2023年高考數(shù)學(xué)客觀題十一 圓錐曲線

專題H錐曲線

【考試內(nèi)容】橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程;橢圓的簡單幾何性質(zhì)；雙曲線

及其標(biāo)準(zhǔn)方程;雙曲線的簡單幾何性質(zhì);拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程;拋

物線的簡單幾何性質(zhì)

【近7年全國卷考點統(tǒng)計】

試卷類型2016201720182019202020212022

全國卷（甲通一510101051010

全國卷（乙卷）510510101010

新高考全國1010

新高考全國∏才1010

重要考點回顧

一、橢圓知識點

______________??______________

］定義］平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于

_____________尸I%。的點的軌跡叫橢圓?_____________

y

y

[,小

I圖象］T?S?42rI

OU*OKX

I飛V

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程―y÷?-—1(。>/?>0)—y÷=I(Q>Z?>0)

abba

范圍________IxIWQjyl劭________________∣χ∣≤?一區(qū)。________

頂點與

4(-Q,O),A2(a,O),長軸長=2QAI（O,-〃）閆2（。，〃），長軸長二2〃

長短軸

Bl(O,-份12(0力),短軸長=2。3（瓦0）,43,0）,短軸長=28

的長

隹占≡-c,0),F2(C9O)

八、、八、、F1(O9-C)9F2(O9C)

焦距尸1&I=2c(其中c2=a2-b2)尸1^2∣=2c(其中N=Q2功2)

離心率e=-(0<e<l)τ~=Vl-β2(e越小,橢圓越近似于圓)

_____Cla________________________________

對稱性橢圓都是關(guān)于Zy軸成軸對稱,關(guān)于原點成中心對稱

橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形,其周長為

隹八、占、八二、、-

2Q+2G解題中常用余弦定理和勾股定理來進(jìn)行相關(guān)的

角形

________________________τW________________________

焦點弦橢圓的一焦點與過另一焦點的弦組成的三角形,

三角形______________________其周長為4〃_____________________

二、雙曲線知識點

范圍________∣χ∣≥α,yWR_____________χ^R,lyl≥α_____

頂點與&（-七0）隊2（。，。），實軸長=2αAl（O,-α）√42（0,a）,實軸長二2〃

實虛軸虛軸長=2"時叫等軸雙虛軸長=2b,0=b時叫等軸雙

的長___________?_____________________?__________

隹占

八、、八、、F1(-c,O),F2(C9O)Fi(O9-C)9F2(O9C)

焦距IgF21=2c(其中c2=d2+b2)尸1&I=2c(其中c2=a2+Z?2)

漸近線Iy=±一1%(或2與-今2=。),α/Ty2X2八、

y=±7%(或-—=O)

方程aab______baTTb______

e'（e>l）X=√7二I（e越小,雙曲線開口越?。?，

離心率

等軸雙曲線的6=也

對稱性雙曲線都是關(guān)于X）軸成軸對稱,關(guān)于原點成中心對稱

隹八、、占八、、二--雙曲線上一點與雙曲線的兩個焦點組成的三角形,解題

角形中常用余弦定理和勾股定理來進(jìn)行相關(guān)的計算

三、拋物線的知識點

內(nèi)容

平面內(nèi)到定點方的距離等于到定直線距離的點的軌跡叫

定義

拋物線.

圖形J么LL-MILOZV

πΓ7

標(biāo)準(zhǔn)方程y1-2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2--2py(p>Q)

范圍x≥O,yeRx≤0,y∈Ry≥O,x∈Ry≤),x∈R

開口.向右.■向左..向上..向下.

