2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第五講 幾何測(cè)量問題（題型突破+專題精練）（解析版）

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一全等測(cè)距1．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在BE的異側(cè)，如果測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，則FC的長(zhǎng)度為m．【答案】4【解析】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14m﹣5m﹣5m＝4m；故答案為：4．【總結(jié)】：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B兩點(diǎn)的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B兩點(diǎn)的C，連接AC并延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD＝CA，連結(jié)BC并延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝CB，連接DE，那么量出的長(zhǎng)就等于AB的長(zhǎng)．這是因?yàn)榭筛鶕?jù)方法判定△ABC≌△DEC．【解析】解：量出DE的長(zhǎng)就等于AB的長(zhǎng)．這是因?yàn)榭筛鶕?jù)SAS方法判定△ABC≌△DEC．故答案為：DE，SAS．總結(jié)：本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．小明家門前有一條小河，村里準(zhǔn)備在河面上架上一座橋，但河寬AB無法直接測(cè)量，愛動(dòng)腦的小明想到了如下方法：在與AB垂直的岸邊BF上取兩點(diǎn)C、D使CD＝CB，再引出BF的垂線DG，在DG上取一點(diǎn)E，并使A、C、E在一條直線上，這時(shí)測(cè)出線段DE的長(zhǎng)度就是AB的長(zhǎng)．（1）按小明的想法填寫題目中的空格；（2）請(qǐng)完成推理過程．【解析】解：（1）在與AB垂直的岸邊BF上取兩點(diǎn)C、D使CD＝CB，再引出BF的垂線DG，在DG上取一點(diǎn)E，并使A、C、E在一條直線上，這時(shí)測(cè)出線段DE的長(zhǎng)度就是AB的長(zhǎng)．故答案為：CB，DE；（2）由題意得DG⊥BF，∴∠CDE＝∠CBA＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．4．要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上（如圖所示），可以說明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此測(cè)得ED的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，請(qǐng)你運(yùn)用自己所學(xué)知識(shí)說明他們的做法是正確的．【解析】證明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠BDE又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA），∴DE＝BA．總結(jié)：本題考查了全等三角形的判定方法；需注意根據(jù)垂直定義得到的條件，以及隱含的對(duì)頂角相等，觀察圖形，找著隱含條件是十分重要的．5．某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東方向上．（1）求A，P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？【答案】（1）；（2）海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域【分析】(1)如圖1,作，交AB的延長(zhǎng)線于C，利用等腰直角三角形PBC,含30°角的直角三角形APC計(jì)算即可;(2)作差比較x與r的大小，判斷有危險(xiǎn)；以P為圓心，半徑r為作圓，作圓的切線計(jì)算∠PBD的大小，從而得到∠CBD的大小，從而判斷即可.【詳解】解：（1）如圖1，作，交AB的延長(zhǎng)線于C，由題意知：，．設(shè)：則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意，；（2），．因此海監(jiān)船繼續(xù)向東航行有觸礁危險(xiǎn)；設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線BD，以為圓心，為半徑作圓，過作圓P的切線交于點(diǎn)D，∴∠PDB=90°，由（1）得：∴，∴∠PBD=60°，∴∠CBD=15°，∴海監(jiān)船由B處開始沿南偏東小于的方向航行能安全通過這一海域．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，圓的切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活解直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型二相似測(cè)距6.在同一時(shí)刻，物體的高度與它在陽光下的影長(zhǎng)成正比．在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為的竹竿的影長(zhǎng)為，某一高樓的影長(zhǎng)為，那么這幢高樓的高度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)此高樓的高度為x米，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比列出關(guān)于x的比例式，求出x的值即可．【解析】解：設(shè)這幢高樓的高度為米，依題意得：，解得：．故這棟高樓的高度為36米．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，小明探究課本“綜合與實(shí)踐”板塊“制作視力表”的相關(guān)內(nèi)容：當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)視力表中最大的“”字高度為，當(dāng)測(cè)試距離為時(shí)，最大的“”字高度為（）mmA． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得、，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，通過相似比計(jì)算，即可得到答案．【解析】根據(jù)題意，得，且∴∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．8.如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋牵唬?）量得測(cè)角儀的高度；（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】延長(zhǎng)CE交AB于F，得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的長(zhǎng)和已知的角的度數(shù)，利用正切函數(shù)可求得AF的長(zhǎng)，從而可求出旗桿AB的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)CE交AB于F，如圖，根據(jù)題意得，四邊形CDBF為矩形，∴CF=DB=b，F(xiàn)B=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=∴AF=,AB=AF+BF=，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了利用了直角三角形的邊角關(guān)系來解題，通過構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答此類題目的關(guān)鍵所在．9．一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個(gè)小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)測(cè)得FG＝3m，這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D，在D處安置一高度為1m的測(cè)角儀CD，此時(shí)測(cè)得樹頂A的仰角為30°，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF＝1.5m，點(diǎn)B，D，G，F(xiàn)在同一水平直線上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求這棵古樹AB的高．（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（9＋4）m【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由銳角三角函數(shù)定義求出BD＝CH＝AH，再證△EFG∽△ABG，得，求出AH＝（8＋4）m，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，則CH＝BD，BH＝CD＝1m，由題意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴，即，解得：AH＝（8＋4）m，∴AB＝AH＋BH＝（9＋4）m，即這棵古樹的高AB為（9＋4）m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明△EFG∽△ABG是解題的關(guān)鍵．