2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練 95個專題 524個題型專題73 雙曲線及其標準方程-2023一輪數(shù)學講義+題型細分與精練（解析版）

專題73雙曲線及其標準方程題型一利用雙曲線定義求方程1．求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在x軸上，，；（2）焦點在x軸上，經(jīng)過點，（3）焦點為，，且經(jīng)過點．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因為焦點在x軸上，設雙曲線方程為，因為，，所以雙曲線方程為；（2）因為焦點在x軸上，設雙曲線方程為，因為經(jīng)過點，，代入可得，令，可得，解得，所以，所以雙曲線方程為：；（3）因為焦點為，，所以c=6，且交點在y軸，因為過點且經(jīng)過點，根據(jù)雙曲線定義可得，解得，又，所以雙曲線方程為：；2．相距1400m的A，B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s，已知聲速是340m/s，問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程．【答案】炮彈爆炸點在雙曲線上，方程為.【解析】以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則，設爆炸點為，則，根據(jù)雙曲線的定義可得，M在雙曲線上，且，所以，所以，所以點M的軌跡方程為：.3．一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場，如圖所示△PEF，已知，，試建立適當直角坐標系，求出分別以E，F(xiàn)為左、右焦點且過點P的雙曲線方程.【答案】=1.【解析】以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系，設以，為焦點且過點的雙曲線方程為，焦點為，．由，，，得直線和直線的方程分別為和．將此二方程聯(lián)立，解得，，即點坐標為，．在中，，上的高為點的縱坐標，由題設條件，，即點坐標為．由兩點間的距離公式，．又，故所求雙曲線的方程為．題型二雙曲線定義的應用4．已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】曲線右焦點為，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當三點共線時取到,故l=2|AF|+2a=故選B5．雙曲線16x2-9y2=144的左?右兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且|PF1|·|PF2|=64，則∠F1PF2=________.【答案】60°【解析】雙曲線方程16x2-9y2=144，可化為，∴F1(-5,0)，F(xiàn)2(5,0).設|PF1|=m，|PF2|=n，由雙曲線的定義，知|m-n|=2a=6，又m·n=64，在△PF1F2中，由余弦定理知：，∴∠F1PF2=60°.故答案為：60°.

6．已知是雙曲線的左焦點，，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為________．【答案】【解析】對于雙曲線，則，，，如下圖所示：設雙曲線的右焦點為，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，，當且僅當、、三點共線時，等號成立.因此，的最小值為.故答案為：.7．如圖，若是雙曲線的兩個焦點.（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；（2）若P是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是雙曲線的兩個焦點，則，點M到它的一個焦點的距離等于16，設點到另一個焦點的距離為，則由雙曲線定義可知，，解得或，即點到另一個焦點的距離為或；（2）P是雙曲線左支上的點，則，則，而，所以，即，所以為直角三角形，，所以.8．已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，求的最小值.【答案】9【解析】由題意可知，點在雙曲線的兩支之間，設雙曲線的右焦點為,則，由雙曲線定義，得，而，兩式相加，得，當且僅當三點共線時等號成立，則的最小值為9.題型三根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍9．若方程＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）A．(－2，2) B．(0，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】由題意，方程＝1表示雙曲線，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.10．方程表示的曲線為，下列正確的命題是（）A．曲線不可能是圓；B．若，則曲線為橢圓；C．若曲線為雙曲線，則或；D．若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則.【答案】CD【解析】①，當時為曲線C為圓,故A錯誤；②若C為橢圓得：解得：且，故B錯誤；③若為雙曲線，解得；或，故C正確；④表示焦點在軸上的橢圓，得解得，故D正確．故選：.11．已知方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則m的取值范圍是________.【答案】【解析】根據(jù)雙曲線標準方程且焦點在y軸上，∴，解得，即m的范圍為.故答案為：.題型四雙曲線的軌跡問題12．已知定點F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點，點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓【答案】B【解析】連接ON，如圖，由題意可得|ON|＝1，且N為線段MF1的中點，∴|MF2|＝2，∵點F1關于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，∴由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由雙曲線的定義可得點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線，故選：B13．已知雙曲線與直線有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點．當點M運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．如果推廣到一般雙曲線，能得到什么相應的結論？【答案】答案見解析【解析】聯(lián)立方程可得，因為有唯一公共點且，則，整理得，可解得點坐標為，即，其中，于是，過點M且與l垂直的直線為，可得，即，則，即，其中，所以點的軌跡方程是（），軌跡是焦點在軸上，實軸長為20，虛軸長為10的雙曲線（去掉兩個頂點），如果將此題推廣到一般雙曲線，直線，其它條件不變，可得點的軌跡方程是，軌跡是焦點在軸上，實軸長為，虛軸長為的雙曲線（去掉兩個頂點）.14．M是一個動點，MA與直線垂直，垂足A位于第一象限，MB與直線垂直，垂足B位于第四象限．若四邊形OAMB（O為原點）的面積為3，求動點M的軌跡方程．【答案】.【解析】設，根據(jù)題意可知點在和相交的右側區(qū)域，所以點到直線的距離，到直線的距離，即所以動點M的軌跡方程：.15．已知