浙江省富陽市2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題含解析

浙江省富陽市2024年八年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+2與反比例函數(shù)y2＝的圖象交點(diǎn)A（m，2）和B（﹣4，﹣1）兩點(diǎn)，若y1＞y2，則x的取值范圍是（）A．x＜﹣4或0＜x＜2 B．x＞2或﹣4＜x＜0C．﹣4＜x＜2 D．x＜﹣4或x＞22．如圖，線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（6，4），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，2）3．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是()A．1.5，2，3 B．6，8，10 C．5，12，13 D．15，20，254．如圖所示，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，則的周長是（）A． B． C． D．5．如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點(diǎn)D，則CD的長為（）A． B． C． D．2﹣6．2014年4月13日，某中學(xué)初三650名學(xué)生參加了中考體育測試，為了了解這些學(xué)生的體考成績，現(xiàn)從中抽取了50名學(xué)生的體考成績進(jìn)行了分析，以下說法正確的是（）A．這50名學(xué)生是總體的一個樣本B．每位學(xué)生的體考成績是個體C．50名學(xué)生是樣本容量D．650名學(xué)生是總體7．若a為有理數(shù)，且滿足|a|+a=0，則（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)≤08．下列調(diào)查方法合適的是（）A．為了了解冰箱的使用壽命，采用普查的方式B．為了了解全國中學(xué)生的視力狀況，采用普查的方式C．為了了解人們保護(hù)水資源的意識，采用抽樣調(diào)查的方式D．對“神舟十一號載人飛船”零部件的檢查，采用抽樣調(diào)查的方式9．某中學(xué)隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，了解他們一周在校的體育鍛煉時間，結(jié)果如下表所示：時間/小時5678人數(shù)10102010則這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時間是()A．6.2小時 B．6.5小時 C．6.6小時 D．7小時10．用反證法證明：“直角三角形至少有一個銳角不小于45°”時，應(yīng)先假設(shè)（）A．直角三角形的每個銳角都小于45°B．直角三角形有一個銳角大于45°C．直角三角形的每個銳角都大于45°D．直角三角形有一個銳角小于45°二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上．若，，則________．12．將正比例函數(shù)y=3x的圖象向下平移4個單位長度后，所得函數(shù)圖象的解析式為___________。13．在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．如果AC=，那么正方形ABCD的面積是__________．14．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，．若，，則四邊形的面積為________．15．已知y=xm-2+3是一次函數(shù)，則m=________

．16．一次函數(shù)不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是______17．計算的結(jié)果是_______________．18．關(guān)于x的方程a2x+x=1的解是__．三、解答題(共66分)19．（10分）化簡計算：（1）（2）20．（6分）某市現(xiàn)在有兩種用電收費(fèi)方法：分時電表普通電表峰時（8:00～21:00）谷時（21:00到次日8:00）電價0.55元/千瓦·時電價0.35元/千瓦·時電價0.52元/千瓦·時小明家所在的小區(qū)用的電表都換成了分時電表.解決問題：（1）小明家庭某月用電總量為千瓦·時（為常數(shù)）；谷時用電千瓦·時，峰時用電千瓦·時，分時計價時總價為元，普通計價時總價為元，求，與用電量的函數(shù)關(guān)系式.（2）小明家庭使用分時電表是不是一定比普通電表合算呢？（3）下表是路皓家最近兩個月用電的收據(jù)：谷時用電（千瓦·時）峰時用電（千瓦·時）181239根據(jù)上表，請問用分時電表是否合算？21．（6分）某校學(xué)生會向全校名學(xué)生發(fā)起了愛心捐款活動，為了解捐款情況，學(xué)生會隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的捐款金額，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下統(tǒng)計圖1和圖2，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為人，圖中的值是．（2）補(bǔ)全圖2的統(tǒng)計圖．（3）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；（4）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該校本次活動捐款金額為元的學(xué)生人數(shù)．22．（8分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE=OF.23．（8分）甲、乙兩校的學(xué)生人數(shù)基本相同，為了解這兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平，在同一次測試中，從兩校各隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的測試成績進(jìn)行調(diào)查分析，其中甲校已經(jīng)繪制好了條形統(tǒng)計圖，乙校只完成了一部分．甲校938276777689898983878889849287897954889290876876948476698392乙校846390897192879285617991849292737692845787898894838580947290（1）請根據(jù)乙校的數(shù)據(jù)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（2）兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示，請補(bǔ)全表格；平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲校83.48789乙校83.2（3）兩所學(xué)校的同學(xué)都想依據(jù)抽樣的數(shù)據(jù)說明自己學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平更好一些，請為他們各寫出一條可以使用的理由；甲校：．乙校：．（4）綜合來看，可以推斷出校學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平更好一些，理由為．24．（8分）如圖①，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P是AD邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)是點(diǎn)Q，連接PQ、DQ、CQ、BQ，設(shè)AP＝x．（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此時x的值是_______；（2）如圖②，若PQ的延長線交CD邊于點(diǎn)E，并且∠CQD＝90°．①求證：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；②求x的值．（3）若點(diǎn)P是射線AD上的一個動點(diǎn)，請直接寫出當(dāng)△CDQ為等腰三角形時x的值．25．（10分）如圖，平行四邊形ABCD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作圓弧，交對角線BD于點(diǎn)E，連結(jié)AE并延長交CD于點(diǎn)F，求證：DF＝DE．26．（10分）已知：如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，且DE∥BF．求證：DE=BF．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】

