控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

關于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性2一、介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本出發(fā)點二、系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件本章內(nèi)容三、代數(shù)判據(jù)（Routh、Hurwitz判據(jù)）四、Nyquist判據(jù)的基本原理和方法，Bode判據(jù)五、相對穩(wěn)定性的概念六、掌握相位裕量和幅值裕量的概念及計算方法明確重點掌握第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3

穩(wěn)定的定義：

若一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，經(jīng)過充分長的時間，這個系統(tǒng)又能夠以一定的精度逐漸恢復到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。5-1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎概念第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外部和內(nèi)部的擾動，如火炮射擊時，施加給隨動系統(tǒng)的沖擊負載；雷達天線跟蹤時，突然遇到陣風。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制的基本任務。第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5注意事項：1.線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否，取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無關。2.穩(wěn)定性也與外加擾動無關。第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天6一般反饋系統(tǒng)的傳函為：二、穩(wěn)定條件設分母=0，可得出系統(tǒng)的特征方程：第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天7(一)穩(wěn)定條件：系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定于特征方程。只要指出特征方程的根落在[s]復平面的左半部分，系統(tǒng)即是穩(wěn)定的。(二)分析線性穩(wěn)定的條件：

設線性系統(tǒng)在初始條件為0時，輸入一個理想單位脈沖函數(shù)

，這時系統(tǒng)的輸出是單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡點的情形。

若線性系統(tǒng)的單位脈沖響應函數(shù)隨時間的推移趨于0，即：，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天8若或等幅振蕩臨界穩(wěn)定狀態(tài)。但由于參數(shù)變化等原因，等幅振蕩不能維持不穩(wěn)定。L可知，要滿足，只有當特征根全部為負實部第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天9

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定系統(tǒng)的特征方程根必須全部具有負實部，反之，若特征根中有一個以上具有正實部時，則系統(tǒng)必不穩(wěn)定?；蛳到y(tǒng)傳函的極點全部位于[s]復平面的左半部。若有部分閉環(huán)極點位于虛軸上，而其余極點全在[s]平面左半部時，便會出現(xiàn)前邊所述的臨界穩(wěn)定性狀態(tài)，系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)，從設計角度不可?。ê苋菀邹D(zhuǎn)化為不穩(wěn)定系統(tǒng)）。第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天101.直接計算或間接得知系統(tǒng)特征方程式的根（直接求解）直觀，對高階系統(tǒng)是困難的2.通過系數(shù)和特征根的關系（勞斯判據(jù)）為此，不必解出根來，而能決定系統(tǒng)穩(wěn)定性的準則就具有工程實際意義。三、判別穩(wěn)定性的方法第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天11線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定全部特征根均具有負實部。只有求出全部極點判穩(wěn)但階次往往較高（實際工程中），不使用計算機直接求根較困難（n>4），這樣就提出了各種不解特征方程的根，只討論特征根的分布，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。[1884，Routh提出的Routh判據(jù)；1895，Hurwitz提出Hurwitz判據(jù)]5-2.Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)

【Hurwitz（赫爾維茲）】第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天121、必要條件：設系統(tǒng)的特征方程為：一、勞斯判據(jù)第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天13第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天14由上式可知，要使全部特征根均具有負實部，必須滿足如下2個條件：(1)特征方程的各項系數(shù)ai(i=0,…,n)不等于0.(2)特征方程的各項系數(shù)ai(i=0,…,n)符號都相同，一般ai>02.充要條件：Routh陣列中第一列所有項均為正，且值不為0第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天15Routh陣列表第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天16系數(shù)Ai、Bi的計算，一進行直到其余Ai、Bi…等于0為止。第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天17這種計算一直進行到最后一行被算完為止，S0行僅有一項且F1=a0。為簡化數(shù)值運算，可用一個正整數(shù)去乘或除某一整行的所有元素。Routh判據(jù)還說明：實部為正的特征根數(shù)等于Routh陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天18解：ai>0滿足必要條件例1.設控制系統(tǒng)的特征方程式為：

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Routh陣列：由第一列看出：全為正值，故穩(wěn)定。第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天19……………….符號改變一次例2.

