集合的概念與表示（六大題型）-2023年暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版2019）（原卷版）

專題01集合的概念與表示

【題型歸納目錄】

題型一：集合的含義

題型二：元素與集合關(guān)系的判斷

題型三：集合的確定性、互異性、無序性

題型四：集合的表示：描述法

題型五：集合的表示：列舉法

題型六：集合的綜合問題

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：集合的概念

(1)元素與集合：我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合.集合通常用大寫字母

A,B,C,表Z5.集合的兀素通常用小寫字母c,.表示.

知識(shí)點(diǎn)二：集合與元素的關(guān)系

如果a是集合A的元素，記作aeA,讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，記作aeA,讀作力

不屬于A”.

知識(shí)點(diǎn)三：集合中元素的特點(diǎn)

(1)確定性：集合的元素必須是確定的.

(2)互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不相同的.

(3)無序性：集合中的元素可以任意排列.

知識(shí)點(diǎn)四：常用數(shù)集及其記法

所有非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N;

所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集，記作N+或N*；

所有整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作Z；

所有有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q;

所有實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集，記作R.

知識(shí)點(diǎn)五：集合的表示

(1)列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔)，放在大括號(hào)內(nèi)，依此表示集合

的方法稱為列舉法，如{1,2,3},{x+y,x-y}等.

使用說明

①用列舉法表示集合時(shí)，一般不考慮元素的順序.

②如果一個(gè)集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照

規(guī)律列出幾個(gè)元素作為代表，其他元素用省略號(hào)表示.

③無限集有時(shí)也可用列舉法表示.

（2）描述法：一般地，如果屬于集合4的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p（x）,而不屬于集合A的元素都不

具有這個(gè)性質(zhì)，則性質(zhì)p（x）為集合4的一個(gè)特征性質(zhì)，此時(shí)集合A可以表示為｛x|p（x）｝,這種表示集合

的方法稱為特征性質(zhì)描述法，簡稱描述法.

使用說明

①有些情況下，描述法中豎線T及其左邊元素的形式均可省略，如｛X僅是三角形｝，也可表示為｛三角

形｝.

②集合｛x|p（x）｝中所有在另一集合/中的元素組成的集合，可以表示為｛xe/]p（x）｝.

知識(shí)點(diǎn)六：集合的分類

一般地，含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.我們把不含任何元素

的集合稱為空集，記作。.例如，集合｛xlx2+x+]=o,xeR｝就是空集.

【典例例題】

題型一：集合的含義

例1.（2023?河南濮陽?高一校考階段練習(xí)）下列敘述能夠組成集合的是（）

A.我校所有體質(zhì)好的同學(xué)B.我校所有800米達(dá)標(biāo)的女生

C.全國所有優(yōu)秀的運(yùn)動(dòng)員D.全國所有環(huán)境優(yōu)美的城市

例2.（2023?吉林松原?高一?？茧A段練習(xí)）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A.跑步速度快的人B.乾安七中2021級(jí)高一年級(jí)全體學(xué)生

C.小于5的實(shí)數(shù)D.直線y=2x+l上所有的點(diǎn)

例3.（2023?安徽六安?高一?？计谥校┫铝兴慕M對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）

A.高一年級(jí)跑步很快的同學(xué)B.曉天中學(xué)足球隊(duì)的同學(xué)

C.曉天鎮(zhèn)的大河D.著名的數(shù)學(xué)家

變式1.（2023.高一單元測試）下列語言敘述中，能表示集合的是（）

A.數(shù)軸上離原點(diǎn)距離很近的所有點(diǎn)

B.德育中學(xué)的全體高一學(xué)生

C.某高一年級(jí)全體視力差的學(xué)生

D.與AfiC大小相仿的所有三角形

題型二：元素與集合關(guān)系的判斷

例4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)集合A=｛yly=V+l｝,則下列元素屬于A的是（）

A.(0,1)B.-1C.&D.0

例5.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┮阎蟂={yly=x2-l},T={（x,y）|x+y=0},下列關(guān)系正確

的是（）

A.-2eSB.（2,—2）e7C.-Ig5D.（-1,1）eT

例6.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},8={xeA|—x任A},貝（）

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{0,3}D.{3}

變式2.（2023.河南洛陽?高一?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的有（）

①leN；②0eN*;③|eQ;④2+夜wR;⑤兀eQ

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

題型三：集合的確定性、互異性、無序性

例7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若集合M={0,l,2},N={（x,y）|x,ywM},則N中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.6C.9D.10

