822高等代數(shù)試題B答案

2016年碩士研究生招生考試試題B參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)科目代碼及名稱：822高等代數(shù)適用專業(yè)：070104應(yīng)用數(shù)學(xué)1、（20）適合什么條件時(shí)，有。解:因?yàn)樗猿挠嗍綖?。由于整除的充要條件是，故由上式得即當(dāng)時(shí)，2、（20）計(jì)算下列級行列式。1)2)解1)若,將第列的()倍加到第1列,------------5則有-------------------------8若有某個(gè),不妨設(shè),由定義或按第二行展開則有。----------------------------------------------------102)將行列式按第1列展開,那么------------------------------------------------4則,記,則,那么,------------------7則.若,由于行列式中是對稱的,則也有,-----------------------------------------------------8兩式聯(lián)立,則解得.若,則。-----------------------------103、（20）用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表出下列線性方程組的全部解，解1）對原方程組的增廣矩陣作初等行變換，可得所以方程組有無窮多解，且其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)線性無關(guān)的解向量，又因?yàn)樵匠探M的同解方程組為若令，代入原方程組的導(dǎo)出組，可解得，于是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為且原方程組的一個(gè)特解為故園方程組的全部解為其中為任意常數(shù).4、（15）求正交矩陣使成對角形,其中為:解：由可得的特征值為于是的特征向量為的特征向量為正交化，可得再單位化,有:于是所求正交矩陣為且解：作初等行變換：-------------7因?yàn)槌醯刃凶儞Q不改變矩陣的列向量之間的線性關(guān)系,從知線性無關(guān),且.因此----------------------------------10而是的一個(gè)基,。易見,與都是線性無關(guān)組,故.由維數(shù)公式得，由知且，故為的一個(gè)基。----155、（15）證明：如果，那么證明因?yàn)榈膬蓚€(gè)根為，，而，由已知條件得即因?yàn)?，所以，?、（15）設(shè)是矩陣，有秩，證明：存在可逆矩陣使的后行全為零。證明秩，存在可逆矩陣使得（為階單位矩陣）設(shè)，故7、（15）設(shè)，是線性空間的兩個(gè)非平凡的子空間，證明：在中存在，使同時(shí)成立。證因?yàn)椋瞧椒驳淖涌臻g，故存在，如果，則命題已證。設(shè)則一定存在，若，則命題也得證。下設(shè)，于是有及，，因而必有。事實(shí)上，若，又，則由是子空間，必有，這與假設(shè)矛盾，即證，同理可證，證畢。8、（15）設(shè)是有限維線性空間的線性變換，是的子空間。表示由中向量的像組成的子空間，證明：。證因?yàn)橐彩巧系木€形變換，故是設(shè)的維數(shù)為,的維數(shù)為.今在中取一組基把它擴(kuò)充成的一組基,則且線性無關(guān).所以9、（15）證明:奇數(shù)維歐氏空