2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題21.1 期中期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之二次根式十六大必考點(diǎn)（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列專(zhuān)題21.1二次根式十六大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1二次根式的概念】 1【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】 2【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 2【考點(diǎn)4同類(lèi)二次根式的概念】 2【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】 3【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】 3【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】 4【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】 4【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】 4【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 6【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】 7【考點(diǎn)12二次根式的化簡(jiǎn)求值】 8【考點(diǎn)13二次根式的應(yīng)用】 8【考點(diǎn)14二次根式中的新定義問(wèn)題】 9【考點(diǎn)15利用分母有理化求值】 10【考點(diǎn)16二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 12【考點(diǎn)1二次根式的概念】【例1】（2022·北京·人大附中八年級(jí)期末）下列式子中，是二次根式的是()A．2 B．32 C．x D．【變式1-1】（2022·河北滄州·八年級(jí)期中）下列式子一定是二次根式的是()A．a(chǎn)2 B．－a C．3a 【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若a=5，則下列各式是二次根式的是(

)A．3?a B．5?a C．a(chǎn)?5【變式1-3】（2022·內(nèi)蒙古·北京師范大學(xué)烏海附屬學(xué)校八年級(jí)期中）a是任意實(shí)數(shù)，下列各式中：①a+2；②(?2a)4；③a2+3；④aA．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】【例2】（2022·山東·日照山海天旅游度假區(qū)青島路中學(xué)七年級(jí)期中）若a，b為實(shí)數(shù)，且b=a2?1+1?a2A．±1 B．4 C．3或5 D．5【變式2-1】（2022·廣東惠州·八年級(jí)期末）若式子x+6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6【變式2-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第三中學(xué)八年級(jí)期末）下列二次根式一定有意義的是（

）A．2 B．?2 C．a(chǎn) D．?a【變式2-3】（2022·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）若1999?x+x?2006=x【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【例3】（2022·安徽·安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若a＜0，b＞0，則化簡(jiǎn)214A．a(chǎn)﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a【變式3-1】（2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列二次根式（字母表示正數(shù)）(1)24(2)16【變式3-2】（2022·云南·會(huì)澤縣以禮中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a2+b【變式3-3】（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)八年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：x?32【考點(diǎn)4同類(lèi)二次根式的概念】【例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）下列二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是

（

）A．a(chǎn)2b與a B．xyC．50與5 D．a(chǎn)+b與【變式4-2】（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)八年級(jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11能合并，則x【變式4-3】（2022·安徽·安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式4a?5與13?2a是同類(lèi)二次根式．(1)求出a的值；(2)若a≤x≤2a，化簡(jiǎn)：x2【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】【例5】（2022春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇舰?；②0.3；③30；④x2+y2；⑤A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式5-1】下列各根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．56 B．xy C．m2+【變式5-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a?12a+5與3b+a是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，求ab【變式5-3】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡(jiǎn)二次根式）的數(shù)叫做x型無(wú)理數(shù)，如3x+1是x型無(wú)理數(shù)，則(2A．2型無(wú)理數(shù) B．5型無(wú)理數(shù) C．10型無(wú)理數(shù) D．20型無(wú)理數(shù)【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】【例6】（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谀┤鬭=2019×2021?2019×2020，b=20222?4×2021，c=A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a【變式6-1】（2022·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)M=20172?2016×2018，N=20172?4034×2018+2018A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N【變式6-2】（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【變式6-3】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a=1003+997，b=1001+【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】【例7】（2022春·北京·八年級(jí)北京八中?？计谥校┮阎猲是正整數(shù)，18?2n是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有n的值為_(kāi)_________．【變式7-1】（2022秋·四川資陽(yáng)·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如果17+4a是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【變式7-2】（2022春·四川涼山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知12?n是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【變式7-3】（2022秋·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿(mǎn)足5?3a=2b+23【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】【例8】（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┕烙?jì)2+3×2A．8到9之間 B．9到10之間 C．10到11之間 D．11到12之間【變式8-1】（2022秋·重慶大渡口·九年級(jí)?？计谀┕烙?jì)42+3÷A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間【變式8-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若以3米為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，線(xiàn)段AB=17米，點(diǎn)A在原點(diǎn)，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸，估計(jì)點(diǎn)B位于兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)分別是______．【變式8-3】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀(guān)察下列各式子，并回答下面問(wèn)題．第一個(gè)：1第二個(gè)：2第三個(gè)：3第四個(gè)：42（1）試寫(xiě)出第n個(gè)式子（用含n的表達(dá)式表示），這個(gè)式子一定是二次根式嗎？為什么？（2）你估計(jì)第16個(gè)式子的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間？試說(shuō)明理由．【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：a1=11+2=2?1；第2個(gè)等式：A．311?1 B．10?311 【變式9-1】（2022春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀(guān)察下列各式：1+1+1+請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：(1)1+1(2)請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_____；(3)利用上述規(guī)律計(jì)算：5049【變式9-2】（2022秋·遼寧撫順·八年級(jí)?？