例8.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）以方程/+》_2=0和2/+丫-3=0的解為元素的集合含有的元素個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

例9.（2023,黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合4={12,/+4”,”-2},

-3eA,則a=（）

A.-1B.-3或-1C.3D.-3

變式3.（2023?江蘇南京?高一?？计谥校┮阎螦={a+1,/+4a-9,2021}，若A,則實(shí)數(shù)。的值為（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

變式4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知“eR,beR,若集合{〃,：/}={/,a+4。},則產(chǎn)、產(chǎn)。的（）

A.-2B.1C.-1D.2

變式5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）設(shè)集合{a也而}={1,2,4},則°+b=（）

A.2B.3C.5D.6

題型四：集合的表示：描述法

例10.(2023?上海浦東新?高一?？茧A段練習(xí))用描述法表示直角坐標(biāo)系中第二象限的所有點(diǎn)組成的集合

例11.(2023?上海長寧?高一上海市延安中學(xué)?？计谥?所有正奇數(shù)組成的集合用描述當(dāng)表示為

例12.(2023?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí))用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；

(2)不等式2x—3>5的解集；

(3)方程f+x+i=()的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(4)拋物線y=+3x-6上所有點(diǎn)組成的集合；

⑸集合{1,3,5,7,9}.

變式6.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用描述法表示下列集合:

(1)偶數(shù)組成的集合;

(2)正奇數(shù)組成的集合；

(3)不等式一/K)的解集;

(4)平面直角坐標(biāo)系中第四象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合;

(5)集合

變式7.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用描述法表示下列集合:

(1)不等式3x+2>5的解集；

(2)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成的集合；

(3)二次函數(shù)y=--2x+3圖象上的點(diǎn)組成的集合.

題型五：集合的表示：列舉法

例13.(2023?全國?高三專題練習(xí))用列舉法寫出集合A={y|y=d—2,xeZ,|x區(qū)3}=.

例14.(2023?江西贛州?高一上猶中學(xué)?？贾軠y)用列舉法表示集合M={4-xeN|xeN}=

例15.(2023?四川.高一?？茧A段練習(xí))設(shè)集合A={XGZ|WGN],則用列舉法表示集合A為.

xyzxyz

變式8.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知x,?z為非零實(shí)數(shù),代數(shù)式而+目+扇的值所組成的集合是〃,

則"=.

變式9.(2023?上海浦東新?高一上海南匯中學(xué)校考期中)用列舉法表示集合加=x|xeZ,GN

2-x

變式10.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用列舉法表示下列集合

(1)11以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)的集合；

(2)方程(x+1乂V-4)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(3)一次函數(shù)y=2x與y=x+l的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

變式11.(2023.高一課時(shí)練習(xí))用列舉法表示下列集合:

(1)中國國旗的顏色組成的集合;

(2)單詞mathematics中的字母組成的集合;

(3)自然數(shù)中不大于10的質(zhì)數(shù)組成的集合;

2x4-4>0,

(4)同時(shí)滿足?；的整數(shù)組成的集合;

\+x>2x-\

⑸由號(hào)+與3,所確定的實(shí)數(shù)組成的集合.

題型六：集合的綜合問題

例16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合A的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若則手eA.

\-a

(1)若〃=-3,求出A中其它所有元素；

(2)0是不是集合A中的元素？請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)數(shù)awA,再求出A中的所有元素？

⑶根據(jù)(1)(2),你能得出什么結(jié)論.

例17.(2023?上海浦東新?高一華師大二附中?？茧A段練習(xí))己知M是滿足下列條件的集合:①OeMJeM；

②若x、yeM,則x-yeM；③若xeM且x*0,則1eM.

X

(1)判斷是否正確，說明理由；

2

(2)證明：“若xeZ,則XGM”是真命題;

(3)證明：若x,yeM,則孫eM.

例18.(2023?河南南陽?高一校考階段練習(xí))已知集合4=卜€(wěn)可依2-3》+1=0,。€1^},求集合A滿足下列

條件時(shí)實(shí)數(shù)”的所有可能取值組成的集合

(1)集合A中有且僅有一個(gè)元素；

(2)集合A中有兩個(gè)元素；

變式12.(2023?高一課時(shí)練習(xí))(1)如果集合A={x|x=加+近〃}(私〃wZ),xpx2eA,證明：x}x2eA.

