2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)分組與分配問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)

分組與分配問題一、不同元素的分組與分配問題:分組問題：將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組

分組問題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分配問題：n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象

可按定額分配和隨機(jī)分配分類，也可按定向分配和不定向分配分類，

分組問題和分配問題的區(qū)別：

（1）分組問題中組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；

（2）分配問題即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因分配對(duì)象不同，仍然是可區(qū)分的。

（3）分組問題只需要將不同的元素分開即可；

（4）分配問題需要確定不同元素的歸屬。

（5）對(duì)于分組問題，均勻的分組需要除序；

（6）對(duì)于分配問題，要先分組再分配；

（7）對(duì)于指定每組人數(shù)的分配問題，直接給每組選人即可。1、非平均分組

所謂“非平均分組”是指將所有元素分成元素個(gè)數(shù)彼此不相等的組。例1.七個(gè)人參加義務(wù)勞動(dòng)，按下列方法分組有多少種不同的分法？（1）分成三組，分別為1人、2人、4人；（2）選出5個(gè)人再分成兩組，一組2人，另一組3人。

2、平均分組“平均分組”是指將所有元素分成所有組元素個(gè)數(shù)相等的組。例2.從7個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)的人中，選出6個(gè)人，分成兩組，每組都是3人，有多少種不同的分法？分析：記7個(gè)人為a、b、c、d、e、f、g寫出一些組來(lái)考察下表選3人再選3人分組方法種數(shù)abcdefdefabc這兩種只能算一種分法abcdegdegabc這兩種只能算一種分法………………

選2個(gè)再選2又選2個(gè)剩下四個(gè)分組方法數(shù)ababcdcdefefcdefabefabcdefcdefabcdabghijghijghijghijghijghij

…………………………3、部分平均分組“部分平均分組”是指將所有元素分成部分組元素個(gè)數(shù)相等的組。分析：記十個(gè)零件為a、b、c、d、e、f、g、h、i、j寫出一些組來(lái)考察表2

例3.將十個(gè)不同的零件分成四堆，每堆分別有2個(gè)、2個(gè)、2個(gè)、4個(gè)，有多少種不同的分法？4、編號(hào)（定向）分組（分配）（1）.非平均編號(hào)（定向）分組（分配）例4.從7個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)的人中選出2人一組、3人一組，輪流挖土、運(yùn)土，有多少種分組方法？

（2）.部分平均編號(hào)（定向）分組（分配）例5.有5本不同的書全部分給3人，每人至少一本，有多少種不同的分法？

分析：5本不同的書全部分給3人有兩類情況，①將書分成3本、1本、1本三組，②將書分成2本、2本、1本三組，實(shí)戰(zhàn)演練：有6本不同的書按下列方式分配或分組,問:共有多少種不同的分配方法?(1)分給甲、乙、丙三人甲得1本,乙得2本,丙得3本;(2)分成1本、2本、3本三組;定向定額不等分分配問題不定向定額不等分分組問題(3)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人1本,一個(gè)人2本,一個(gè)人3本;定向不等分隨機(jī)分配問題先分組再分配(4)分成三組,每組都是2本;平均分組問題：倍除法（去重復(fù)法）平均分組問題：先分組再除以分組數(shù)全排列數(shù)(5)分給甲、乙、丙三人,每個(gè)人2本;(6)分成三組,一組4本,另外兩組各1本;

定向定額等分分配問題局部等分分組問題(7)分給甲、乙、丙三人,其中一個(gè)人4本,其余一人1本;(8)甲得1本,乙得1本,丙得4本;定向不定額局部等分分配問題定向定額局部等分分配問題

(9)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種分法？

定向隨機(jī)分配問題(10)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人至少1本.二、相同元素的分組問題:相同元素的分組問題—隔板法相同元素分給不同對(duì)象，采用隔板法進(jìn)行求解：

隔板法：就是在n個(gè)元素形成的n-1個(gè)空中插入m-1個(gè)隔板,可以把n個(gè)元素分成m組的方法。隔板法一共有三種題型：①標(biāo)準(zhǔn)型②多分型③少分型后兩種都是化為“標(biāo)準(zhǔn)型”來(lái)解題，例6.老徐計(jì)劃把6個(gè)蘋果分給4位同學(xué)，每位同學(xué)至少1個(gè),則共有多少種分法

①標(biāo)準(zhǔn)型需要同時(shí)滿足的3個(gè)要求：(1)這n個(gè)元素必須無(wú)差別（互不相異、相同），(2)分成的組彼此相異。(3)每個(gè)對(duì)象至少分得一個(gè)元素，

②多分型需要同時(shí)滿足的3個(gè)要求：(1)這n個(gè)元素必須無(wú)差別，(2)n個(gè)元素分給m個(gè)不同的對(duì)象（n>m），(3)每個(gè)對(duì)象至少分k個(gè)元素（k>1）。例7某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給三個(gè)部門,每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料,則共有(

)種不同的發(fā)放方法.A.7

B.8

C.10

D.12

E.14

③少分型需要同時(shí)滿足的3個(gè)要求：(1)這n個(gè)元素必須無(wú)差別，(2)n個(gè)元素分給m個(gè)不同的對(duì)象（n>m），(3)允許有