计谀╅喿x材料：像6+56?5(1)7的有理化因式是___________；7+2(2)觀(guān)察下面的變形規(guī)律，請(qǐng)你猜想：12+1=2?1，1(3)利用上面的方法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：12【變式9-3】（2022秋·北京順義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一些數(shù)按某種規(guī)律排列如下：第一行12第二行3256第三行72310112第四行1314154173192……(1)根據(jù)排列的規(guī)律，寫(xiě)出第5行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)；(2)寫(xiě)出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第n+1個(gè)數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】【例10】（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：12+235(2)化簡(jiǎn)：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【變式10-1】（2022春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┰诙胃降挠?jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a＝23和b＝32的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：(1)比較c＝42，d＝27大小，cd（填寫(xiě)＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝25+6，n(3)化簡(jiǎn)：4p?8p?1+4p+8【變式10-2】（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┫乳喿x下面的解題過(guò)程，然后再解答，形如m±2n的化簡(jiǎn)，我們只要找到兩個(gè)數(shù)a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+例如化簡(jiǎn)：7+4解：首先把7+43化為7+2這里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12，所以(4所以7+4（1）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：4（2）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：13?2（3）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：4?【變式10-3】（2022春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法：2+32?設(shè)x=3+5易知3+5故x>0，由x=3+=2解得x=2，即3+5根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)3【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】【例11】（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)12?6(2)3+2【變式11-2】（2022·重慶市萬(wàn)盛經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)溱州中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(1(2)(3【變式11-3】（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣仁和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)40+(2)2×(3)7a【考點(diǎn)12二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例12】（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知a=3+1，求【變式12-1】（2022·福建龍巖·八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：(a+b)2?(a?b【變式12-2】（2022·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：25xy+xyx?4yx【變式12-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知y＝x?8＋8?x＋18，求代數(shù)式x+yx?y【考點(diǎn)13二次根式的應(yīng)用】【例13】（2022·山東·費(fèi)縣第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形中無(wú)重疊的放入面積分別為16cm2和12cmA．4?23cm2 B．83?4cm【變式13-1】（2022·江西省于都中學(xué)八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀材料，并解決實(shí)際問(wèn)題：海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，利用三角形的三邊求面積：有一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p＝a+b+c2，那么這個(gè)三角形的面積S＝p(p?a)(p?b)(p?c)．這個(gè)公式稱(chēng)海倫公式．秦九韶（約1202﹣1261），我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S＝1問(wèn)題：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海倫﹣秦九韶公式求△ABC的面積為_(kāi)____．【變式13-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)華君外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n與2mn（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問(wèn)題：某園林設(shè)計(jì)師要對(duì)園林的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m【變式13-3】（2022·安徽·潛山市羅漢初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某居民小區(qū)有一塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為162m，寬AB為128m，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為(13(1)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？(2)除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，通通上要鋪上造價(jià)為5元【考點(diǎn)14二次根式中的新定義問(wèn)題】【例14】（2022·安徽合肥·八年級(jí)期中）我們規(guī)定用a,b表示-對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記m=1a，n=b（a>0，b>0），將m,n與n,m稱(chēng)為數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”，例如：4,1的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”為1(1)數(shù)對(duì)25,4的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是________和________；(2)若數(shù)對(duì)x,2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的一個(gè)數(shù)對(duì)是2,1，求x(3)若數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的一個(gè)數(shù)對(duì)是3,33，求【變式14-1】（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：a?b=3a?b2，例：(1)求2??(2)若m=5?35+【變式14-2】（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿(mǎn)足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱(chēng)a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與2是關(guān)于2的共軛二次根式，則a＝；(2)若2+3與2+3m是關(guān)于1的共軛二次根式，求m的值．【變式14-3】（2022·福建省泰寧縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期中）我們規(guī)定，若a＋b＝2，則稱(chēng)a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）若3與x是關(guān)于1的平衡數(shù)，5－2與y是關(guān)于1的平衡數(shù)，求x，y的值；（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判斷m＋3與5n－3是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)15利用分母有理化求值】【例15】（2022·山東·宗圣中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如232323(1)請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)17(2)選擇合適的方法化簡(jiǎn)1n+n+1(3)求11+【變式15-1】（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期末）像(5+2)(5?2)=1，a?a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：5與5，2+1與2﹣1，23+35與2(1)化簡(jiǎn)：①323=②15?(2)計(jì)算：(12+1+13+(3)已知a=2022?2021，b=2023?【變式15-2】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算時(shí)我們有時(shí)會(huì)遇到如：32，23+1這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：3以上將分母中的根號(hào)化去的過(guò)程，叫做分母有理化．(1)根據(jù)上面規(guī)律化簡(jiǎn)：15＝______；1(2)化簡(jiǎn)下列各式①5?1②8?2③13?3④20?4(3)用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫(xiě)出（2）中第n個(gè)式子，并化簡(jiǎn)．【變式15-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：23+1=2(3?1)②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知ab2，ab3，求a2b2．我們可以把a(bǔ)b和ab看成是一個(gè)整體，令xab，yab，則a2b2(ab)22abx22y4610．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．（1）計(jì)算：13+1+15+（2）已知m是正整數(shù)，am+1?mm+1+m，bm+1+mm+1?m且2a21823ab（3）已知15+x2?【考點(diǎn)16二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例16】（2022·四川·樂(lè)山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列短文，回答有關(guān)問(wèn)題：在實(shí)數(shù)這章中，遇到過(guò)2、3;9;12;a；這樣的式子，我們把這樣的式子叫做二次根式，根號(hào)下的數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù)．