以此類推，第n個等邊三角形的邊長為2'T,

.?.第2020個等邊三角形的邊長為22。19.

故選：A.

延長交x軸于D,4B1交x軸于E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得。4=OB,=BBX,A2BX=B2Blt

直線b的解析式為y=殍x，得乙BOD=30°,由直線a的解析式y(tǒng)=f+1得第一個等邊三角形

邊長為1,解Rt△OBD得。。=詈，BD=1/2,把x=等代入y=Gx+1求得&的縱坐標(biāo)，即

可求得第二個等邊三角形的邊長，從而找出規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得第2020個等邊三角形的邊

長.

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出第n個

等邊三角形的邊長為2底】是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】y=2%-2

【解析】解：由題意得：平移后的解析式為：y=2x-2=2x—2,

即.所得直線的表達(dá)式是y=2x-2.

故答案為：y=2x—2.

根據(jù)平移k值不變，只有b只發(fā)生改變解答即可.

本題考查圖形的平移變換和函數(shù)解析式之間的關(guān)系，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上

某點的平移相同.平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)左移加，右移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.平

移后解析式有這樣一個規(guī)律“左加右減，上加下減”.關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么聯(lián)

系.

12.【答案】-3

【解析】解：???x=1是方程/+ax+2=0的一個根，

1+Q+2=0,

:.a=-3.

故答案為：一3.

把x=1代入方程得到關(guān)于a的方程，解方程即可.

本題考查了一元二次方程的解的概念：使方程兩邊成立的未知數(shù)的值叫方程的解.

13.【答案】95

【解析】解：在數(shù)據(jù)84,84,88,89,89,95,95,95,98中，95出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最

多，

則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為95.

故答案為：95.

根據(jù)眾數(shù)的定義（一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)）得出即可.

本題考查了眾數(shù)的定義，能熟記眾數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵.求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻

數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù).

14.【答案】4-7-3

【解析】解：原式=4一一?.

故答案為4一，豆.

利用二次根式的除法法則進(jìn)行計算.

本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運

算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選

擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

15.【答案】6

【解析】解：作a”1BC于H,

???a//b,

■?■AH=3,AACH=Z2,

vzl=45°,Z.BAC=105°,

42=180°-Zl-Z.BAC=30°,

^ACB=30°,

???AC=2AH=6.

故答案為：6.

作AH丄BC于H,得到AH=3,由平角定義得到42=180。一41一NB4C=30。，由平行線的性質(zhì)

得到乙4cB=30°,因此AC=2AH=6.

本題考查平行線之間的距離，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作4”丄BC于，，得到

AH=3,由直角三角形的性質(zhì)即可求解.

16.【答案】解：%2+4%+3=0,

分解因式得：(x+1)(%+3)=0,

可得x+1=0或x+3=0,

解得：%!=-1,x2=-3.

【解析】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程時，首先將方程右邊化為0,

左邊化為積的形式，

然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解.

17.【答案】解：在△力BC中，AB=10,BC=6,AC=8,

v62+82=102,^BC2+AC2=AB2,

??.△4BC是直角三角形，且“CB=90°,

S*BC=-AC=gx6x8=24.

故△ABC的面積為24.

【解析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a,b,c滿足02+人2=。2,那么這個三

角形就是直角三角形.也考查了三角形的面積.

18.【答案】解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為丫=/^+從

???一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,7)與(1,6),

b=7

k+b=6'

二這個一次函數(shù)的解析式為y=-x+7.

【解析】將兩點坐標(biāo)代入y=kx+b中得到關(guān)于k與匕的方程組，求出方程組的解得到k與b的值,

即可確定出一次函數(shù)解析式.

此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

19.【答案】25%

【解析】解：(1)調(diào)查人數(shù)為：12+30%=40(人)，

樣本中測試成績?yōu)椤?個”的學(xué)生人數(shù)為：40-4-6-12-8=10(人)，

a=10+40x100%=25%,

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

故答案為：25%；

(2)200x(25%+20%)=90(名)，

答：八年級男生200人中測試成績達(dá)到滿分的大約有90名.