方向

焦準(zhǔn)距_______________________〃S>o)_______________________

頂點

坐標(biāo)原點(0,0)

坐標(biāo)

隹八、、占八、、PP

■畔,0)IF(-y,O)F(O,y)■F(O,-f)■

坐標(biāo)乙乙乙乙

線

準(zhǔn)

程

方77PP

PΓ,X-P-Uzy---l7^y=-

_________2________222

對稱軸X軸X軸y軸y軸

離心率e=l

考點訓(xùn)練

1.若一個橢圓長軸、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的

離心率是)

4321

AEBgc.-D.-

【答案】B

【解析】由題意可知2α+2c=2?2b,化簡得α+c=20,

兩邊平方得(。+。)2=4/?2,(〃+。2=4(〃2_/),3〃2-2〃05,=0,

BP(α+c)(3α-5c)=0,

因為α+c≠0,于是有3α=5c,即e=∣.故選B.

2.已知橢圓的長軸長是短軸長的√∑倍,則橢圓的離心率等于（

A.-B.四C.√2D.且

222

【答案】B

【解析】由已知得2〃=泥2瓦即〃2=2ZA

，：濟二浮+」得到到=少2,

.?.由Wd解得謬故選B.

a22b222

3.若橢圓上2+儼=1的兩個焦點為方J2,過生作垂直于X軸的直線與

4

橢圓相交,-個交點為P,則點P到尸2的距離為1()■

AZB.√3e?D.4

22

【答案】C

【解析】由橢圓的方程可知〃2=4/2=1,求得￠2=3.

如圖所示,可求得尸點坐標(biāo)為(-但力尸乙|3

根據(jù)橢圓的定義可知,Wl+*=2α=4,■

A7

解得IPF2I=4-1尸尸11=4《=)故選C.

22__

4.已知方程W+￡=1(k∈R)表示焦點在X軸上的橢圓,則左的取值

A.(-∞,l)(3,+∞)B.(l,3)

C.(l,+∞)D.(-∞,3)

【答案】B

【解析】由題意可知〃2=k+1/2=3-左,

則上+1>3-QO,解得1<Z<3.故選B.

~~→22

5.橢圓t裝+臺=I(4>6>0)的左、右頂點分別是A,民左、右焦點分別

是入42?若如UlK尸2∣,∣K用成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為()

■AqBTc,∣D.√5-2

【答案】B

【解析J由橢圓性質(zhì)可知IAKl=尸∕2∣=2c,∣尸臼=α+c.

因為三者成等比數(shù)列,所以(2c)2=(4-c)3+c),

化簡得5/=〃2,解得右叵故選B.

5

6.設(shè)吊/2是橢圓的左、右焦點,P為直線X號上

一點,△尸2尸入是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為（）

4

D

A,2-BI-5

【答案】C

【解析】如圖,由題意可知I尸碼=/ι%∣=2g尸2人|二手-C

因為/心工尸=/b2尸工=30。，所以有NP&A=60°.

又B4_L%A,于是有N尸2%二30。，故有IP/2∣=2∣A%I,'

即2c=2（當(dāng)一c）,化簡得4c=3α,

~?Xθ-FjA~

于是故選

e=ma=4*C.、/

22

7.已知雙曲線。匕=Im>0)的離心率為2,則。=()

a23

A.2B.^C也D.1

22

【答案】D

【解析】由雙曲線的離心率可得正?d解得α=l?故選D.

__22一

8?已知雙曲線C??=13>0力>0）的離心率為9則C的漸近線方

（I）■

IlΛ

AJ=±FB.y=±∕C.y=±^D.y=±

乙xx

【答案】C

【解析】?.γ.?.冷即篇―??鴻..風(fēng).

.?雙曲線的漸近線方程為y=±,χ=±1,故選C

9.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點,離心率e=2,且它的一個頂點與

拋物線儼=-8%的焦點重合,則此雙曲線的方程為(

22?2丫22

ANJL=IB.v-y=lC.±v-匕v=1D.—-^ΛJ=1

33124412

【答案】D

【解析】因為拋物線V=-8x的焦點為(-2,0),即雙曲線的一個頂點

為(-2,0),于是有α=2,

又e=『2,所以c=4,從而有。=丘2-Q2=2^∕5.

