空間位置關系與空間幾何體的基本計算課件高三數(shù)學二輪復習

專題四立體幾何玩轉小題第13講空間位置關系與空間幾何體的基本計算

考點梳理考情回顧高考預測空間幾何體的面

積與體積2023新高考Ⅰ卷第14題2022新高考Ⅰ卷第4題2022新高考Ⅱ卷第11題1.熱點：計算空間幾何體

的體積、空間角，以選擇

題、填空題呈現(xiàn).2.重點：判斷空間點、

線、面的位置關系，以多

選題呈現(xiàn).空間角與距離2023新高考Ⅱ卷第9題2022新高考Ⅰ卷第9題空間點、線、面

的位置關系2021新高考Ⅰ卷第12題2021新高考Ⅱ卷第10題

1.（2022·上海卷）如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

，

Q

，

R

，

S

分別為棱

AB

，

BC

，

BB

1，

CD

的中點，連接

A

1

S

，

B

1

D

.

規(guī)定空

間中任意兩點

M

，

N

，若線段

MN

上不存在點在線段

A

1

S

，

B

1

D

上，則

稱

M

，

N

兩點可視.下列各點中，與點

D

1可視的為（

D

）A.點PB.點BC.點RD.點QD

CA.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m33.（多選）（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，則下

列說法中，正確的是（

ABD

）A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°ABD4.（2019·全國Ⅰ卷改編）如圖，直四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的底面是

菱形，

AA

1＝4，

AB

＝2，∠

BAD

＝60°，

E

是

BC

的中點，則點

C

到平

面

C

1

DE

的距離為

?

1.判斷空間點、線、面位置關系的常用方法（1）

根據空間線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理

和性質定理逐項判斷，解決問題.（2）

必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀

察點、線、面的位置關系，并結合有關定理進行判斷.

（3）

平面與平面的夾角的求法①

幾何法：找到二面角的棱的一個垂面，即可確定平面角，常利用三

垂線定理作二面角的平面角.

4.（1）

旋轉體的側面積和表面積①

S

圓柱側＝2π

rl

，

S

圓柱表＝2π

r

（

r

＋

l

）（

r

為底面半徑，

l

為母線長）.②

S

圓錐側＝π

rl

，

S

圓錐表＝π

r

（

r

＋

l

）（

r

為底面半徑，

l

為母線長）.③

S

球表＝4π

R

2（

R

為球的半徑）.（2）

空間幾何體的體積公式①

V

柱＝

Sh

（

S

為底面面積，

h

為高）.

熱點1

空間點、線、面的位置關系判斷[典例設計]例1（1）

（多選）已知

m

，

n

是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的

平面，則下列說法中，正確的是（

BD

）A.若α∥β，m?α，n?β，則m∥nB.若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α∥βC.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βBD解：對于A，兩個平行平面內的兩條直線，可能平行，也可能異面.故A

錯誤.對于B，若

m

⊥α，

n

⊥β，則直線

m

，

n

對應的方向向量

a

，

b

可分

別看作α，β的法向量.因為

m

∥

n

，所以

a

∥

b

.因為α，β是兩個不同的平

面，所以α∥β.故B正確.對于C，無法判斷

m

，

n

的位置關系.故C錯誤.對

于D，因為

m

⊥α，

m

∥

n

，所以

n

⊥α.因為

n

∥β，所以在平面β內存在

直線

c

，使得

n

∥

c

.所以

c

⊥α.又因為

c

?β，所以α⊥β.故D正確.綜上所

述，符合題意的是BD.（2）

（多選）如圖所示為一個正八面體，它的每個面均為正三角形.若

G

，

H

，

M

，

N

分別是該正八面體的棱

DE

，

BC

，

AD

，

BF

的中點，則

下列結論中，正確的是（

AC

）ACA.四邊形AECF是平行四邊形B.GH與MN是異面直線C.GH∥平面EABD.GH⊥BC

因為

GM

∥

AE

，

GM

?平面

EAB

，

AE

?平面

EAB

，所以

GM

∥平面

EAB

.

易證

MH

∥

AB

，又因為

MH

?平面

EAB

，

AB

?平面

EAB

，所以

MH

∥平面

EAB

.因為

GM

?平面

MNHG

，

MH

?平面

MNHG

，

GM

∩

MH

＝

M

，所以平面

MNHG

∥平面

EAB

.