(1)從兩個統(tǒng)計圖可知，樣本中測試成績?yōu)椤?個”的學(xué)生有12人，占調(diào)查人數(shù)的30%,由頻率=

豐即可求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出測試成績?yōu)椤?個”的人數(shù)，求出測試成績?yōu)椤?個”的學(xué)生所

占的百分比，即可補全條形統(tǒng)計圖;

(2)求出樣本中，測試成績?yōu)椤皾M分”的學(xué)生所占的百分比，估計總體中“滿分”所占的百分比,

再根據(jù)頻率=篤進(jìn)行計算即可.

本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的前提，掌握

頻率=若是解決問題的關(guān)鍵.

總數(shù)

20.【答案】解:(1)如圖所示;

(2)???CF=4O,CF=3,

:.AD=3,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

?.AD//CF,BC=AD=3,AB=

CD,

:.乙D=乙ECF,

在AADE與中，

(LD=Z-ECF

1/-AED=乙FEC,

\AD=CF

??.△ADE=hFCE(AAS),

??.DE=CE=2,

:.AB=CD=4,

???平行四邊形4BCD的周長為3+3+4+4=14.

【解析】(1)根據(jù)題意作出圖形即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

本題考查了作圖-基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊

形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】(1)證明：vMD1AC,ME1CB,

???4MDC=AMEC=90°,

又「AACB=90°,

二四邊形DMEC是矩形；

(2)解：連接CM,如圖所示:

AMB

?.?四邊形CDME是矩形，

DE=CM,

■■■Z.ACB=90°,BC=3,AC=4,

AB=VBC2+AC2=732+42=5-

當(dāng)CM丄4B時，CM最短，

11

此時△ABC的面積=~AB?CM=泗?AC,

???CM的最小值=瞥=3

AB5

二線段DE的最小值為費.

【解析】(1)連接CM，即可證明四邊形。"EC是矩形；

(2)由矩形CDME得出DE=CM,再由三角形的面積關(guān)系求出CM的最小值，即可得出結(jié)果.

本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形面積的計算方法；熟練

掌握矩形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵.

(y=-2x+7

22.【答案】解：(1)聯(lián)立方程組得：=,

解得:

?1?4點坐標(biāo)是Q,3)；

(2)設(shè)P點坐標(biāo)是(0,y),

CMP是以。4為底邊的等腰三角形，

/.OP=PA,

???22+(3-y)2=y2,

解得y=也

P點坐標(biāo)是(0,卷)，

故答案為(0,菖)；

(3)存在：

???直線y=-2x+7與x軸、y軸分別相交于直C、B.

17211

S>AOC=5X5X3=彳<6，S>AOB=EX7X2=7>6,

Q點有兩個位置：Q在線段AB上和AC的延長線上,

設(shè)點Q的坐標(biāo)是（居y）,

當(dāng)Q點在線段4B上：作QD丄y軸于點。，如圖①，則Q0=%,

?*,S&OBQ~S^OAB~S&OAQ=7—6=1,

：?；0BQD=1,B|j1x7%=1,

2

：?X=亍

把%=5代入y=-2x+7,得y=y,

??.（?的坐標(biāo)是€手），

當(dāng)Q點在4c的延長線上時，作QD丄x軸于點D,如圖②則QC=-y,

213

S、OCQ=S>OAQ-SAOAC=6—■—=-?

?《OC.QD/即那x(-y)=]

??.y=-1，把y=-5代入y=-2%+7,解得x=y,

???Q的坐標(biāo)是偉，一》

綜上所述存在滿足條件的點Q,其坐標(biāo)為冷果或?qū)W-受

【解析】(1)聯(lián)立方程組，即可求得；

(2)設(shè)P點坐標(biāo)是(0,y),根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求得；

⑶分兩種情況:①當(dāng)Q點在線段4B上：作QD1y軸于點D,則QD=x,根據(jù)SMBQ=S^AB-S^OAQ

列出關(guān)于x的方程解方程求得即可；②當(dāng)Q點在4c的延長線上時，作QD1”軸于點D,則QD=-y,

根據(jù)SA"Q=SAO.Q-SA。4c列出關(guān)于V的方程解方程求得即可.

本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了兩直線交點的求法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)

用，三角形面積的求法等，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】解：(1)???/-BAE=30°,

:.AE=2BE,

設(shè)=貝lL4E=2x,

在Rt△4BE中，x2+(2>/—3)2=(2x)2,

解得％=2或一2(舍去)，

???AE=