22

故雙曲線方程為土-匕=1.故選D.

412

10.已知b112為雙曲線N-y2=2的左、右焦點,點P在雙曲線上,

∣PF1∣=2∣PF2∣J∣JCOSZF1PF2=)

4

AqBIc?iD-5

【答案】C

［解析］由雙曲線%2.y2=2可得a=叵b=迎,c=2,

由雙曲線的定義可矢口,|尸巴|-|尸尸2匚2|尸尸2∣TPBl二I尸/2匚2。二2近,

于是有IP尸11=2萬-21=4近,又因尸2∣=2C=4,

IPFII2+∣PF2∣2-∣FlF2『32+8-16_3

由余弦定理可得CoSNF/B=

J2×4√2×2√2-4*

2∣PF1∣∣PF2∣

故選C.

__22

11.已知雙曲線C：、翥=1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則

。的方程為()

A-^-=lB.亡-竺二1C-^-=lD.--2^=1

205

52080202080

【答案】A

【解析】雙曲線。的其中一條漸近線方程為產(chǎn)一

Ja'

點P(2,l)在該條直線上,可得2，

a2

由題意可知2c=10且〃2+。2=θ2,解得〃2=5,〃2二20.故選A.

2222

12.已知雙曲線G??=l（g>°力>°）與雙曲線02：亍￡=1有相同的

漸近線,且G的右焦點為「（后。）,則。=,b-.

【答案】1；2

【解析】由雙曲線G的漸近線方程為

可知雙曲線G中3=2,

且由題意可知。=倔

2221

?.*O+。2=C9.*.a=l,b=4.

解得。=1,0=2.

22

13.如圖/也是雙曲線Gr看二1（。＞。力＞。）的左、右焦點,過鳥的

直線/與C的左、右兩支分別交于A,5兩點.若IABl：∣BF2∣：?AF2?

二3：4：5,則雙曲線的離心率為,、『

［答案］g

?J?F

【解析】由題意,可設(shè)∣A5∣=3川5F2∣=MHB∣K.‘'二'

根據(jù)雙曲線的定義可知，I/?H

∣AF2∣-∣AFJ=2βJBF1∣-∣BF2∣=∣BA∣+∣AF1∣-∣BF2∣=2β.

兩式相減得∣AF1?=3t,2a=2t,a=t.

V?AB?：∣BF2∣：?AF2?=3：4：5,

???N63C=90°,有∣5%F+∣瓦引2二/E2匕得到尸∕2∣=2√I^.

于是2c=2√I^,得故

at

14.已知雙曲線的一個焦點與拋物線N=24y的焦點重合,其中一條

漸近線的傾斜角為60。，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A?^-絲=lBX--=1cX--=1D.^-—=1

92727912242412

【答案】B

【解析】拋物線∕=24y的焦點為(0,6),即雙曲線的焦點為(0,±6),

22

設(shè)雙曲線的方程為J-S=I(〃>0力>0),則C=G

由漸近線方程為^=tan600二8,/=/+〃2,解得〃=3百力二3,H

22

則雙曲線的方程為匕-±二1.故選B.

279

15.0為坐標(biāo)原點下為拋物線Cy2=4內(nèi)的焦點,尸為C上一點,若

IP尸I=4四,則APOF的面積為（）

A.2B.2√2C.2√3D.4

【解析】由I尸尸|二4金,可得尸點到準(zhǔn)線的距離也為4位，

則P點橫坐標(biāo)為3魚沙2=4魚×3√2≡24,

則P到X軸的距離為2訪故S△尸∣^F∣?2√6=2點故選C.

16.設(shè)方為拋物線Cy2=3x的焦點,過產(chǎn)且傾斜角為30。的直線交。于

AQ兩點,則∣A5∣=()

A呼B.6C.12D.7√3

【答案】C

【解析】依題可得吧0),則直線A3方程為W(D,

與拋物線方程聯(lián)立可得N-尖+白=0,則4+必二?