由第一列看出，改變符號2次，說明閉環(huán)系統(tǒng)又2個正實部的根，故不穩(wěn)定。解：……………….符號改變一次第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天20對于特征方程階次低(n≤3)的系統(tǒng)，Routh判據(jù)可化為不等式組的簡單形式。二階系統(tǒng)：所以，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：

ai>0第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天21三階系統(tǒng)：所以，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：ai>0且第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天22例3.設某反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳函：特征方程為：第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天233.Routh判據(jù)的特殊情況(1)若在Routh陣列表中任意一行的第1個元素為0，而后各元素不為0，則在計算下一個元素時趨于無窮，將無法進行下去。此時可用ε趨于0代替，再計算。例4：因為第1例各元素符號不完全一致，系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列各元素改變次數(shù)為2，所以有2個具有正實部的根。第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天24例5：第一列中除ε外均為正，所以沒有正實部的根，

行為零，說明有虛根存在。實際上：，臨界穩(wěn)定。第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天25若在Routh陣列表中，某行的各元素全部為0，可利用改行的上一行的元素構成一個輔助多項式，并利用這個多項式方程的導數(shù)的系數(shù)組成表中的下一行，然后繼續(xù)往下做。第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天26例6：

輔助多項式：對A(s)進行求導：第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天27從表中可知：第1例系數(shù)無變號，說明系統(tǒng)無右根。但因為S3輔行的各項系數(shù)全為0，說明虛軸上有共軛虛根。輔助方程：系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天28設系統(tǒng)特征方程為：二、Hurwitz判據(jù)各系數(shù)排成如下的nxn階行列式：第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天29系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：主行列式△n條及其對角線上各子行列式△1△2

…△（n-1）均具有正值。二、Hurwitz判據(jù)即：由于這個行列式直接由系數(shù)排列而成，規(guī)律簡單而明確，使用也較方便。但對六階以上的系統(tǒng)，由于行列式計算麻煩，較少用。第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天30例7：

所以該系統(tǒng)穩(wěn)定。第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天31Routh判據(jù)和Hurwitz判據(jù)都是用特征根與系數(shù)的關系來判斷穩(wěn)定性的，他們之間有一致性。又稱Routh—Hurwitz判據(jù)（代表判據(jù)）。但：其對于帶延遲環(huán)節(jié)等系統(tǒng)形成的超越方程無能為力局限性而Nyquist判據(jù)能判別帶延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性應用廣泛第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天§5.3Nyqwist穩(wěn)定性判據(jù)1932年H.Nyqwist提出穩(wěn)定判據(jù)，1940年后得到廣泛應用。利用開環(huán)系統(tǒng)的Nyqwist圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾何判據(jù)無需求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，而通過分析法或頻率特性實驗法得開環(huán)頻率特性曲線分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。進而第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天33這種方法在工程上獲得了廣泛的應用，因為：（一）當系統(tǒng)某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無法用分析法描述時，可通過實驗來獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性曲線；整個系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線也可利用實驗獲得，這樣，就可分析系統(tǒng)閉環(huán)后的穩(wěn)定性。第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天（二）Nyqwist判據(jù)可解決代數(shù)判據(jù)不能解決的諸如包含延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。（三）Nyqwist判據(jù)還能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲備，即：系統(tǒng)相對穩(wěn)定性定量指標，以及進一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑。第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天35閉環(huán)控制系統(tǒng)的一般形式：其開環(huán)傳函為：第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天36開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

把閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助函數(shù)，記作F(s)，F(xiàn)(s)仍是復變量s的函數(shù)。=1+Gk(s)第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天37

顯然，輔助函數(shù)和開環(huán)傳函之間只相差1。F(s)可改寫為：F(s)具有如下特征：

1）其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；2）F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。式中，zi和pi分別為F(s)的零點和極點。第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天