先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y1＝求出k1的值得到反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍．【詳解】解：把B（﹣4，﹣1）代入y1＝得k1＝﹣4×（﹣1）＝4，所以反比例函數(shù)解析式為y1＝，把A（m，1）代入y1＝得1m＝4，解得m＝1，所以A（1，1），當(dāng)﹣4＜x＜0或x＞1時，y1＞y1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．2、A【解析】試題分析：∵線段AB的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（6，4），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的一半，∴端點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（3，2）．故選A．考點(diǎn)：1．位似變換；2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．3、A【解析】

只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方即可判斷三角形是不是直角三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、(1.5)2+22≠32，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；B、62+82＝100＝102，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、52+122＝169＝132，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、152+202＝252，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，判斷三角形是否為直角三角形只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．4、D【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，推出CD＋BD＝5，即可求出答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，

∴AD＝DB，

∵AC＝5，

∴AD＋CD＝5，

∴CD＋BD＝5，

∵BC＝4，

∴△BCD的周長為：CD＋BD＋BC＝5＋4＝9，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等．5、D【解析】

由勾股定理求出DE，即可得出CD的長．【詳解】解：連接AD，如圖所示：∵AD＝AB＝2，∴DE＝＝，∴CD＝2﹣；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理；由勾股定理求出DE是解題關(guān)鍵．6、B【解析】

因?yàn)檫@50名學(xué)生的體考成績是總體的一個樣本，所以選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)槊课粚W(xué)生的體考成績是個體，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)?0是樣本容量，樣本容量是個數(shù)字，沒有單位，所以選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)檫@650名學(xué)生的體考成績是總體，所以選項(xiàng)D錯誤.故選B.7、D【解析】試題解析：即為負(fù)數(shù)或1．故選D．8、C【解析】

A.為了了解冰箱的使用壽命，采用普查的方式，故A錯誤；B.為了了解全國中學(xué)生的視力狀況，采用普查的方式，故B錯誤；C.為了了解人們保護(hù)水資源的意識，采用抽樣調(diào)查的方式，故C正確；D.對“神舟十一號載人飛船”零部件的檢查，采用抽樣調(diào)查的方式，故D錯誤；故選C.【點(diǎn)睛】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．9、C【解析】