如果一個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)中有的因數(shù)能開(kāi)的盡方，可以利用a?b=a?(1)請(qǐng)判斷下列各式中，哪些是同類(lèi)二次根式？2;(2)二次根式中的同類(lèi)二次根式可以像整式中的同類(lèi)項(xiàng)一樣合并，請(qǐng)計(jì)算：2+【變式16-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀理解：設(shè)m，n是有理數(shù)，且滿(mǎn)m+5n=2?35解：由題意，移項(xiàng)得：m?2+∵m，n是有理數(shù)∴m－2，n＋3也是有理數(shù)，又∵5是無(wú)理數(shù)，∴m?2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，∴nm問(wèn)題解決：設(shè)a，b都是有理數(shù)，且a2+b2【變式16-2】（2022·河北·保定市清苑區(qū)北王力中學(xué)八年級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖1，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫(huà)出分割線(xiàn)并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形．小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為x(x>0)；依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5，解得請(qǐng)你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問(wèn)題：現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖4，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．

(1)請(qǐng)計(jì)算出新正方形的邊長(zhǎng)；(2)要求：在圖4中畫(huà)出分割線(xiàn)，并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形．（說(shuō)明：直接畫(huà)出圖形，不要求寫(xiě)分析過(guò)程．）【變式16-3】（2022·河南商丘·八年級(jí)期中）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2這樣小明就找到了一種把類(lèi)似a+b2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分別表示a、b(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：______+______3(3)若a+43=m+n32，且a、m專(zhuān)題21.1二次根式十六大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1二次根式的概念】 1【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】 3【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】 4【考點(diǎn)4同類(lèi)二次根式的概念】 6【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】 8【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】 10【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】 12【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】 14【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】 16【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】 20【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】 24【考點(diǎn)12二次根式的化簡(jiǎn)求值】 28【考點(diǎn)13二次根式的應(yīng)用】 30【考點(diǎn)14二次根式中的新定義問(wèn)題】 34【考點(diǎn)15利用分母有理化求值】 37【考點(diǎn)16二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】 43【考點(diǎn)1二次根式的概念】【例1】（2022·北京·人大附中八年級(jí)期末）下列式子中，是二次根式的是()A．2 B．32 C．x D．【答案】A【分析】一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：A、2是二次根式，符合題意；B、32C、當(dāng)x＜0時(shí)，x無(wú)意義，不合題意；D、x屬于整式，不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的定義，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的定義理解被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式1-1】（2022·河北滄州·八年級(jí)期中）下列式子一定是二次根式的是()A．a(chǎn)2 B．－a C．3a 【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的定義，直接判斷得結(jié)論．【詳解】解：A、a2B、a<0時(shí)，－a不是二次根式，故B錯(cuò)誤；C、3aD、a<0時(shí)，a不是二次根式，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，形如a(a≥0)是二次根式，注意二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若a=5，則下列各式是二次根式的是(

)A．3?a B．5?a C．a(chǎn)?5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行判斷．【詳解】A、當(dāng)a=5時(shí)，3-a＜0，該式子不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)a=5時(shí)，5-a=0，符合二次根式的定義，故本選項(xiàng)正確；C、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、該代數(shù)式不是二次根式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【變式1-3】（2022·內(nèi)蒙古·北京師范大學(xué)烏海附屬學(xué)校八年級(jí)期中）a是任意實(shí)數(shù)，下列各式中：①a+2；②(?2a)4；③a2+3；④aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】∵二次根式a必須滿(mǎn)足a≥0∴只有②③④可以確定被開(kāi)方數(shù)非負(fù)一定是二次根式的個(gè)數(shù)是3個(gè)故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2二次根式有意義的條件】【例2】（2022·山東·日照山海天旅游度假區(qū)青島路中學(xué)七年級(jí)期中）若a，b為實(shí)數(shù)，且b=a2?1+1?a2A．±1 B．4 C．3或5 D．5【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，列出不等式組，即可解得a=1，b=4，即可得解．【詳解】根據(jù)題意，得a解得a=±1∴b=4∴a+b=5或3故答案為C．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練運(yùn)用，即可解題．【變式2-1】（2022·廣東惠州·八年級(jí)期末）若式子x+6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A．x≥－6 B．x≤－6 C．x>－6 D．x＜－6【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：由題意得，x+6≥0，解得，x≥-6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·新疆·烏魯木齊市第三中學(xué)八年級(jí)期末）下列二次根式一定有意義的是（

）A．2 B．?2 C．a(chǎn) D．?a【答案】A【分析】二次根式有意義的條件是二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)．【詳解】解：A．2是二次根式，被開(kāi)方數(shù)大于0，有意義，故本選項(xiàng)符合題意；B．?2，被開(kāi)方數(shù)小于0，無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；C．a(chǎn)，a如果小于0時(shí)無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；D．?a，?a如果小于0時(shí)無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）若1999?x+x?2006=x【答案】2006【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵x?2006∴x?2006≥0，∴原等式變形為x?1999+x?2006解得19992∴x?1999故答案為：2006．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】【例3】（2022·安徽·安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若a＜0，b＞0，則化簡(jiǎn)214A．a(chǎn)﹣2b B．2a﹣b C．2b﹣a D．b﹣2a【答案】C【分析】先將原式化簡(jiǎn)為212a?b2，再由a＜0，【詳解】解：原式=2=2∵a＜0，b＞0，∴12∴21故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，二次根式的定義，掌握相關(guān)知識(shí)并正確求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·河北·滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列二次根式（字母表示正數(shù)）(1)24(2)16【答案】(1)4ab(2)4a【分析】（1）根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；（2）先將根式中的式子提公因式4a2（1）解：原式=2=2=4ab（2）解：原式=4a=4a=4a【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】（2022·云南·會(huì)澤縣以禮中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：a2+b【答案】3a﹣2b-1【分析】根據(jù)數(shù)軸可知b＜﹣1＜0＜a＜1，推出a﹣b＞0，a﹣1＜0，根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a），求出即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：b＜﹣1＜0＜a＜1，則a﹣b＞0，a﹣1＜0，則原式＝a+（﹣b）+a﹣b﹣（1﹣a）＝a﹣b+a﹣b﹣1+a＝3a﹣2b-1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和數(shù)軸，注意：當(dāng)a≥0時(shí)，a2=a，當(dāng)a≤0時(shí)，a【變式3-3】（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)八年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：x?32【答案】1【分析】運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并即可．【詳解】由題意可知2?x≥0，∴x≤2，∴x?3<0，∴原式=3?x?2+x=1【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．【考點(diǎn)4同類(lèi)二次根式的概念】【例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）下列二次根式中，化簡(jiǎn)后可以合并的是

