人教B版高一數(shù)學必修第二冊單元測試題含答案

人教B版高一數(shù)學必修第二冊單元測試題含答案第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)第Ⅰ部分（選擇題，共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為或；所以；所以.2．三個數(shù)，，的大小順序是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，，，∴.3．太陽是位于太陽系中心的恒星，其質(zhì)量大約是千克.地球是太陽系八大行星之一，其質(zhì)量大約是千克.下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故.4．函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，為偶函數(shù)，圖像關于軸對稱，當.5．已知函數(shù)若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，圖象如圖：方程有三個不同的實數(shù)根即為函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，由圖象可知：的取值范圍為.6．某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求其雜質(zhì)含量不得超過，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為，現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，則使產(chǎn)品達到市場要求的最少過濾次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】設經(jīng)過n次過濾，產(chǎn)品達到市場要求，則，即，由，即，得，故選C．7．若函數(shù)且滿足對任意的實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性可知應滿足，解得，所以數(shù)的取值范圍為，8．已知函數(shù)為一次函數(shù)，若，有，當時，函數(shù)的最大值與最小值之和是（）A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【解析】由題意，設一次函數(shù)，因為，可得，解得，所以，故的圖象關于對稱，又設，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，即，所以是奇函數(shù)，則，則，，所以即為的最大值與最小值之和6.多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．下列結論中，正確的是（）A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．若，則D．函數(shù)的圖像必過定點【答案】BD【解析】選項A.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得不是指數(shù)函數(shù)，故A不正確.選項B.當時，，故B正確.選項C.當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由，則，故C不正確.選項D.由，可得的圖象恒過點，故D正確.10．下列四個函數(shù)中過相同定點的函數(shù)有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點,故A，B中的函數(shù)過相同的定點.11．對于函數(shù)，說法正確的有（）A．對，都有B．函數(shù)有兩個零點，且互為倒數(shù)C．，使得D．對，，都有【答案】BD【解析】，，由對數(shù)運算法則知，選項A錯誤；選項B中，，即或，互為倒數(shù)，故選項B正確；由的圖像特征知，當時，，則，同理可證當時，，當時，，故選項C錯誤；如圖，由于是上凸函數(shù)，故應為點對應縱坐標，應為點對應縱坐標，故，故選項D正確12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，關于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞增C．在[2016，2020]上恰有三個零點 D．的最大值為2【答案】AD【解析】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故A正確．因為，所以的圖象關于直線對稱，又是奇函數(shù)，所以是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如下圖所示．所以當時，，，當時，，單調(diào)遞減，故B錯誤．在上零點的個數(shù)等價于在上零點的個數(shù)，而在上有無數(shù)個零點．故C錯誤．當時，易知的最大值為2，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，的最大值也為2，所以在整個定義域上的最大值為2，第Ⅱ部分（選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若，則______.【答案】1【解析】由，得，，則.14．已知函數(shù)，則____________．【答案】【解析】，，因此，.15．函數(shù)，的最小值為________.【答案】【解析】解：令，因為，所以，，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知，在單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在上的最小值為.16．已知函數(shù).（1）的零點是______；（2）若的圖象與直線有且只有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】1和【解析】(1)由,當時,.當時,令有(2)畫出的圖象有因為過定點(0,?1),要使的圖象與直線有且只有三個公共點,則,當時,函數(shù)的導數(shù),函數(shù)在點(0,?1)處的切線斜率,此時直線和只有一個交點.當時,因為當時,,此時直線與的圖象仍有三個交點.由圖象知要使的圖象與直線有且只有三個公共點,則滿足,故答案為：(1).或(2).(0,2)解答題：本小題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題10分）化簡求值：（1）；（2）.【解】（1）；（2）.18．（本小題12分）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）設，解不等式.【解】(1).函數(shù)的定義域為，∴是奇函數(shù)；（2）原不等式可化為，當時，，∴，∴，當時，，∴，∴，∴，故所求不等式的解集為.19．（本小題12分）已知函數(shù)的圖像恒過定點，且點又在函數(shù)的圖像上.（1）求實數(shù)的值；（2）解不等式；（3）有兩個不等實根時，求的取值范圍.【解】（1）函數(shù)的圖像恒過定點A，A點的坐標為(2,2)又因為A點在上，則：（2）由題意知：而在定義域上單調(diào)遞增，知，即∴不等式的解集為（3）由知：，方程有兩個不等實根若令，有它們的函數(shù)圖像有兩個交點，如下圖示由圖像可知：，故b的取值范圍為20．