2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第26講 圓的相關(guān)概念及性質(zhì)（練習(xí)）（原卷版）

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01理解圓的相關(guān)概念題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算題型03圓中的角度計(jì)算題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值題型06由垂徑定理及推論判斷正誤題型07利用垂徑定理求解題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解題型09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)題型10利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題題型11利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題題型12垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用題型13利用垂徑定理的推論求解題型14垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用題型15利用垂徑定理求取值范圍題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明題型20利用圓周角定理求解題型21利用圓周角定理推論求解題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型23利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題題型27圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí),常添加弦心距題型28圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到有直徑時(shí),常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角題型01理解圓的相關(guān)概念1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸2．（2020·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？家荒＃┫铝忻}：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②直徑是圓的對(duì)稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對(duì)的弧相等，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）①對(duì)角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；

②對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；

④半圓是弧，但弧不一定是半圓.A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④4．（2023·福建泉州·南安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋?/p>

）A．同樣長(zhǎng)度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個(gè)圓所有的直徑都相等C．圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍D．圓是軸對(duì)稱圖形題型02圓的周長(zhǎng)與面積相關(guān)計(jì)算5．（2022·山西臨汾·統(tǒng)考二模）山西著名工藝品平遙推光漆器外觀古樸雅致、閃光發(fā)亮，繪飾金碧輝煌，以手掌推出光澤而得名．圖1是平遙推光漆器的一種圖案，圖2是選取其某部分并且放大后的示意圖．四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心，12對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，四條弧相交于點(diǎn)O，則圖中陰影部分的面積為（

A．2π-4 B．π-2 C6．（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)?？家荒＃┠彻珗@計(jì)劃砌一個(gè)形狀如圖（1）所示的噴水池，后來(lái)有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認(rèn)為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無(wú)法確定7．（2019·河北張家口·統(tǒng)考一模）半徑為R、r的兩個(gè)同心圓如圖所示，已知半徑為r的圓周長(zhǎng)為a，且R-r=1，則半徑為RA．a(chǎn)+1 B．a(chǎn)+2 C．a(chǎn)+8．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）一塊含有30°角的三角板ABC如圖所示，其中∠C=90°，∠A=30°，（1）畫出邊BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形；（2）求出該圖形的面積．題型03圓中的角度計(jì)算9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則A．90° B．95° C．100° D．105°10．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，∠AOC=80°，點(diǎn)D為弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BCA．10° B．20° C．30°11．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△O'A'B，使點(diǎn)O落在⊙O上，邊A'

題型04圓中線段長(zhǎng)度的計(jì)算12．（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3

A．403 B．8 C．245 D13．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)邊AC上的點(diǎn)E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙OA．403 B．8 C．245 D14．（2022·湖北武漢·武漢第三寄宿中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將兩個(gè)正方形如圖放置（B，C，E共線，D，C，G共線），若AB＝3，EF＝2，點(diǎn)O在線段BC上，以O(shè)F為半徑作⊙O，點(diǎn)A，點(diǎn)F都在⊙O上，則OD的長(zhǎng)是（

）A．4 B．10 C．13 D．26題型05求一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值15．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接干圓O，線段MN在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若圓O的面積為2π，MN=1，△AMN

16．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O的半徑為2，點(diǎn)M在⊙O上，點(diǎn)N在線段OM上，設(shè)ON=t（1<t<2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為-4,0，將點(diǎn)P沿OM方向平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)P'，再將點(diǎn)P'作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接

17．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD交CD于點(diǎn)

18．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段BP的最小值是；當(dāng)BP取最小值時(shí)，DP延長(zhǎng)線交線段BC于E，則CE的長(zhǎng)為

題型06由垂徑定理及推論判斷正誤19．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠A．CE=EO B．C．∠OCE=45° D20．（2022·河南許昌·統(tǒng)考一模）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C．AC=BC D21．（2018·內(nèi)蒙古包頭·校聯(lián)考一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．AD題型07利用垂徑定理求解22．（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是OO的弦，AB?CD．垂足為E．若AB=26，CD=24，則∠OCE的余弦值為（