10.如圖，一艘輪船以每小時(shí)30海里的速度自東向西航行，在處測(cè)得小島位于其西北方向（北偏西方向），2小時(shí)后輪船到達(dá)處，在處測(cè)得小島位于其北偏東方向．求此時(shí)船與小島的距離（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）．【答案】此時(shí)船與小島的距離約為44海里【解析】【分析】過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由已知分別求PB、BH、AH，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)求出x值即可求解【詳解】如圖，過P作PH⊥AB，設(shè)PH=x，由題意，AB=60，∠PBH=30o，∠PAH=45o，在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，∴tan30o=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），答：此時(shí)船與小島的距離約為44海里．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．11．如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對(duì)面大廈MN的頂端M，無人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測(cè)得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹的高度為6米，且，樓AB，MN，樹EF均垂直于地面，問：無人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】38米【分析】過作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過作于，如圖所示：則，，，，由題意得：，，，，，，，，在中，，，在中，，，即無人機(jī)飛行的距離約是．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明是解題的關(guān)鍵．題型三銳角三角函數(shù)測(cè)距12．如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)處，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋阎逼碌男泵嫫露?，且點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔的高度是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】過作于，于，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解直角三角形的應(yīng)用坡角坡度問題，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為的處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)出界處俯角為，無人機(jī)垂直下降至處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界處俯角為，則，之間的距離為（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．小明用一塊含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺測(cè)量校園內(nèi)某棵樹的高度，示意圖如圖所示，若小明的眼睛與地面之間的垂直高度AB為1.62m，小明與樹之間的水平距離BC為4m，則這棵樹的高度約為___m．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：1.73）

【答案】8.5【分析】先根據(jù)題意得出AD的長(zhǎng)，在Rt△AED中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，由CE＝CD+DE即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.62m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，在Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，∴DE＝AD?tan60°＝4×＝4（m），∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）答：這棵樹的高度約為8.5m．故答案為：8.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．15．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開展“探索生活中的數(shù)研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡的長(zhǎng)是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測(cè)得路燈項(xiàng)端處的俯角是．試求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】96米【分析】延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長(zhǎng)，得出AN的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大樓的高度約為96米.【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．16．在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底的長(zhǎng)為8米，在處測(cè)得樹頂部的仰角為，在處測(cè)得樹頂部的仰角為，求樹高．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長(zhǎng)，在直角△DCE中表示出CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：作于點(diǎn)，設(shè)米，在中，，則（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，則米．答：的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．17．如圖，某校教學(xué)樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長(zhǎng)為12米，坡角α為60°．根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時(shí)，才能避免滑坡危險(xiǎn)．學(xué)校為了消除安全隱患，決定對(duì)斜坡CD進(jìn)行改造，在保持坡腳C不動(dòng)的情況下，學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)多少米才能保證教學(xué)樓的安全？（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）【答案】7【分析】假設(shè)點(diǎn)D移到D′的位置時(shí)，恰好∠α=39°，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作D′E′⊥AC于點(diǎn)E′，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出DE、CE、CE′的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】假設(shè)點(diǎn)D移到D’的位置時(shí)，恰好∠α=39°，過D點(diǎn)作DE⊥AC于E點(diǎn)，作D’E⊥AC于E’∵CD=12，∠DCE=60°∴DE=CD·sin60°=6，CE=CD·cos60°=6∵DE⊥AC，D’E’⊥AC，DD’∥CE’∴四邊形DEE’D’是矩形∴DE=D’E’=6，∵∠D’CE’=39°∴CE′=≈13∴EE′=CE′﹣CE=13﹣6=7（米）．即答：學(xué)校至少要把坡頂D向后水平移動(dòng)7米才能保證教學(xué)樓的安全．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)，，，在點(diǎn)處測(cè)得天線頂端的仰角為，從點(diǎn)走到點(diǎn)，測(cè)得米，從點(diǎn)測(cè)得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不難算出A與C之間的距離．（2）根據(jù)題意，在中，，利用三角函數(shù)可算出AE的長(zhǎng)，又已知AB，故EB即可求解．【詳解】（1）依題意可得，在中，，米，米，米.即之間的距離為30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精確到整數(shù)可得米．即天線的高度約為27米．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測(cè)得鐵塔頂部C的仰角