根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，再進(jìn)行計算即可．【詳解】解：(5×10+=(50=330÷50=6.6(小時)故這50名學(xué)生這一周在校的平均體育鍛煉時間是6.6小時．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式．10、A【解析】分析：找出原命題的方面即可得出假設(shè)的條件．詳解：有一個銳角不小于45°的反面就是：每個銳角都小于45°，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查的是反證法，屬于基礎(chǔ)題型．找到原命題的反面是解決這個問題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【解析】

利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=1AB=4，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AB，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以BD=AB=1，然后計算BC-BD即可．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，

∴BC=1AB=4，

∵Rt△ABC繞點(diǎn)A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△ADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上，

∴AD=AB，

而∠B=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴BD=AB=1，

∴CD=BC-BD=4-1=1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．12、y=3x-4【解析】試題分析：根據(jù)一次函數(shù)的平移的性質(zhì)：左減右加，上加下減，向下平移4個單位長度，可知y=3x-4.考點(diǎn)：一次函數(shù)的圖像的平移13、1【解析】

根據(jù)正方形的對角線將正方形分為兩個全等的等腰直角三角形，AC是該三角形的斜邊，由此根據(jù)三角形面積的計算公式得到正方形的面積.【詳解】正方形ABCD的一條對角線將正方形分為兩個全等的等腰直角三角形，即AC是等腰直角三角形的斜邊，∵AC=∴正方形ABCD的面積兩個直角三角形的面積和，∴正方形ABCD的面積=,故答案為：1.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14、1【解析】

首先證明四邊形ABEF是菱形，然后求出AE即可解決問題．【詳解】解：連接AE，交BF于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，即AF∥BE，

∵EF∥AB，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AF∥BE，

∴∠AFB=∠FBE，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴平行四邊形ABEF是菱形，連接AE交BF于O，

∴AE⊥BF，OB=OF=3，OA=OE，

在Rt△AOB中，OA==4，

∴AE=2OA=8，

∴S菱形ABEF=?AE?BF=1．故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．15、3【解析】

一次函數(shù)自變量的最高次方為1，據(jù)此列式即可求出m.【詳解】由題意得：m-2=1,∴m=3,故答案為3.【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的特點(diǎn).16、【解析】

根據(jù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置關(guān)系確定k的取值范圍，從而求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象不經(jīng)過第三象限，∴一次函數(shù)y＝kx＋2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴k＜1．故答案為：k＜1．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與k、b的關(guān)系．解答本題注意理解：直線y＝kx＋b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系．k＞1時，直線必經(jīng)過一、三象限；k＜1時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞1時，直線與y軸正半軸相交；b＝1時，直線過原點(diǎn)；b＜1時，直線與y軸負(fù)半軸相交.17、【解析】

應(yīng)用二次根式的乘除法法則（）及同類二次根式的概念化簡即可.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，綜合運(yùn)用二次根式的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.18、．【解析】

方程合并后，將x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：方程合并得：（a2+1）x=1，解得：x=，故答案為：．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)分式的加法法則，先通分然后再相加計算即可；（2）根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序及運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的計算，掌握各運(yùn)算法則及通分、約分是解題的關(guān)鍵．20、（1）y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）當(dāng)x＞時，使用分時電表比普通電表合算；當(dāng)x=時，兩種電表費(fèi)用相同；當(dāng)x＜時，使用普通電表比普通電表合算；（3）用分時電表更合算.【解析】

（1）根據(jù)題意解答即可；

（2）根據(jù)題意列不等式解答即可；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論解答即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a；（2）小明家庭使用分時電表不一定比普通電表合算．

當(dāng)y1＜y2，即0.35x+0.55（a-x）＜0.52a，解得x＞，

即x＞時，使用分時電表比普通電表合算；

當(dāng)y1=y2，即0.35x+0.55（a-x）=0.52a，解得x=，

即x=時，兩種電表費(fèi)用相同；

當(dāng)y1＞y2，即0.35x+0.55（a-x）＞0.52a，解得x＜，

即x＜時，使用普通電表比普通電表合算；（3）用分時電表的費(fèi)用為：0.35×181+0.55×239=194.8（元）；

使用普通電表的費(fèi)用為：0.52×（181+239）=218.4（元）．

所以用分時電表更合算．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的運(yùn)用，解答時求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．21、（1）、；（2）詳見解析；（3）平均數(shù)：16；眾數(shù)：10；中位數(shù)：15；（4）608.【解析】