）A．713 B．1213 C．71223．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為(

)A．363 B．243 C．183 D．72324．（2022·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝°．25．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是AD所對(duì)的圓周角，則∠APD的度數(shù)是．題型08根據(jù)垂徑定理與全等/相似三角形綜合求解26．（2022·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD（1）求證：∠BAD（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC27．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）小明向如圖所示的圓形區(qū)域內(nèi)投擲飛鏢．已知△ABC是等邊三角形，D點(diǎn)是弧AC的中點(diǎn)，則飛鏢落在陰影部分的概率為28．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖AB與圓O相切于A，D是圓O內(nèi)一點(diǎn)，DB與圓相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，則圓的半徑為．29．（2022·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC＝3，AC＝4，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E30．（2021·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在半徑為32的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC?的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是題型09在坐標(biāo)系中利用勾股定理求值或坐標(biāo)31．（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點(diǎn)A0,-2，B0,4，與x軸交于C，D，則點(diǎn)DA．4-26,0 B．-4+26,0 C32．（2021·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A10,0,B8,0，點(diǎn)C,D是以O(shè)A為直徑的半圓上兩點(diǎn)，且四邊形A．2，3 B．2,4 C．1,2 D33．（2017·山東臨沂·校考一模）如圖，已知⊙A在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)D，E，若圓心A的坐標(biāo)為（-4，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-12，0），則DE的長(zhǎng)度為（）A．221 B．421 C．8 D．1634．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=6x(x>0)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心，3為半徑的圓與直線y=x相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)弦題型10利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題35．（2021·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是．36．（2022·黑龍江·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點(diǎn)G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．37．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考二模）在半徑為4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，則AB題型11利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題38．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，大圓的半徑OA交小圓于點(diǎn)D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，則AB的長(zhǎng)是39．（2019·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，兩個(gè)圓都以O(shè)為圓心，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，若AB=6，則圓環(huán)的面積為40．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓O到直線AB的距離為6，求AC的長(zhǎng)．題型12垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用41．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A，B，C，AE的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)格點(diǎn)D，則AE的長(zhǎng)為（

）A．3π4 B．π2 C．542．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O均在格點(diǎn)上，則sin

43．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，M均為格點(diǎn)，以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑作圓，點(diǎn)M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=AM44．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，且點(diǎn)A，B在圓上．（1）線段AC的長(zhǎng)等于；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，直線DF與圓交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在N的左側(cè)），畫出MN的中點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)題型13利用垂徑定理的推論求解45．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，BC=BD，∠CDB=30°，ACA．32 B．3 C．1 D．46．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC交弦AB于點(diǎn)D，若OD=3，DC=2，則AB47．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D是⊙O上兩點(diǎn)，AC=BC，連接AC，(1)如圖①，若AB=10，BD=5，求∠ABC(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若CE=CB48．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DO的延長(zhǎng)線上，連接AE．若∠

