對稱多項(xiàng)式高等代數(shù)

§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多項(xiàng)式§11對稱多項(xiàng)式§3整除的概念§2一元多項(xiàng)式§1數(shù)域§7多項(xiàng)式函數(shù)§9有理系數(shù)多項(xiàng)式§8復(fù)、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解第一章多項(xiàng)式一、一元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系二、n元對稱多項(xiàng)式§1.11對稱多項(xiàng)式三、一元多項(xiàng)式的判別式——韋達(dá)定理設(shè)①

若在上有個(gè)根，則②把②展開，與①比較，即得根與系數(shù)的關(guān)系：一、一元多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系（所有可能的i個(gè)不同的的積之和），特別地，為其根，則有二、n

元對稱多項(xiàng)式定義設(shè)，若對任意，有則稱該多項(xiàng)式為對稱多項(xiàng)式．

如，下列n個(gè)多項(xiàng)式稱為個(gè)未定元的初等對稱多項(xiàng)式．1．對稱多項(xiàng)式的和、積仍是對稱多項(xiàng)式；對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式仍為對稱多項(xiàng)式．則是元對稱多項(xiàng)式．特別地，初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式仍為對稱多項(xiàng)式．若為對稱多項(xiàng)式，為任一多項(xiàng)式，性質(zhì)即，2．對稱多項(xiàng)式基本定理對任一對稱多項(xiàng)式,都有n元多項(xiàng)式

,使得為初等對稱多項(xiàng)式．則必有作對稱多項(xiàng)式設(shè)對稱多項(xiàng)式按字典排列法的首項(xiàng)為證明：再作對稱多項(xiàng)式則的首項(xiàng)為則有比較“小”的首項(xiàng)．對重復(fù)上述作法，并依此下去.即有一系列對稱多項(xiàng)式它們的首項(xiàng)一個(gè)比一個(gè)“小”，所以必終此在有限步．．故存在，使于是這就是一個(gè)初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式．上述證明過程實(shí)際上是逐步消去首項(xiàng).逐步消去首項(xiàng)法的一般步驟：則一定有第一步：找出對稱多項(xiàng)式f的首項(xiàng)

,第二步：由

f

的首項(xiàng)寫出

:說明確定它對應(yīng)的指數(shù)組

第三步：作，并展開化簡．如此反復(fù)進(jìn)行，直到出現(xiàn)，則再對按一、二、三步驟進(jìn)行，構(gòu)造例1.把多項(xiàng)式f表成初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,令的首項(xiàng)是解:作對稱多項(xiàng)式它所對應(yīng)的指數(shù)組是它所對應(yīng)的數(shù)組是f的首項(xiàng)是

令作對稱多項(xiàng)式所以，令于是對于齊次對稱多項(xiàng)式還可以采用待定系數(shù)法．(設(shè)f是m次齊次對稱多項(xiàng)式)第一步：根據(jù)對稱多項(xiàng)式f首項(xiàng)對應(yīng)的指數(shù)組寫出所有可能的指數(shù)組，且這些指數(shù)組滿足：③前面的指數(shù)組先于后面的指數(shù)組．①②附：待定系數(shù)法的一般步驟：的初等對稱多項(xiàng)式的方冪的乘積：第二步：對每個(gè)指數(shù)組，寫出它對應(yīng)第三步：設(shè)出f

由所有初等對稱多項(xiàng)式的方冪乘積的線性表達(dá)式，其首項(xiàng)系數(shù)即為f

的首項(xiàng)系數(shù)，其余各項(xiàng)系數(shù)分別用A、B、C、…代替．第四步：分組選取適當(dāng)?shù)牡闹?，?jì)

算出

及f，性表達(dá)式中，得到關(guān)于A、B、C、…的線性方程組，解這個(gè)線性方程組求得A、B、C、…的值．最后寫出所求的f的表達(dá)式．將之代入第三步中設(shè)出的線例2用待定系數(shù)法把表成初等對稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式．所有不先于的三次指數(shù)組及相應(yīng)的初等對稱解:它所對應(yīng)的數(shù)組是f的首項(xiàng)是多項(xiàng)式方冪的乘積如下表:指數(shù)組

相應(yīng)的初等對稱多項(xiàng)式方冪的乘積這樣，f可表成(1)及f的值如下表:適當(dāng)選取的值，計(jì)算出１１１３３１３１１０２１０２代入（1）式得解之得，所以三、一元多項(xiàng)式的判別式有特殊的重要性．按對稱多項(xiàng)式基本定理知，對稱多項(xiàng)式D可表成由根與系數(shù)的關(guān)系知，的多項(xiàng)式是(2)的根，則多項(xiàng)（