（1）由元的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用元人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得m的值；（2）總?cè)藬?shù)乘以元對應(yīng)百分比可得其人數(shù)，據(jù)此可補(bǔ)全圖形；（3）根據(jù)統(tǒng)計圖可以分別得到本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；（4）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以估計該校本次活動捐款金額為元的學(xué)生人數(shù)．【詳解】（1）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為人．∵．故答案為、；（2）元的人數(shù)為，補(bǔ)全圖形如下：（3）本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（元），本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是：元，本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：元；（4）估計該校本次活動捐款金額為元的學(xué)生人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、中位數(shù)、眾數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．22、見解析.【解析】

根據(jù)“ASA”證明ΔAOE?ΔCOF，即可證明OE=OF.【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD//BC.∴∠OAE=∠OCF.在ΔOAE和ΔOCF，∠OAE=∠OCFOA=OC∴ΔAOE?ΔCOF，∴OE=OF.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．23、（1）見解析;(2)見解析;(3)見解析;(4)見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)提供數(shù)據(jù)，整理出各組的頻數(shù)，再畫圖；（2）由數(shù)據(jù)可知，乙校中位數(shù)是86，眾數(shù)是1；（3）答案不唯一，理由需包含數(shù)據(jù)提供的信息；（4）答案不唯一，理由需支撐推斷結(jié)論．【詳解】解：（1）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，如下圖．（2）86；1．（3）答案不唯一，理由需包含數(shù)據(jù)提供的信息．如：甲校平均數(shù)最高；乙校眾數(shù)最高;（4）答案不唯一，理由需支撐推斷結(jié)論．如：甲校成績比較好，因?yàn)槠骄鶖?shù)最高，且有一半的人分?jǐn)?shù)大于87.【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：數(shù)據(jù)的代表.解題關(guān)鍵點(diǎn)：從統(tǒng)計圖表獲取信息.24、（1），;(3)①理由詳見解析；②;(3)3﹣或或3+．【解析】試題分析：(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短可知,點(diǎn)Q在線段BD上時BQ＋DQ的值最小,是BD的長度,利用勾股定理即可求出;再根據(jù)△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;(3)①由對稱可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根據(jù)∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,從而EQ=EC.再根據(jù)∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°,∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ,所以∠QDE=∠DQE，從而EQ=ED.易得點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；②在Rt△PDE中，PE=PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根據(jù)勾股定理即可求出x的值.(3)△CDQ為等腰三角形分兩種情況:①CD為腰,以點(diǎn)C為圓心,以CD的長為半徑畫弧,兩弧交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn);②CD為底邊時,作CD的垂直平分線,與的交點(diǎn)即為△CDQ為等腰三角形的Q點(diǎn),則共有3個Q點(diǎn),那么也共有3個P點(diǎn),作輔助線,利用直角三角形的性質(zhì)求之即得.試題解析：（1），．（3）①證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠BCD=90°．∵Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對稱點(diǎn)，∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，∴∠BQC=∠BCQ，∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，∴EQ=EC．在Rt△QDC中，∵∠QDE=90°﹣∠QCE，∠DQE=90°﹣∠EQC，∴∠QDE=∠DQE，∴EQ=ED，∴CE=EQ=ED，即E為CD的中點(diǎn)．②∵AP=x，AD=1，∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．在Rt△DQC中，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE=QE=CE=，∴PE=PQ+QE=x+，∴，解得x=．（3）△CDQ為等腰三角形時x的值為3-，，3+．如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于Q1，Q3．此時△CDQ1，△CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形．作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q3，此時△CDQ3以CD為底的等腰三形．以下對此Q1，Q3，Q3．分別討論各自的P點(diǎn)，并求AP的值．討論Q?:如圖作輔助線，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1