當一動點S在[S]上沿一封閉曲線按順時針轉(zhuǎn)一周，只需曲線不經(jīng)過的極點和零點，則在像平面上的像繞原點按順時針轉(zhuǎn)N周。若Z和P分別為包含在內(nèi)的的零點和極點的個數(shù)。則：N=Z-P—幅角原理簡要說明：根據(jù)復數(shù)性質(zhì)：兩個復數(shù)積的幅角=它們幅角的和5.3.1.幅角原理（cauchy定理）第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天假設封閉曲線內(nèi)只含一個零點動點S按順時針方向沿封閉曲線轉(zhuǎn)一周，S點在其像平面上的像軌跡的情況可通過幅角變化來判斷。第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天復數(shù)和在[S]平面上的向量分別由和指向S若動點S按順時針沿轉(zhuǎn)一周，只有向量的幅角變化是，即其余均是0.說明向量端點的軌跡按順時針方向繞[F]平面原點轉(zhuǎn)一周。第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天41同理：若在[S]平面上的封閉曲線內(nèi)含有的一個極點，當動點S按順時針沿轉(zhuǎn)一周，則向量端點的軌跡按逆時針方向繞[F]平面原點轉(zhuǎn)一周。所以若在[S]平面上的封閉曲線內(nèi)含有的P個極點和Z個零點，當動點S按順時針沿轉(zhuǎn)一周，向量端點的軌跡按順時針方向[F]平面原點轉(zhuǎn)的周數(shù)為N=Z-P.第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5.3.1Nyqwist穩(wěn)定判據(jù)1.在平面上的Nyqwist穩(wěn)定判據(jù)現(xiàn)在把動點S在[S]平面上的軌跡擴大到整個[S]平面的右半邊：讓動點S沿[S]虛軸由，再以為半徑順時針轉(zhuǎn)半個圈回到，這樣畫出的包含了整個[S]的右半平面，稱此封閉路徑為Nyqwist路徑。第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天若一個系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則其在整個[S]平面的右半邊極點，即F(S)在[S]右邊無零點Z=0.此時，若F(S)在[S]的右邊P個極點（即：在[S]右邊有P個極點）則：若動點S沿路徑一圈，則其像軌跡必將在平面內(nèi)逆時針繞原點P圈。第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天Nyqwist穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)在[S]平面的右半邊有P個極點，當動點S沿Nyqwist路徑順時針轉(zhuǎn)一圈時，其像軌跡在平面內(nèi)逆時針繞原點轉(zhuǎn)P圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定。2.在平面上的Nyqwist穩(wěn)定性判據(jù)。將,

,平面是將平面的虛軸向右移1個單位.第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天45[GH]平面上的點就是平面上的原點.所以在平面上繞轉(zhuǎn)N圈=在平面上包圍原點轉(zhuǎn)N圈。分母的階數(shù)n不小于分子的階數(shù)第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天以為半徑在[S]平面右半邊畫半圓弧時，在[GH]平面上的像只是一個點，一個點對包圍點來說不產(chǎn)生影響，所以動點S沿Nyqwist路徑順時針轉(zhuǎn)一圈，只考慮的映射即可。第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天Nyqwist穩(wěn)定判據(jù)：若系統(tǒng)在[S]平面的右半邊有個P個極點，當由時，在平面[GH]上的像軌跡繞點逆時針轉(zhuǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因為像是對稱的，故可只畫出所對應的像軌跡若此像軌跡繞點逆時針轉(zhuǎn)的圈數(shù)則系統(tǒng)穩(wěn)定。第47頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三.Nyqwist應用舉例1.開環(huán)傳函中無S=0的極點。Eg1.一閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：在[GH]面上的像包圍點逆時針轉(zhuǎn)一圈，如圖示，試問此閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。第48頁,共55頁，2024年2月25日，星期天49在GH平面上開環(huán)極坐標圖在

=0時，小半圓映射到GH平面上是一個半徑為無窮大，從

=0

到

=0+順時針旋轉(zhuǎn)N?180°的大圓弧。如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。0+2.開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

由于開環(huán)極點因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種情況下，不能直接應用奈氏判據(jù)。

j

0

如果要應用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根。因此，在數(shù)學上作如下處理：在平面上的s=0鄰域作一半徑無窮小的半圓，繞過原點。0

第49頁,共55頁，2024年2月25日，星期天50用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)，知p=0

（2）作開環(huán)極坐標圖起點：Gk(j0)=

90

終點：Gk(j

)=0

270

與坐標軸交點：例

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為令虛部=0，得，第50頁,共55頁，2024年2月25日，星期天51系統(tǒng)的開環(huán)極坐標圖如圖示：N=

2

z=p

N=2

∴閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當ImRe0

=0+

增補線

1

=0-R=0

z=p

N=0

∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當所作的增補線如虛線所示。>

1第51頁,共55頁，2024年2月2