(1)求證：AE是⊙O(2)連接AC．若AC=6，CF=4，求題型14垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用49．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考二模）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB=41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）50．（2022·河南開(kāi)封·統(tǒng)考一模）中國(guó)5A級(jí)旅游景區(qū)開(kāi)封市清明上河園，水車園中的水車是由立式水輪，竹筒、支撐桿和水槽等配件組成，如圖是水車園中半徑為5m的水車灌田的簡(jiǎn)化示意圖，立式水輪⊙O在水流的作用下利用竹筒將水運(yùn)送到到點(diǎn)A處，水沿水槽AP流到田地，⊙O與水面交于點(diǎn)B，C，且點(diǎn)B，C，P在同一直線上；AP與⊙O相切，若點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為32米，立式水輪⊙O的最低點(diǎn)到水面的距離為2米，連接請(qǐng)解答下列問(wèn)題，(1)求證：∠PAC(2)請(qǐng)求出水槽AP的長(zhǎng)度．51．（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖是正在修建的某大門上半部分的截面，其為圓弧型，跨度CD（弧所對(duì)的弦）的長(zhǎng)為3.2米，拱高AB（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為0.8米．(1)求該圓弧所在圓的半徑；(2)在修建中，在距大門邊框的一端（點(diǎn)D）0.4米處將豎立支撐桿HG，求支撐桿HG的高度；52．（2021·云南大理·統(tǒng)考二模）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB=8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為，最小值為．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，在⊙O中，半徑為13，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，則CD的長(zhǎng)度題型15利用垂徑定理求取值范圍53．（2020·山東泰安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤554．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的弦AB=8，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，若⊙O的直徑是10，則OP55．（2023·浙江金華·?？家荒＃┰阡J角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，設(shè)BC邊上的高為h，則h的取值范圍是．56．（2022·湖南長(zhǎng)沙·校考二模）在半徑為5的圓中，弦AB=8，點(diǎn)C是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)（可與A、B重合），連接OC交AB于點(diǎn)P(1)如圖1，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，求(2)如圖2，過(guò)C點(diǎn)作CM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，設(shè)CM=m，求OP的長(zhǎng)度（用含(3)如圖3，設(shè)CM=m，連接OM．求題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤57．（2020·安徽蕪湖·校聯(lián)考三模）在⊙O中，M為AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．AB＞2AM B．AB＝2AMC．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定58．（2018·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點(diǎn)，OC，OD交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．OE＝OF B．弧AC=弧BD C．AC＝CD＝DB D．CD∥AB59．（2018·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD，垂足為M，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A．AC＝CD B．OM＝BM C．∠A＝12∠BOD D．∠A＝12題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求解60．（2022·福建泉州·一模）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A．33 B．32 C．3 D61．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）將一張正方形的透明紙片ABCD和⊙O按如圖位置疊放，頂點(diǎn)A、D在⊙O上，邊AB、BC、CD分別與⊙O相交于點(diǎn)E、F、G、HA．AD=AE BC．AF=DG D62．（2022·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中點(diǎn)，P是直徑A．4 B．5 C．6 D．763．（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠B=90°，⊙O過(guò)點(diǎn)A、C，與AB交于點(diǎn)D，與BC相切于點(diǎn)C，若∠64．（2022·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓直徑AB=2，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么△CBD的面積為題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值65．（2022·山東棗莊·校考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為弧BC的中點(diǎn)，E是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CE+DE最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．266．（2022·安徽淮南·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點(diǎn)D．點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OB=2，則67．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊ΔABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，連接BE，AF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值為題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明68．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在⊙O中，AB＝BC＝CD，OC與（1）AD∥BC（2）四邊形BCDE為菱形．69．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）如圖，A、B是圓O上的兩點(diǎn)，∠AOB=120°，C是(1)求證：AB平分∠OAC(2)延長(zhǎng)OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=170．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點(diǎn)E，連接OE

(1)求證：BE=(2)如果⊙O的半徑為5，AD⊥CB71．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，E為⊙O外一點(diǎn)，AB平分∠(1)求∠AEB(2)連接CE，求證：2B題型20利用圓周角定理求解72．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)A的切線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠BAD=35°，則∠73．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，則圖中陰影部分的面積是74．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是．75．（2022·江西·校聯(lián)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點(diǎn)，連接AC、BC，OD⊥BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD、AD，AD與BC交于點(diǎn)F，CG與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA題型21利用圓周角定理推論求解76．（2023·江蘇蘇州·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，77．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，則∠D的度數(shù)是．78．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得AB=12cm，BC=5cm，則圓形鏡面的半徑為．

79．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D(1)求證：BD=(2)若⊙O與AC相切，求∠B(3)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點(diǎn)E．（不寫作法，保留作圖痕跡）題型22已知圓內(nèi)接四邊形求角度80．（2021·重慶南岸·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°81．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE=64°，那么∠BOD

A．128° B．64° C．32° D．116°82．（2022·河北石家莊·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓交于點(diǎn)D，則圖中與∠EAD相等的角(不包括∠題型23利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值83．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且半徑為5的⊙O與AB交于D

A．6.4 B．7 C．7.2 D．884．（2022·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，BC和DE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)

(1)若∠ABC=20°，則∠(2)若BE=BD，則tan85．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥CE交△ACE的外接圓于點(diǎn)F(1)求證△CFA(2)當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到A時(shí)，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_____．題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明86．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=CD，過(guò)D作DE⊥

(1)若AB為直徑，證明：DE是⊙O(2)若AB不是⊙O的直徑，如圖2，DE交⊙O于點(diǎn)F①求證：CDBF②若AB=BC+87．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作⊙O的割線交⊙O于點(diǎn)C，D，BH⊥CD