又因為

GH

?平面

MNGH

，所以

GH

∥平面

EAB

.

故C正確.易知

EH

⊥

BC

，

MH

⊥

BC

，又因為

EH

∩

MH

＝

H

，

EH

?平面

EMH

，

MH

?平面

EMH

，所以

BC

⊥平面

EMH

.

因為

GH

?平面

EMH

，

GH

∩平面

EMH

＝

H

，

BC

∩平面

EMH

＝

H

，所以

GH

與

BC

不垂直.故D錯誤.綜上所述，符合題意的是AC.[對點訓練]1.（1）

（多選）在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，直線

A

1

C

與平面

AB

1

D

1的交點為

M

，

O

為線段

B

1

D

1的中點，則下列說法中，正確的是

（

ABD

）A.A，M，O三點共線B.M，O，A1，A四點共面C.B，B1，O，M四點共面D.A，O，C，M四點共面ABD123456789101112131415161718192021222324解：根據題意，作出圖形如圖所示.連接

AC

，

A

1

C

1，

OA

.

易知

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

.

因為

AA

1∥

CC

1，所以

A

，

A

1，

C

1，

C

四點共面.因為

M

∈

A

1

C

，所以

M

∈平面

ACC

1

A

1.因為

M

∈平面

AB

1

D

1，所以點

M

在平面

ACC

1

A

1與平面

AB

1

D

1的交線上.因為平面

ACC

1

A

1∩平面

AB

1

D

1＝

OA

，所以

A

，

M

，

O

三點共線，從而

M

，

O

，

A

1，

A

四點共面，

A

，

O

，

C

，

M

四點共面.故ABD正確.由長方體的性質，易得

OM

，

BB

1是異面直線，所以

B

，

B

1，

O

，

M

四點不共面.故C錯誤.綜上所述，符合題意的是ABD.（2）

設點

E

為正方形

ABCD

的中心，

M

為平面

ABCD

外一點，△

MAB

為等腰直角三角形，且∠

MAB

＝90°.若

F

是線段

MB

的中點，則下列說

法中，正確的是（

B

）A.ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線B.ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線C.ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線D.ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線B

熱點2

空間角與距離的簡單計算[典例設計]例2（1）

在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，若

P

為

B

1

D

1的中點，則

直線

PB

與

AD

1所成的角為（

D

）A.B.C.D.D

（2）

（2022·全國甲卷）在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，已知

B

1

D

與

平面

ABCD

和平面

AA

1

B

1

B

所成的角均為30°，則下列說法中，正確的是

（

D

）A.AB＝2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC＝CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°D

（3）

如圖，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2

AD

，

E

為側

棱

DD

1上一點.若直線

BD

1∥平面

AEC

，則二面角

E

－

AC

－

B

的正切值

為（

B

）BA.B.－C.D.－

總結提煉

空間角的計算通常運用向量法或幾何法.解題時應根據實際情況靈

活選用方法，提高解題效率.[對點訓練]2.（多選）（2022·廣州模擬）在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

2，

AA

1＝3，

AD

＝4，則下列命題中，為真命題的是（

ACD

）A.若直線AC1與直線CD所成的角為φ，則tanφ＝B.若經過點A的直線l與長方體所有棱所成的角相等，且l與平面BCC1B1

交于點M，則AM＝C.若經過點A的直線m與長方體所有面所成的角都為θ，則sinθ＝D.若經過點A的平面β與長方體所有面所成的銳二面角都為μ，則sinμ

＝ACD[典例設計]例3（1）

（2022·廣州模擬）如圖，在四棱錐

P

－

ABCD

中，

PB

⊥平

面

ABCD

，

AB

⊥

BC

，

PB

＝

AB

＝2

BC

＝2，則點

C

到直線

PA

的距離為

（

A

）AA.B.C.D.2

總結提煉

求點到平面的距離有兩種方法，一是向量法，二是等體積法.向量

法的本質是坐標運算，等體積法的本質是對體積實施兩次運算建立所

求距離的方程求解.[對點訓練]

熱點3

空間幾何體的表面