（

）A．a(chǎn)2b與a B．xyC．50與5 D．a(chǎn)+b與【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)，然后根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、a2B、xy=xyC、50=5D、a+b與a故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式：把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后若被開(kāi)方數(shù)相同，那么這樣的二次根式叫同類(lèi)二次根式.【變式4-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）下面二次根式：①48；②23；③27；④23.化簡(jiǎn)后與3可以合并的是（A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】①48=43，②23=22，③27=33；④23=63故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·甘肅·民勤縣第六中學(xué)八年級(jí)期中）若最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11能合并，則x【答案】5【分析】先根據(jù)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義得到關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組求出x、y的值，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴最簡(jiǎn)二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11∴3x?10=22x+y?5=x?3y+11∴x=4y=3∴x2故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，解二元一次方程組，正確得到3x?10=22x+y?5=x?3y+11【變式4-3】（2022·安徽·安慶九一六學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如果最簡(jiǎn)二次根式4a?5與13?2a是同類(lèi)二次根式．(1)求出a的值；(2)若a≤x≤2a，化簡(jiǎn)：x2【答案】(1)3(2)4【分析】(1)根據(jù)同類(lèi)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相等可列出方程，解出即可；(2)根據(jù)(1)可得3≤x≤6，再根據(jù)完全平方公式及去絕對(duì)值符號(hào)法則進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．（1）解：∵最簡(jiǎn)二次根式4a?5與13?2a是同類(lèi)二次根式，∴4a-5=13-2a，解得a=3；（2）解：∵a≤x≤2a，a=3，∴3≤x≤6，∴x===x?2+6?x=4．【點(diǎn)睛】本題考查了同類(lèi)二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，去絕對(duì)值符合號(hào)法則，熟練掌握和運(yùn)用各定義和法則是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5最簡(jiǎn)二次根式】【例5】（2022春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇舰?；②0.3；③30；④x2+y2；⑤A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式滿(mǎn)足的兩個(gè)條件進(jìn)行判斷即可．【詳解】①8=22，②③30、④x2+y故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查最簡(jiǎn)二次根式，熟記最簡(jiǎn)二次根式滿(mǎn)足的條件即可正確解題．【變式5-1】下列各根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A．56 B．xy C．m2+【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式定義逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，56=2xym218x=3故選C．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式定義，不含開(kāi)得盡方的數(shù)，根號(hào)下不含分母或分母中不帶根號(hào)．【變式5-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a?12a+5與3b+a是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，求ab【答案】2【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入ab計(jì)算求值【詳解】解：∵a?12a+5與3b+a∴解得：a=3∵2a+5=11>0∴a=3b=∴【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)的盡的因數(shù)或因式，滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．本題求出a，b后還需檢驗(yàn)，因?yàn)楸婚_(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)．【變式5-3】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┪覀儼研稳鏰x+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡(jiǎn)二次根式）的數(shù)叫做x型無(wú)理數(shù)，如3x+1是x型無(wú)理數(shù)，則(2A．2型無(wú)理數(shù) B．5型無(wú)理數(shù) C．10型無(wú)理數(shù) D．20型無(wú)理數(shù)【答案】B【分析】先利用完全平方公式計(jì)算，再化簡(jiǎn)得到原式=12+45【詳解】解：(2所以(2+10故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．也考查了無(wú)理數(shù)．【考點(diǎn)6比較二次根式的大小】【例6】（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考期末）若a=2019×2021?2019×2020，b=20222?4×2021，c=A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】A【分析】利用平方差公式計(jì)算a，利用完全平方公式和二次根式的化簡(jiǎn)求出b，利用二次根式大小的比較辦法，比較b、c得結(jié)論．【詳解】解：a=2019×2021-2019×2020=（2022-1）（2022+1）-（2022-1）×2020=20202-1-20202+2020=2019；∵20222-4×2021=（2022+1）2-4×2021=20212+2×2021+1-4×2021=20212-2×2021+1=（2022-1）2=20202，∴b=2020；∵20202∴c＞b＞a．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式大小的比較等知識(shí)點(diǎn)．變形2019×2021-2019×2020、20222【變式6-1】（2022·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)M=20172?2016×2018，N=20172?4034×2018+2018A．M＞N B．M＜N C．M=N D．M=±N【答案】C【分析】將被開(kāi)方數(shù)利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算、化簡(jiǎn)可得．【詳解】解：∵M(jìn)=20172?(2017?1)×(2017+1)=N=(2017?2018)2∴M=N，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式和完全平方公式及二次根式的性質(zhì)．【變式6-2】（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）5?2、2+52、2+A．2+2>2+5C．2+52>5?【答案】D【分析】根據(jù)作差法，分別比較5?2與2+2，2+2【詳解】∵(5?2)-(2+2)=3-22=3-8=9-∴5?2∵(2+2)-(2+52)=2-52=22∴2+2∴5?2故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較二次根式的大小，掌握作差法比較大小，是解題的關(guān)鍵.【變式6-3】（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a=1003+997，b=1001+【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三個(gè)數(shù)值平方后再比較大小即可．【詳解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案為：a＜b＜c.【點(diǎn)睛】這里注意比較數(shù)的大小可以用平方法，兩個(gè)正數(shù)，平方大的就大．此題也要求學(xué)生熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式．【考點(diǎn)7求二次根式中的參數(shù)值】【例7】（2022春·北京·八年級(jí)北京八中?？计谥校┮阎猲是正整數(shù)，18?2n是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的所有n的值為_(kāi)_________．【答案】9或7或1【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)n的取值范圍，然后令18?2n等于所有可能的平方數(shù)即可求解．【詳解】解：由題意得18?2n≥0，解得n≤9，∵n是正整數(shù)，∴n≥1∴1≤n≤9，∴2≤2n≤18，∴0≤18?2n≤16，∵18?2n是整數(shù)，∴18?2n=0或18?2n=1或18?2n=4或18?2n=9或18?2n=16，解得n=9或n=172或n=7或n=9∵n是正整數(shù)，∴n=9或n=7或n=1，故答案為：9或7或1【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解掌握被開(kāi)方數(shù)是平方數(shù)時(shí)算術(shù)平方根才是整數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋·四川資陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果17+4a是一個(gè)正整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是（