（本小題12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且.（1）若當時，求實數(shù)，，的值；（2）在（1）條件下，若關于的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【解】（1）據(jù)題設分析知，.又當時，，，所以，所以，，.（2）據(jù)（1）求解知，當時.令，則，所以.又據(jù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.又，所以.又因為關于的方程有兩個不同實數(shù)根，所以據(jù)函數(shù)的圖象分析知，，即所求實數(shù)的取值范圍是.21．（本小題12分）碳14是碳的一種具有放射性的同位素，它常用于確定生物體的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物體內(nèi)碳14的含量與自然界中碳14的含量一樣且保持穩(wěn)定，一旦生物死亡，碳14攝入停止，生物體內(nèi)的碳14會按指數(shù)函數(shù)的規(guī)律衰減，大約經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，通過測定生物遺體內(nèi)碳14的含量就可以測定該生物的死亡年代.設生物體內(nèi)的碳14的含量為P，死亡年數(shù)為t.（1）試將P表示為t的函數(shù)；（2）不久前，科學家發(fā)現(xiàn)一塊生物化石上的碳14的含量為自然界中碳14的含量的，請推算該生物死亡的年代距今多少年？（參考數(shù)據(jù)：）【解】（1）已知碳14含量與死亡年數(shù)成指數(shù)函數(shù)關系，設，由經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，可得，故碳14的含量P與死亡年數(shù)t的函數(shù)關系式為；（2），,所以推算該生物死亡的年代距今21010年.22．（本小題12分）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，并利用結論解不等式：；（3）是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解】（1）是定義在R上的奇函數(shù)，，從而得出，時，，；（2）是R上的增函數(shù)，證明如下：設任意，且，，，，，，，是在上是單調(diào)增函數(shù).，又是定義在R上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，；（3）假設存在實數(shù)k，使之滿足題意，由（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，n為方程的兩個根，即方程有兩個不等的實根，令，即方程有兩個不等的正根，于是有且且，解得：.存在實數(shù)k，使得函數(shù)在上的取值范圍是，并且實數(shù)k的取值范圍是.第五章單元測試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、單項選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．下列調(diào)查，比較適用普查而不適用抽樣調(diào)查方式的是()A．為了了解中央電視臺春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率B．為了了解高一某班的每個學生星期六晚上的睡眠時間C．為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質(zhì)量情況D．為了考查一片實驗田某種水稻的穗長情況2．總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．013．某校共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表所示：一年級二年級三年級女生373380y男生377370z現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學生，則應在三年級抽取的學生人數(shù)為()A．24B．18C．16D．124．在樣本頻率分布直方圖中，共有9個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他8個長方形的面積和的eq\f(2,5)，且樣本容量為140，則中間一組的頻數(shù)為()A．28B．40C．56D．605．從數(shù)字1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)字構成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)6．某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結論中錯誤的一個是()A．甲的極差是29B．乙的眾數(shù)是21C．甲罰球命中率比乙高D．甲的中位數(shù)是247．為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組．如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．1B．8C．12D．188．某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其平均數(shù)和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的平均數(shù)和方差分別為()A.eq\o(x,\s\up6(－))，s2＋1002B.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2＋1002C.eq\o(x,\s\up6(－))，s2D.eq\o(x,\s\up6(－))＋100，s2二、多項選擇題(本題共4小題，毎小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報紙”，事件F為“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙”，事件H為“不訂甲報紙”，事件I為“一種報紙也不訂”．下列命題正確的是()A．E與G是互斥事件B．F與I是互斥事件，且是對立事件C．F與G不是互斥事件D．G與I是互斥事件10．某校舉行籃球比賽，兩隊長小明和小張在總共6場比賽中得分情況如下表：場次123456小明得分30152333178小張得分22203110349則下列說法正確的是()A．小明得分的極差小于小張得分的極差B．小明得分的中位數(shù)小于小張得分的中位數(shù)C．小明得分的平均數(shù)大于小張得分的平均數(shù)D．小明的成績比小張的穩(wěn)定11．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構成比例，得到如下餅圖：則下面結論中正確的是()A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半12．