ZIoZ

根據(jù)拋物線上點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,且拋物線開

口向右,則4＞。山＞。，

可得∣A5∣=∣AF∣+?BF?=XΛ+J?+2X12.故選C.

17.過拋物線y=4x的焦點方的直線交該拋物線于A,5兩點,若

IAW=3,則|3月=.

【答案】I

【解析】由盧4%知焦點尸的坐標(biāo)為(1,0),

若過點尸的直線的斜率不存在,那么直線方程為%=1,此時直線與

拋物線的兩個交點為(1,2)和(1,-2),則IAn=2,不合題意,故舍去.

設(shè)過焦點廠的直線的斜率為上那么直線的方程為廠網(wǎng)*1),

代入y2=4x中,得NX2-(2N+4)x+N=0,

7

設(shè)A(Xlj?),B(X29J2),那么XIX2=1.

_i?

而IAFI=X1+1=3,那么XI=2,所以尤2=3.所以?BF?=X+1=-.

乙2乙

22

18.若拋物線盧2年的焦點與橢圓器+；=1的右焦點重合,則P的值

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

22

［解析】橢圓方程為土+匕=1,則。2=6/2=2/=4,

62

所以根據(jù)題意有*2,得p=4.故選D.

乙

19.已知拋物線關(guān)于X軸對稱,它的頂點在坐標(biāo)原點o,并且經(jīng)過點

M2,%).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則QM=()

A?2√2B.2√3C.4D,2√5

【答案】B

【解析】由題意,拋物線關(guān)于無軸對稱,開口向右,

設(shè)方程為y?=2px(p>0).

???點M2,%)到該拋物線焦點的距離為3,

n

,?2+廠3,??p=2,拋物線方程為y2=4χ.

?M(2,)?),?'?y()2=8,

???|0M=V￥Tδ=2g.故選B.

20.等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在X軸上,。與拋物線*=16x的準(zhǔn)

線交于4B兩點,且∣A3∣=4√5,則。的實軸長為()

A.√2B.2√2C.4D.8

【答案】C

【解析】設(shè)等軸雙曲線C的方程為/-y2=左①,

拋物線＞2=16%,22=16/=8,與=4,準(zhǔn)線方程為4-與=-4.

乙乙

等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線4-4的兩個交點分別為A(-4,y),3(-4,-y),

則IAjBI=Iy-(-y)I=2y=4^∕5,y=2Λ∕5^?

將%=-4j=2√5代入①,化W?(-4)2-(2√^)2=LA=4,α2=4,α=2,

所以。的實軸長為4.故選C.

21.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點,離心率為/的右焦點與拋物線

Cy2=8x的焦點重合AB是C的準(zhǔn)線與石的兩個交點,則∣A8∣二(

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】Y拋物線Cy2=8%的焦點為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,

..?橢圓E的右焦點為(2,0)..橢圓E的焦點在X軸上，

設(shè)橢圓￡方程為馬+馬=1(〃＞。＞0),。=2「??6=￡=；,?：〃=4力2=〃2-

αzbza2

c2=12.

22

???橢圓石方程為土+匕=1,

1612

將尤=2代入橢圓片的方程解得423),5(2-3),??.∣AB∣=6故選B.

2

22.已知尸是雙曲線CN千二1的右焦點,p是。左支上一點40,6份）,

當(dāng)AAPT調(diào)長最小時,該三角形的面積為.

【答案】12前

【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為％,由雙曲線定義知,∣PN=2α+∣P尸J,

???ZXA尸方的周長為

∣7?∣+∣PF∣+?AF?=?PA,?+2a+?PF1?+?AF?=?PA?-^?PFi?+?AF?+2a,

由于2α+IA為是定值,要使△△尸產(chǎn)的周長最小，

則∣∕?∣+∣P%∣最小,即PAK共線.