(2)如果集合8=卜卜=〃?+逝"，整數(shù)，相〃互素，那么是否存在x,使得x和;都屬于B?若存在，請(qǐng)寫

出一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程V—用+蘇一3=0的解集只有一個(gè)元素，則，〃的值為（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

2.（2023?福建寧德?高一統(tǒng)考期末）下列集合與區(qū)間（1,2）表示的集合相等的是（）

A.{（1,2）}B.{X|X2-3X+2<0）

C.-3x+2=o|D.{（x,y）|x=l,y=2}

3.（2023?河南濮陽?高一?？茧A段練習(xí)）已知刀力2/一》},則實(shí)數(shù)x為（）

A.0B.1C.0或1D.0或1或2

4.（2023?河南鄭州?高一校考階段練習(xí)）已知集合A={x|x=2〃,〃wN},8={X|X=2〃+1,〃GN},

C={x|x=4〃+l,〃eN},若aeA,b&B,貝（!（）

A.a+beAB.a+b&BC.a+beCD.以上都不對(duì)

5.（2023?陜西安康?高一校考階段練習(xí)）設(shè)P,。是兩個(gè)非空集合，定義尸xQ={（a,b）|awP,AeQ},若

P={3,4,5},。={4,5,6,7},則PxQ中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.12D.16

6.（2023?陜西榆林?高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）下列所給關(guān)系中，正確關(guān)系的個(gè)數(shù)是（）

①7teZ；②/eQ；③2eN；④|-4屁R.

A.1B.2C.3D.4

7.（2023?上海徐匯?高一統(tǒng)考期末）若集合A同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：（1）OeA,leA；（2）若

則x-yeA；（3）若xdA且xwO,則geA.則稱A為“好集”.已知命題：①集合{1,0,—1}是好集；②對(duì)

任意一個(gè)“好集”，若則x+yeA.以下判斷正確的是（）

A.①和②均為真命題B.①和②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

8.（2023?廣西欽州?高一統(tǒng)考期末）當(dāng)一個(gè)非空數(shù)第G滿足：如果bwG,則a+b,a-b,aheG,且b/0

時(shí)，fwG時(shí)，我們稱G就是一個(gè)數(shù)域?以下關(guān)于數(shù)域的說法：①0是任何數(shù)域的元素;②若數(shù)域G有非零

b

元素，則2019eG；③集合P={x|x=2A,keZ}是一個(gè)數(shù)域.④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域?其中正確的選項(xiàng)是（）

A.①②④B.②③④C.①④D.①②

二、多選題

9.（2023?湖南長沙?高一長沙市明德中學(xué)校考期末）已知集合4={0,根,蘇-3加+2},且2e4,則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值不可以為（）

A.2B.3C.0D.-2

10.（2023?浙江金華?高一?？茧A段練習(xí)）下列說法中，正確的是（）

A.夜的近似值的全體構(gòu)成集合B,自然數(shù)集N中最小的元素是0

C.在數(shù)集Z中，若aeZ,則-aeZD.一個(gè)集合中可以有兩個(gè)相同的元素

11.（2023.甘肅慶陽?高一?？计谥校┮阎?={xeN|-g4x4退},則有（）

A.一leAB.OwA

C.5/3eAD.2eA

12.（2023?江蘇常州?高一江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被6除所得余數(shù)為女的所有整

數(shù)組成一個(gè)“類集”，其中％€{0』,2,3,4,5},記為網(wǎng)，即因={x個(gè)=6"+/”eZ},以下判斷不正確的是（）

A.2022e[2]

B.-13G[1]

C.若則整數(shù)。力一定不屬于同一類集

D.若。一/，€[0],則整數(shù)。力一定屬于同一類集

三、填空題

13.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）集合M={（x,y）l->0/+?<0,犬￡凡、€2表示的是.

14.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)集-a}中的元素。不能取的值是.

15.（2023?福建泉州?高一福建省南安市僑光中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）集合A={a-2,2/+5a,12},且-3wA,

貝I".

16.（2023?遼寧沈陽?高一沈陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）集合{玳a-2）f+3x7=0,xeR}為單元素集合,

貝ija=.

四、解答題

17.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程的2-（，/