）A．-4 B．-2 C．2 D．8【答案】A【分析】根據(jù)17+4a是一個(gè)正整數(shù)，得出a＞?174，根據(jù)a為整數(shù)，得出a的最小值為?4，最后代入【詳解】解：∵17+4a是一個(gè)正整數(shù)，∴17+4a＞∴a＞∵a為整數(shù)，∴a的最小值為?4，且a=?4時(shí)，17+4a=故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意求出a＞【變式7-2】（2022春·四川涼山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知12?n是正偶數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A．12 B．11 C．8 D．3【答案】C【分析】如果實(shí)數(shù)n取最大值，那么12－n有最小值，又知12?n是正偶數(shù)，而最小的正偶數(shù)是2，則12?n＝2，從而得出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)12?n等于最小的正偶數(shù)2時(shí)，n取最大值,則n＝8，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“12?n是正偶數(shù)”的含義．【變式7-3】（2022秋·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┮阎欣頂?shù)滿(mǎn)足5?3a=2b+23【答案】?【分析】將已知等式整理得?3a+a?2b=23?5，由a，b為有理數(shù)，得到【詳解】解：∵5?3∴?3∵a，b為有理數(shù)，∴?3解得a=?2,b=3∴a+b=?2+3故答案為：?1【點(diǎn)睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8化簡(jiǎn)并估算二次根式的值】【例8】（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┕烙?jì)2+3×2A．8到9之間 B．9到10之間 C．10到11之間 D．11到12之間【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)，估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案．【詳解】解：2=2=4∵4<6<6.25，∴2<∴4<2∴8<4故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2022秋·重慶大渡口·九年級(jí)?？计谀┕烙?jì)42+3÷A．2到3之間 B．3到4之間 C．4到5之間 D．5到6之間【答案】C【分析】先根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算42+3÷【詳解】解：∵42+3÷∵3<∴4<故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的除法，無(wú)理數(shù)的估算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若以3米為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，線(xiàn)段AB=17米，點(diǎn)A在原點(diǎn)，點(diǎn)B在數(shù)軸的正半軸，估計(jì)點(diǎn)B位于兩個(gè)相鄰整數(shù)之間，這兩個(gè)整數(shù)分別是______．【答案】9和10【分析】先計(jì)算17里面有幾個(gè)3即可求解．【詳解】17÷3∵9=2433∴9<∴這兩個(gè)相鄰整數(shù)是9和10．故答案為：9和10．【點(diǎn)睛】此題考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確估算出17÷3【變式8-3】（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀(guān)察下列各式子，并回答下面問(wèn)題．第一個(gè)：1第二個(gè)：2第三個(gè)：3第四個(gè)：42（1）試寫(xiě)出第n個(gè)式子（用含n的表達(dá)式表示），這個(gè)式子一定是二次根式嗎？為什么？（2）你估計(jì)第16個(gè)式子的值在哪兩個(gè)相鄰整數(shù)之間？試說(shuō)明理由．【答案】（1）n2?n，該式子一定是二次根式，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）依據(jù)規(guī)律可寫(xiě)出第n個(gè)式子，然后判斷被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)情況，從而可做出判斷；（2）將n=16代入，得出第16個(gè)式子為240，再判斷即可．【詳解】解：（1）n2該式子一定是二次根式，因?yàn)閚為正整數(shù)，n2（2）16∵225=15，256∴15<240∴240在15和16之間．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次根式的定義以及估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小，掌握用“逼近法”估算無(wú)理數(shù)的大小的方法是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)9二次根式中的規(guī)律探究】【例9】（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀(guān)察下列等式：第1個(gè)等式：a1=11+2=2?1；第2個(gè)等式：A．311?1 B．10?311 【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，得出一般規(guī)律an【詳解】解：第1個(gè)等式：a1=第2個(gè)等式：a2第3個(gè)等式：a3=第4個(gè)等式：a4……第n個(gè)等式：an∴a==100=10?1=9，故C正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得到答案．【變式9-1】（2022春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）觀(guān)察下列各式：1+1+1+請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，猜想：(1)1+1(2)請(qǐng)你按照上面每個(gè)等式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：_____；(3)利用上述規(guī)律計(jì)算：5049【答案】(1)1+1(2)1+(3)1+1【分析】（1）根據(jù)已知算式得出規(guī)律，再根據(jù)求出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)已知算式得出規(guī)律即可；（3）原式先變形為1+1【詳解】（1）1+（2）1+（3）50【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，數(shù)字的變化類(lèi)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知算式得出規(guī)律．【變式9-2】（2022秋·遼寧撫順·八年級(jí)?？计谀╅喿x材料：像6+56?5(1)7的有理化因式是___________；7+2(2)觀(guān)察下面的變形規(guī)律，請(qǐng)你猜想：12+1=2?1，1(3)利用上面的方法，請(qǐng)化簡(jiǎn)：12【答案】(1)7，7(2)n+1(3)9【分析】（1）根據(jù)題意及二次根式的乘法即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題干中的例子，直接猜想求解即可；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論將式子化簡(jiǎn)變形求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，7×7∴7的有理化因式是7，7+2的有理化因式是故答案為：7，7?2（2）121314‥‥‥，1n+1故答案為：n+1（3）1===10?1=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次根式的混合運(yùn)算及二次根式的化簡(jiǎn)，分母有理化，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2022秋·北京順義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一些數(shù)按某種規(guī)律排列如下：第一行12第二行3256第三行72310112第四行1314154173192……(1)根據(jù)排列的規(guī)律，寫(xiě)出第5行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)；(2)寫(xiě)出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第n+1個(gè)數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)2(2)n【分析】（1）根據(jù)第4行的最后一個(gè)數(shù)為：25，即可得到第5行第一個(gè)數(shù)為：21（2）根據(jù)規(guī)律可知：第1行最后一個(gè)數(shù)是：1×2=2，第2行最后一個(gè)數(shù)是：2×3=6，第3行最后一個(gè)數(shù)是：進(jìn)而推出第n?1行最后一個(gè)數(shù)，然后推導(dǎo)出第n（n是正整數(shù)）行，從左數(shù)第n+1個(gè)數(shù)即可．【詳解】（1）解：由表格可知：第5行第一個(gè)數(shù)為：21，則第5行，從左到右依次是：21，22，23，?，30，∴第5行從左數(shù)第4個(gè)數(shù)：24=2（2）解：由表格可知：第1行最后一個(gè)數(shù)是：1×2=第2行最后一個(gè)數(shù)是：2×3=第3行最后一個(gè)數(shù)是：3×4=第4行最后一個(gè)數(shù)是：4×5=?∴第n?1行最后一個(gè)數(shù)是：n?1×n∴第n行的第一個(gè)數(shù)是：n2?n+1，從左數(shù)第n+1個(gè)數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律探究．觀(guān)察出被開(kāi)方數(shù)是連續(xù)自然數(shù)，并且每一行的最后一個(gè)被開(kāi)方數(shù)是所在行數(shù)乘以比行數(shù)大1的數(shù)，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)】【例10】（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）像4?23，484?23＝3?23+1＝(3)再如：5+26=3+26+2=請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：12+235(2)化簡(jiǎn)：17?415(3)若a+65=(m+5n)2，且a，【答案】(1)5(2)2(3)14或46【分析】（1）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．【詳解】（1）12+2（2）17?4（3）∵a+65∴a=m2+5∴mn=3又∵a、m、n為正整數(shù)，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當(dāng)m=1,n=3時(shí)，a=46；當(dāng)m=3,n=1時(shí)，a=14．∴a的值為：14或46．【點(diǎn)睛】此題考查活用完全平方公式，把數(shù)分解成完全平方式，進(jìn)一步利用公式因式分解化簡(jiǎn)，注意在整數(shù)分解時(shí)參考后面的二次根號(hào)里面的數(shù)值．