???點A(0,6√δ)Fι(?3,0),

?,?直線AK的方程為卷+熹=1,即廣嘉-3,代入/《=1,

整理得y2+6?∕r^y-96=0,解得或y=-8^∕^(舍)，

???P點的縱坐標(biāo)為2遍.

11

?尸產(chǎn)△力FFI-SN"]義

?SS—~乙×6×e?/e-乙-X62?∕g-1

23,直線/經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到/的距離

為其短軸長的則該橢圓的離心率為（）

4

A，-3

【答案】B

【解析】如圖,利用三角形等面積法得〃多二"

則故選B.

a2

24.設(shè)廠為拋物線Cy2=4x的焦點,曲線廣勺Qo)與C交于點P,尸產(chǎn)’九

t∕?f

軸,則左二()

A.-B.lC.∣D.2

2z

【答案】D

【解析】:尸為拋物線V=4x的焦點,??."l,0>

又?.?曲線y=%上〉0)與C交于點尸,尸尸，X軸，

?)C

Iz

ΛP(1,2),Λ^2,Λ?=2.

故選D.

22

25.已知。為坐標(biāo)原點下是橢圓Cj+j=l(Q>b>O)的左焦點4B分

azbz?

別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PnLX軸.過點A的直線/與線

段Pb交于點M與y軸交于點E若直線經(jīng)過OE的中點,則C的離

心率為()

1123

A.iB.-C.-D.-

3234

【答案】A￡

【解析】由題意可設(shè)直線/的方程為廣十+α),

分別令X=-。與X=O得?FM?=k(a-c),?OE?-ka,vf0一二^度

設(shè)OE中點為由ABMFSZ?BOO,得用巴?0B?目口kaa

j?BF?,2k(α-c)a+c

整理得?三,所以橢圓離心率為e/故選A.

26.已知A為拋物線Cy2=2∕zφ>0)上一點,點A到。的焦點的距離為

12,到y(tǒng)軸的距離為9,貝IJP=)

A.2B.3C.6D.9

cH∣

【解析】因為拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離相等,

所以有解得

9+乙±12,p=6.

故選C.

22

27.已知雙曲線三J=Im>0力>0)的右焦點與拋物線y2=2PX(P>0)

αz匕N

的焦點重合,拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于AB兩點,交雙曲線的漸近

線于CQ兩點,若ICDI=￠|4鳳則雙曲線的離心率為■()

A.√2B.√3C.2D.3

【答案】A

【解析】由題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為尸弓

設(shè)AB,C。與X軸分別交于點MN,由ICQI=魚|A引,

再由雙曲線漸近線及拋物線的對稱性可得ICNI=√^∣AM?

?22

由題意可得±c,即p=2c,可得'解得Iyl=匕,所以IAM=紇

aa

所以/=2左=2（。2-。2）,施星得C=￠Q,

所以雙曲線的離心率6。=但故選A.

22

28.設(shè)雙曲線。的方程為與J=I（α>O,b>O）,過拋物線*=4x的焦點

αzbz

和點（0力）的直線為/.若C的一條漸近線與/平行,另一條漸近線與/

垂直,則雙曲線C的方程為（

A.次旦=1BN-Q=I

444

2CC

C.v--y2=lD.x2-y2=l

【答案】D

【解析】拋物線儼=4%的焦點坐標(biāo)為(1,0),

則直線/的方程為y=-6(x-l).

22〃

:雙曲線I(Q>0,b>0)的漸近線方程為y=+-%,

αz匕/α

且C的一條漸近線與/平行,另一條漸近線與/垂直，

Λa-a?(-^)=-l?

.?.α=l/=L

???雙曲線C的方程為爐-儼=1.故選D.