(1)①在圖1的情形下，證明：BC?②當(dāng)點(diǎn)P處于圖2中的位置時(shí)，①中的結(jié)論___________（填“仍成立”或“不再成立”）；(2)若⊙O的半徑為3，當(dāng)∠APC=30°且BC88．（2022·山西大同·校聯(lián)考三模）閱讀與思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家、靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，留給后人的最有價(jià)值的書是《阿基米德全集》．在該書的“引理集”中有這樣一道題：如圖1，以AB為直徑作半圓O，弦AC是一個(gè)內(nèi)接正五邊形的一條邊（即：∠AOC=72°），點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)與直徑BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接AC,DB交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥下面是勤奮小組的部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)∵∠AOC∴∠ABC=1∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=∵∠AOC∴∠AOD∴∠ABD=∠CBD∵以AB為直徑作半圓O，∴∠ACB=∠ADB∴∠BCD∵四邊形ABCD是半圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD=180°-∠DCB∵∠ADE∴∠ADE∵FM⊥AB于點(diǎn)∴FM=∵BF=∴△BCF∵BC=∵BC=∴△BCD∴DC=……通過(guò)上面的閱讀，完成下列任務(wù)：(1)任務(wù)一：直接寫出依據(jù)1，依據(jù)2，依據(jù)3和依據(jù)4；(2)任務(wù)二：根據(jù)勤奮小組的解答過(guò)程完成該題的證明過(guò)程．（提示：先求出∠A題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問(wèn)題89．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將BC沿BC翻折交AB于點(diǎn)D．再將BD沿AB翻折交BC于點(diǎn)E．若BE=DE，設(shè)∠ABCA．21.9°<α<22.3° BC．22.7°<α<23.1° D90．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，AB、AC是⊙O的弦（不是直徑），將AB沿AB翻折交AC于點(diǎn)D．若AB=AC，AD91．（2023·安徽淮南·校聯(lián)考一模）如圖，已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C(1)如圖①，將AC沿弦AC翻折，交AB于D，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=23，則⊙O的半徑為(2)如圖②，將BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直徑AB翻折，交BC于點(diǎn)E．（Ⅰ）若點(diǎn)E恰好是翻折后的BD的中點(diǎn)，則∠B的度數(shù)為（Ⅱ）如圖③，連接DE，若AB=10，OD=1，求線段題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題92．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，延長(zhǎng)BA與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，已知PD=12AB，下列結(jié)論：①若CD?=AD?+BC?，則AB=2CD；②若∠B=60°，則∠P=20°；③若∠P=30°，則PAPD=3?1；④ADA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④93．（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AC=8，B為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)為DE①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．94．（2020·湖南岳陽(yáng)·?？级＃┤鐖D所示，MN是⊙O的直徑，作AB⊥MN，垂足為點(diǎn)D，連接AM，AN，點(diǎn)C為AN上一點(diǎn)，且AC=AM，連接CM，交AB于點(diǎn)E，交AN于點(diǎn)F，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠MAN=90°；②AM=BM題型27圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí),常添加弦心距95．（2022·貴州銅仁·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，且∠APC=45°，若PC296．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O的半徑是3，點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為題型28圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到有直徑時(shí),常添加（畫）直徑所對(duì)的圓周角97．（2022·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校聯(lián)考一模）圖，點(diǎn)A1,2、點(diǎn)B都在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，當(dāng)以O(shè)B為直徑的圓經(jīng)過(guò)98．（2023·黑龍江雞西·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°

99．（2018·湖南張家界·校聯(lián)考一模）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD=°．一、單選題1．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

A．2 B．5 C．6 D．82．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過(guò)圓心O的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述正確的是（

）A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形3．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm4．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D

A．8 B．4 C．3.5 D．35．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋC），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC=3003m

A．300πm B．200πm C．6．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=50°，則∠

A．20° B．40° C．50° D．80°7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，半徑OA,OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC=19°

A．23° B．24° C．25° D．26°8．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，連接OB，IA．若∠CAI=35°，則

A．15° B．17.5° C．20° D．25°9．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE=65°，則∠

A．65° B．115° C．130° D．140°10．（2022·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，與BC相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，則∠BEC=120°；③若點(diǎn)G為A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，則CFAF=45；④在△A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空題12．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn)，把Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得Rt△AFD，點(diǎn)C，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，點(diǎn)13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，以點(diǎn)C