【變式10-1】（2022春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┰诙胃降挠?jì)算和比較大小中，有時(shí)候用“平方法”會(huì)取得很好的效果，例如，比較a＝23和b＝32的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請(qǐng)利用“平方法”解決下面問(wèn)題：(1)比較c＝42，d＝27大小，cd（填寫(xiě)＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝25+6，n(3)化簡(jiǎn)：4p?8p?1+4p+8【答案】(1)c>d(2)m<n，證明過(guò)程見(jiàn)解析(3)4或4p?1【分析】（1）根據(jù)題干中“平方法”比較實(shí)數(shù)大小；（2）根據(jù)題干中“平方法”比較二次根式的大??；（3）根據(jù)題干中“平方法”找出(p?1?1)2【詳解】（1）解：∵c2=32，d2=28，則c2>d2，∴c>d；故答案為：>．（2）解：猜想：m<n，證明：∵m＝25+6，n∴m2=(25+6)2=26+430，n2＝(23+∵30<42，∴m2<n2，∴m<n；（3）解：∵(p?1?1)2∴4p?8=2p?2=2p?1?1+2∵p?1≥0∴p≥1，分情況討論：①若p?1?1≤0，即1≤p原式=2(1?p?1)+2=4；②若p?1?1>0，即p原式=2(p?1?1)+2=4p?1綜合①②得：當(dāng)1≤p≤2時(shí)，原式=4；當(dāng)p>2時(shí)，原式=4p?1；故答案為：4或4p?1．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，二次根式的大小比較和化簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用題干中“平方法”，第（3）題注意分情況討論．【變式10-2】（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┫乳喿x下面的解題過(guò)程，然后再解答，形如m±2n的化簡(jiǎn)，我們只要找到兩個(gè)數(shù)a，b，使a+b=m，ab=n，即(a)2+例如化簡(jiǎn)：7+4解：首先把7+43化為7+2這里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12，所以(4所以7+4（1）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：4（2）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：13?2（3）根據(jù)上述方法化簡(jiǎn)：4?【答案】（1）3+1；（2）7?【分析】根據(jù)題意把題目中的無(wú)理式轉(zhuǎn)化成m±2n【詳解】解：（1）∵4+23∴m=4，n=3，∵3+1=4，3×1=3，∴32+1∴4+23（2）∵13?242∴m=13，n=42，∵7+6=13，7×6=42，∴72+6∴13?242（3）∵4?15∴m=8，n=15，∵3+5=8，3×5=15，∴32+5∴4?15【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)題中的范例把根號(hào)內(nèi)的式子整理成完全平方的形式是解答此題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方法：2+32?設(shè)x=3+5易知3+5故x>0，由x=3+=2解得x=2，即3+5根據(jù)以上方法，化簡(jiǎn)3【答案】5?3【分析】由常見(jiàn)的分母有理化利用平方差公式化解3?23【詳解】解：設(shè)x=6?33∴x<0∴x∴x∴x=?∵3?∴原式=5?2【點(diǎn)睛】本題考察了分母有理化以及提取題干信息的能力；關(guān)鍵在于要會(huì)用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂題干，能用完全平方差公式進(jìn)行有理化．【考點(diǎn)11二次根式的混合運(yùn)算】【例11】（2022·浙江·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)12?6(2)3+2【答案】(1)4(2)3【分析】（1）把每個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，然后合并同類(lèi)二次根式即可；（2）利用平方差公式和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．（1）12=2=2=4（2）3==3?4+=【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘方公式是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2022·山東·寧津縣德清中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)2×(1?2(2)(43(3)12(4)32【答案】(1)2(2)2+(3)5(4)6【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可；（2）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則求解即可；（3）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后根據(jù)二次根式的加減計(jì)算法則求解即可；（4）利用平方差公式求解即可．（1）解：原式=2?2=2；（2）解：原式=4=2+3（3）解：原式=2=5（4）解：原式==18?12=6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，二次根式的加減計(jì)算，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，平方差公式，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·重慶市萬(wàn)盛經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)溱州中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(1(2)(3【答案】(1)7+(2)94【分析】（1）先利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算；（2）分別化簡(jiǎn)二次根式，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后再計(jì)算即可．（1）解：(=3+=3+6?2+=7+3（2）解：(3=(3×3=(9=9=94【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，二次根式的除法運(yùn)算，二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)并正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2022·湖南·寧遠(yuǎn)縣仁和鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)40+(2)2×(3)7a【答案】(1)2?(2)5(3)?3【分析】（1）先計(jì)算二次根式的除法，再將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，最后合并同類(lèi)二次根式；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算乘除法，最后合并同類(lèi)二次根式；（3）先化為最簡(jiǎn)二次根式，分母有理化，再計(jì)算二次根式的加減法．（1）解：原式=20+4?35=（2）原式=23+9×39?（3）原式=7a+2ax【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，涉及分母有理化、最簡(jiǎn)二次根式等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)12二次根式的化簡(jiǎn)求值】【例12】（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）已知a=3+1，求【答案】18?9【分析】經(jīng)觀(guān)察可得所求的式子滿(mǎn)足完全平方公式，利用完全平方式可將所求的式子化為最簡(jiǎn)，代入a的值后可得結(jié)果．【詳解】a+1當(dāng)a=3+1時(shí)，原式【變式12-1】（2022·福建龍巖·八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：(a+b)2?(a?b【答案】2ab+2b；27+6﹣2【分析】先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，再合并得到原式＝2ab+2b，接著計(jì)算ab的值，然后把a(bǔ)b和b【詳解】解：原式＝a+2ab+b﹣（a﹣b＝a+2ab+b﹣a+＝2ab+2b∵a＝3+2，b＝3?∴ab＝9﹣2＝7，∴原式＝27+2×（3?＝27+6﹣22【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算以及化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則．【變式12-2】（2022·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：25xy+xyx?4yx【答案】2【分析】先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并得到原式=xy，然后把x、y【詳解】解：∵x>0∴原式=5=當(dāng)x=13，y=4【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值,熟練運(yùn)算二次根式是解題關(guān)鍵．【變式12-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知y＝x?8＋8?x＋18，求代數(shù)式x+yx?y【答案】-2【分析】首先由二次根式有意義的條件求得x＝8，則y＝18，然后代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式求值．【詳解】解：由題意得，x﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x＝8，則y＝18，∵x＞0，y＞0，∴原式＝x+yx?＝x+yx?＝(＝x﹣y把x＝8，y＝18代入原式＝8﹣18＝22﹣32＝-2，故答案為：-2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件確定x、y的值，能夠熟練的運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．【考點(diǎn)13二次根式的應(yīng)用】【例13】（2022·山東·費(fèi)縣第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形中無(wú)重疊的放入面積分別為16cm2和12cmA．4?23cm2 B．83?4cm【答案】C【分析】欲求S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF，需求HC以及LM．由題意得S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，故可求HC，LM，LF，進(jìn)而解決此題．【詳解】解：如圖：由題意知：S正方形ABCH=HC2=16cm2，S正方形LMEF=LM2=LF2=12cm2，∴HC=4cm，LM=LF=23∴S空白部分=S矩形HLFG+S矩形MCEF=HL?LF+MC?ME=HL?LF+MC?LF=（HL+MC）?LF=（HC-LM）?LF=(4?2=(83?12)cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)以及運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2022·江西省于都中學(xué)八年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀材料，并解決實(shí)際問(wèn)題：海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，利用三角形的三邊求面積：有一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p＝a+b+c2，那么這個(gè)三角形的面積S＝p(p?a)(p?b)(p?c)．