22

29.(多選題已知雙曲線C?K=1(Q>0力>0)的離心率e=2,C上的

點到其焦點的最短距離為1,則

AC的焦點坐標(biāo)為(0,±2)

■BC的漸近線方程為尸土^

C.點(2,3)在C上

D.直線mX-y-m=OMIWR)與C恒有兩個交點

【答案】BC

【解析】由已知得Q2所以：='所以。2=3,

c———乙〉C—Z.

aV

2

所以雙曲線C的方程為N-匕=1.所以C的焦點為(±2,0),故A錯誤;

3

C的漸近線方程為尸土，二土庫,故B正確；

?2

因為22卷=1,所以點(2,3)在C上,故C正確；

直線mx-y-加=0即產(chǎn)加恒過點(1,0),

當(dāng)加=±遮時,直線與雙曲線C的一條漸近線平行,此時直線與雙

曲線只有一個交點,故D錯誤.

故選BC

22

30.（多選題）已知K,三是橢圓。套+k=1（。?＞。）的左、右焦點MN

是左、右頂點,e為橢圓。的離心率.過右焦點b2的直線/與橢圓交

B

于A,5兩點,已知力友/Z1=。,34R=2尸。JAFII=2∣AF2∣?設(shè)直線A的

斜率為匕直線AM和直線AN的斜率分別為占,左2,直線和直線HN

的斜率分別為七，&，則下列結(jié)論一定正確的是（）

Ae店B

5?H

44

cm.D??A=5

【答案】AC

【解析】??Z%?βX=0,???Abj5K.

在△即尸2中"尸|”I=3"2=|叫號百尸2=2C,

2

*,石Fl2+EF2-F/2,.?.C=浜,b=1—￠2=短,

橢圓離心率e=?=￡故A正確；

05

【解析】左上=2,故B錯誤；

C

設(shè)點A(x,y),易得點M(-a,O),N(α,O),

2

31.（多選題）雙曲線爐J=IS>0）一條漸近線方程為2√∑x+y=0,雙

bz,

曲線的離心率為自雙曲線的焦點到漸近線的距離為4則（）

A.6∕=2√2B.t∕=√2C.e-3

【答案】AC

2

【解析】雙曲線N-J=IS>0）的一條漸近線方程為2岳+廣0,

DΔ

可得6=2企,〃=1,所以故C正確；

aa

雙曲線的右焦點（3,0）,

雙曲線的焦點到漸近線的距離為d=磊二2立,故A正確.

故選AC.

32.（多選題）已知拋物線Nqy的焦點為EMXlM）.（心力）是拋物

乙

線上兩點,則下列結(jié)論正確的是（

A.點尸的坐標(biāo)為（，0）

B,若直線MN過點E則印2二-2

C.若詁F>,則IMNl的最小值為2

v乙

D.若IMFI+1NFIW,則線段MN的中點P至卜軸的距離為J

2O

【答案】BCD

【解析】拋物線N=］的焦點為《0弓）,故A錯誤；

根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得MN過點麗,則XM2二高故B正確；

若Λ?=??，則IMNl的最小值為拋物線的通徑長,為2〃J故C正確;

【解析】拋物線V=?1

8,

過點M,N,P的別作準(zhǔn)線的垂線1,NN；PP；

rr?

則∣Λ∕ΛΓ∣二?MF?,?NN,?^?NF?,?MM,?+?NN,?=?MF?+IN川二工

2

所以|「尸，］」MM，|+|NN，-

所以線段MN中的尸到X軸的距離為IP尸故D正確.

O4oO

故選BCD.

N'

22

33.(多選題)已知P是橢圓kB=I上一動點MN分別是圓

(X+2)2+y2二2與圓(X-2)2+y2??動點,則()

27

A.FM+FNI的最小值為丁乙

?r

值

B.∣PM+IPNI的最小為彳乙

C.?PM?+IPNI的最大值為日

乙

QQ

D.∣PM∣+∣PN∣的