這個(gè)公式稱(chēng)海倫公式．秦九韶（約1202﹣1261），我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式S＝1問(wèn)題：在△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝7，用海倫﹣秦九韶公式求△ABC的面積為_(kāi)____．【答案】6【分析】直接利用已知公式求出p的值，進(jìn)而代入三角形面積公式中得出答案．【詳解】解：∵b=AC＝5，c=AB＝6，a=BC＝7，∴p＝a+b+c2＝5+6+7∴這個(gè)三角形的面積：S＝p(p?a)(p?b)(p?c)＝9×(9?5)×(9?6)×(9?7)＝66．故答案為：66．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，理解定義，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．【變式13-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)華君外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+1621×1（2）由（1）中各式猜想m+n與2mn（3）請(qǐng)利用上述結(jié)論解決下面問(wèn)題：某園林設(shè)計(jì)師要對(duì)園林的一個(gè)區(qū)域進(jìn)行設(shè)計(jì)改造，將該區(qū)域用籬笆圍成矩形的花圃．如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體，為了圍成面積為200m【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn【分析】（1）分別進(jìn)行計(jì)算，比較大小即可；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)填大于號(hào)或等于號(hào)，所以猜想m+n≥2mn（3）設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，需要籬笆的長(zhǎng)度為（a＋2b）米，利用第（2）問(wèn)的公式即可求得最小值．【詳解】解：（1）∵4+3=7,2∴7∵49>48∴4+3>2∵1+∴1+∵5+5=10,2∴5+5=2故答案為：＞，＞，＝．（2）m+n≥2mn當(dāng)m≥0，n≥0時(shí)，∵(∴(∴m?2∴m+n≥2（3）設(shè)花圃的長(zhǎng)為a米，寬為b米，則a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根據(jù)（2）的結(jié)論可得：a+2b≥2a?2b∴籬笆至少需要40米．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的計(jì)算，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法，解題的關(guān)鍵是聯(lián)想到完全平方公式，利用平方的非負(fù)性求證．【變式13-3】（2022·安徽·潛山市羅漢初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）某居民小區(qū)有一塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為162m，寬AB為128m，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為(13(1)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？(2)除去修建花壇的地方，其他地方全修建成通道，通通上要鋪上造價(jià)為5元【答案】(1)34(2)660【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出空白部分的面積，然后再用空白部分的面積乘以單價(jià)即可得出結(jié)論．（1）解：∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為162m，寬AB為128∴長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)為：2=2=342答：長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是342（2）由題意，知162===660（元）．答：購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)660元．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積，平方差公式．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其性質(zhì)．【考點(diǎn)14二次根式中的新定義問(wèn)題】【例14】（2022·安徽合肥·八年級(jí)期中）我們規(guī)定用a,b表示-對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記m=1a，n=b（a>0，b>0），將m,n與n,m稱(chēng)為數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”，例如：4,1的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”為1(1)數(shù)對(duì)25,4的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是________和________；(2)若數(shù)對(duì)x,2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的一個(gè)數(shù)對(duì)是2,1，求x(3)若數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的一個(gè)數(shù)對(duì)是3,33，求【答案】(1)15,2；(2)x=1(3)9或1【分析】（1）根據(jù)題意將a=25，b=4代入m=1a=（2）由題m=1a，n=b，數(shù)對(duì)x,2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”的一個(gè)數(shù)對(duì)是2,1和1,2（3）將數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”求出來(lái)，分類(lèi)討論求出a，b，即可知ab．（1）解：由題意知：m=125=∴數(shù)對(duì)25,4的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是15,2和（2）解：∵數(shù)對(duì)x,2的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是1x,2∴1x∴x=1.（3）解：∵數(shù)對(duì)a,b的一對(duì)“對(duì)稱(chēng)數(shù)對(duì)”是1a,b∴1a=∴a=13∴ab=9或19【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)新定義的理解及根式的計(jì)算，要正確的理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：a?b=3a?b2，例：(1)求2??(2)若m=5?35+【答案】(1)4(2)6【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，得到m?n=3m﹣(1)解：∵a?b=3a?b∴2?=3×2?=6?2=4(2)解：∵m=52?∴m?n=3m＝3×2?=6?=6【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，理解定義新運(yùn)算a*b＝3a﹣b2是解題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿(mǎn)足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱(chēng)a與b是關(guān)于c的共軛二次根式．(1)若a與2是關(guān)于2的共軛二次根式，則a＝；(2)若2+3與2+3m是關(guān)于1的共軛二次根式，求m的值．【答案】(1)2(2)m=?1【分析】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義可得2a=2（2）根據(jù)共軛二次根式的定義可得2+3（1）解：由題意得：2a=2解得a=2故答案為：2．（2）解：由題意得：2+3兩邊同除以2+3得：2+3m=解得m=?1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化、二次根式的除法，理解共軛二次根式的定義是解題關(guān)鍵．【變式14-3】（2022·福建省泰寧縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期中）我們規(guī)定，若a＋b＝2，則稱(chēng)a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）若3與x是關(guān)于1的平衡數(shù)，5－2與y是關(guān)于1的平衡數(shù)，求x，y的值；（2）若（m＋3）×（1－3）＝－2n＋3（3－1），判斷m＋3與5n－3是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）－1，?3+2；（2）當(dāng)m=?69?5333，n=27+【分析】（1）根據(jù)所給的例子，可得出平衡數(shù)的求法，由此可得出答案；（2）對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到m，n的關(guān)系，再對(duì)m，n進(jìn)行分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：3+x=2，5?解得x=?1，y=故答案為?1，2（2）m+3∴m?m3∴m?m3∴m+2n?2①當(dāng)m和n均為有理數(shù)時(shí)，則有m+2n?=解得：m=?2????當(dāng)m=?2????m+所以m+3②當(dāng)m和n中一個(gè)為有理數(shù)，另一個(gè)為無(wú)理數(shù)時(shí)，m+3+5n?3=m+5n所以m+3與5n?③當(dāng)m和n均為無(wú)理數(shù)時(shí)，當(dāng)m+5n=2時(shí)，聯(lián)立m+2n?23m=?69?53存在m=?69?5333，n=當(dāng)m≠?69?5333且n≠綜上可得：當(dāng)m=?69?5333，n=27+3【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類(lèi)二次根式的合并，并掌握分類(lèi)討論的思想．【考點(diǎn)15利用分母有理化求值】【例15】（2022·山東·宗圣中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如232323(1)請(qǐng)用兩種不同的方法化簡(jiǎn)17(2)選擇合適的方法化簡(jiǎn)1n+n+1(3)求11+【答案】(1)7?(2)n+1(3)9【分析】（1）仿照題意進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求解即可．（1）解：1717（2）解：1n（3）解：∵1n∴1=2=100=10?1=9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分母有理化，實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律，正確理解題意熟知分母有理化的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（2022·江蘇鹽城·八年級(jí)期末）像(5+2)(5?2)=1，a?a＝a（a≥0），（b+1）（b﹣1）＝b﹣1（b≥0），兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如：5與5，2+1與2﹣1，23+35與2(1)化簡(jiǎn)：①323=②15?(2)計(jì)算：(12+1+13+(3)已知a=2022?2021，b=2023?【答案】(1)①32，②(2)2021(3)a>b，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）①將二次根式分母有理化進(jìn)行計(jì)算；②先確定分母有理化因式，然后進(jìn)行計(jì)算；（2）利用二次根式分母有理化的計(jì)算法則并通過(guò)探索數(shù)字規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求解；（3）通過(guò)比較a，b的倒數(shù)，然后進(jìn)行a，b的大小比較．（1）①32故答案為：32②15故答案為：5+（2）12+1+1==2022?1=2021，故答案為：2021；（3）a>b，理由如下：1a同理：1b∵2023+∴1a∴a>b．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，理解二次根式分母有理化的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．【變式15-2】（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期中）閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算時(shí)我們有時(shí)會(huì)遇到如：32，23+1這樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：3以上將分母中的根號(hào)化去的過(guò)程，叫做分母有理化．(1)根據(jù)上面規(guī)律化簡(jiǎn)：15＝______；1(2)化簡(jiǎn)下列各式①5?1②8?2③13?3④20?4(3)用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫(xiě)出（2）中第n個(gè)式子，并化簡(jiǎn)．【答案】(1)55，(2)①-1；②-2；③-3；④-4(3)﹣n【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以求得所求式子的值；（2）利用分母有理化的方法可以求得各小題中式子的值；（3）根據(jù)（2）中的式子，可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子第一個(gè)數(shù)的分子是n2（1）解：1515故答案為：55；5（2）解：①5====-1；②8=====-2；③13====-3；④20=====-4；（3）解：由（2）可得，第n個(gè)式子是n2n=====-n．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、數(shù)字的變化類(lèi)、平方差公式、分母有理數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出所求式子的值．【變式15-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：23+1=2(3?1)②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知ab2，ab3，求a2b2．我們可以把a(bǔ)b和ab看成是一個(gè)整體，令xab，yab，則a2b2(ab)22abx22y4610．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結(jié)果．（1）計(jì)算：13+1+15+（2）已知m是正整數(shù)，am+1?mm+1+m，bm+1+mm+1?m且2a21823ab（3）已知15+x2?【答案】（1）2019?1【分析】（1）先將式子的每一項(xiàng)進(jìn)行分母有理化，再計(jì)算即可；（2）先求出a+b,ab的值，再用換元法計(jì)算求解即可；（3）先利用15+x2?26?【詳解】解：（1）原式==3（2）∵am+1?mm+1+m，∴a+b=(∵2a21823ab2b22019，∴2(a∴a2∴4(2m+1)∴2m=±5?1，∵m是正整數(shù)，∴m=2．（3）由15+x2∴15+∵(15∵15+∴15+【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分母有理化以及利用換元思想求解，解此題的關(guān)鍵是讀懂題意．理解分母有理化的方法以及利用換元方法解題的方法．【考點(diǎn)16二次根式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例16】（2022·四川·樂(lè)山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列短文，回答有關(guān)問(wèn)題：在實(shí)數(shù)這章中，遇到過(guò)2、3;9;12;a；這樣的式子，我們把這樣的式子叫做二次根式，根號(hào)下的數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù)．如果一個(gè)二次根式的被開(kāi)方數(shù)中有的因數(shù)能開(kāi)的盡方，可以利用a?b=a?(1)請(qǐng)判斷下列各式中，哪些是同類(lèi)二次根式？2;(2)二次根式中的同類(lèi)二次根式可以像整式中的同類(lèi)項(xiàng)一樣合并，請(qǐng)計(jì)算：2+【答案】(1)2、18、150是同類(lèi)二次根式；75、127、【分析】（1）先將二次根式化簡(jiǎn)，后根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)相同即可判斷；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，后合并最簡(jiǎn)二次根式即可．【詳解】(1)75=53，18=32∴2、18、150是同類(lèi)二次根式；75、127、(2)原式=2=?21【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式的概念及二次根式的加減法，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握同類(lèi)二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．【變式16-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀理解：設(shè)m，n是有理數(shù)，且滿(mǎn)m+5n=2?35解：由題意，移項(xiàng)得：m?2+∵m，n是有理數(shù)∴m－2，n＋3也是有理數(shù)，又∵5是無(wú)理數(shù)，∴m?2=0,n+3=0，∴m＝2，n＝－3，∴nm問(wèn)題解決：設(shè)a，b都是有理數(shù)，且a2+b2【答案】－21【分析】已知等式變形后，根據(jù)a與b為有理數(shù)，確定出a與b的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：由題意，移項(xiàng)得：a2∵a，b都是有理數(shù)，∴a2?16，又∵2是無(wú)理數(shù)，∴a2?16=0，∴a=4或a=?4（舍），b=5．∵2a【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式16-2】（2022·河北·保定市清苑區(qū)北王力中學(xué)八年級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖1，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫(huà)出分割線(xiàn)并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形．小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為x(x>0)；依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有x2=5，解得請(qǐng)你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問(wèn)題：現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖4，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．

(1)請(qǐng)計(jì)算出新正方形的邊長(zhǎng)；(2)要求：在圖4中畫(huà)出分割線(xiàn)，并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新正方形．（說(shuō)明：直接畫(huà)出圖形，不要求寫(xiě)分析過(guò)程．）【答案】(1)x=(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圖4的邊長(zhǎng)求出矩形的面積．然后再求出正方形的邊長(zhǎng)；（2）根據(jù)勾股定理畫(huà)出分割線(xiàn)，然后根據(jù)網(wǎng)格畫(huà)出圖形．（1）解：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為10，由題意得x解得x=10（2）所畫(huà)圖形如圖所示：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的剪拼，關(guān)鍵是根據(jù)圖形面積計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)．【變式16-3】（2022·河南商丘·八年級(jí)期中）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+22設(shè)a+b2=m+n22（其中a、b則有a+b2∴a=m2+2這樣小明就找到了一種把類(lèi)似a+b2請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)a、b、m、n均為整數(shù)時(shí)，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分別表示a、b(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：______+______3(3)若a+43=m+n32，且a、m【答案】(1)m2+3(2)4；2；1；1(3)a=13或者a=7【分析】（1）根據(jù)小明的方法，將(m+n3)2按照完全平方公式展開(kāi)，得到m2+2mn3+3（2）任意找出一組m和n的值，預(yù)設(shè)m=1，n=1代入（1）中探索的結(jié)論中即可求出a和b的值；（3）若要求a、m、n的值，需要先求出m、n的值，根據(jù)題意可知b=2mn=4，進(jìn)而得出mn=2，再結(jié)合m、n均為正整數(shù)即可求出m、n的值，然后根據(jù)a=m2+3（1）解：若a+b3=(m+n∴a=m2+3故答案為：m2+3n（2）令m=1，n=1，由（1）可知，a=故答案為：4；2；1；1（答案不唯一）（3）由（1）可知，a=m2+3∴mn=而a、m、n均為正整數(shù)，∴m=1，n=2或者m=2，n=1，當(dāng)m=1，n=2時(shí)，a=m當(dāng)m=2，n=1時(shí)，a=m綜上，a=13或者a=7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在二次根式混合運(yùn)算中的應(yīng)用，分類(lèi)討論思想是本題的關(guān)鍵．專(zhuān)題21.2勾股定理十八大必考點(diǎn)【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1勾股數(shù)】 1【考點(diǎn)2勾股樹(shù)】 2【考點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間距離】 3【考點(diǎn)4利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度】 4【考點(diǎn)5勾股定理