在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各項中，一定符合上述指標的是()A．平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))≤3B．標準差s≤2C．平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))≤3且極差小于或等于2D．眾數(shù)等于1且極差小于或等于4第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)三、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．某次能力測試中，10人的成績統(tǒng)計如表，則這10人成績的平均數(shù)為________，20%分位數(shù)為________．(本題第一空2分，第二空3分)分數(shù)54321人數(shù)(單位：人)3121314.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________．15．從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取2個數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是________．16．某工廠生產(chǎn)A，B兩種元件，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機抽取這兩種元件各5件進行檢測，檢測結果記錄如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污損，數(shù)據(jù)x，y看不清，統(tǒng)計員只記得A，B兩種元件的檢測數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，方差也相等，則xy＝________.四、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況，抽取了10天的用水量如下表所示：天數(shù)1112212用水量/噸22384041445095(1)在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？(2)在這10天中，該公司每天用水量的中位數(shù)是多少？(3)你認為應該用平均數(shù)和中位數(shù)中哪一個數(shù)來描述該公司每天的用水量？18．(12分)青海玉樹發(fā)生地震后，為了重建，對某項工程進行競標，現(xiàn)共有6家企業(yè)參與競標，其中A企業(yè)來自遼寧省，B，C兩家企業(yè)來自山東省，D，E，F(xiàn)三家企業(yè)來自河南省，此項工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工，假設每家企業(yè)中標的概率相同．(1)列舉所有企業(yè)的中標情況．(2)在中標的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的概率是多少？19．(12分)為了了解小學生的體能情況，抽取了某校一個年級的部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將取得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)．已知圖中從左到右前三個小組頻率分別為0.1，0.3，0.4，第一小組的頻數(shù)為5.(1)求第四小組的頻率；(2)參加這次測試的學生有多少人；(3)若次數(shù)在75次以上(含75次)為達標，試估計該年級學生跳繩測試的達標率是多少．20．(12分)市體校準備挑選一名跳高運動員參加全市中學生運動會，對跳高運動隊的甲、乙兩名運動員進行了8次選拔比賽．他們的成績(單位：m)如下：甲：1.701.651.681.691.721.731.681.67乙：1.601.731.721.611.621.711.701.75(1)甲、乙兩名運動員的跳高平均成績分別是多少？(2)哪位運動員的成績更為穩(wěn)定？(3)若預測跳過1.65m就很可能獲得冠軍，該校為了獲得冠軍，可能選哪名運動員參賽？若預測跳過1.70m才能得冠軍呢？21．(12分)計算機考試分理論考試與實際操作兩部分進行．每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書，甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，在實際操作考試中“合格”的概率依次為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(5,6)，所有考試是否合格相互之間沒有影響．(1)假設甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性大？(2)這三人進行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率．22．(12分)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h)，試驗的觀測結果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面的莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？第五章單元測試卷1．解析：A選項做普查時數(shù)量太大，且該調(diào)查對調(diào)查結果準確性的要求不高，適合采用抽樣調(diào)查的方式；B選項班級人數(shù)有限，比較容易調(diào)查因而適合普查；C選項數(shù)量大并且耗時長，不適合普查；D選項普查時數(shù)量太大，要費太大的人力、物力，得不償失，不適合普查．故選B.答案：B2．解析：從左到右符合題意的5個個體的編號分別為08,02,14,07,01，故第5個個體的編號為01.答案：D3．解析：一年級的學生人數(shù)為373＋377＝750，二年級的學生人數(shù)為380＋370＝750，于是三年級的學生人數(shù)為2000－750－750＝500，那么三年級應抽取的人數(shù)為500×eq\f(64,2000)＝16.故選C.答案：C4．解析：設中間一組的頻數(shù)為x，則其他8組的頻數(shù)和為eq\f(5,2)x，所以x＋eq\f(5,2)x＝140，解得x＝40.答案：B5．解析：樣本點的總數(shù)為20，而大于40的基本事件數(shù)為8個，所以P＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).答案：B6．解析：甲的極差是37－8＝29；乙的眾數(shù)顯然是21；甲的平均數(shù)顯然高于乙，即C成立；甲的中位數(shù)應該是23.答案：D7．解析：由圖知，樣本總數(shù)為N＝eq\f(20,0.16＋0.24)＝50.設第三組中有療效的人數(shù)為x，則eq\f(6＋x,50)＝0.36，解得x＝12.答案：C8．解析：方法一由對平均數(shù)和方差的統(tǒng)計意義的理解可巧解：因為每個數(shù)據(jù)都加上100，故平均數(shù)也增加100，而離散程度應保持不變．方法二由題意知x1＋x2＋…＋x10＝10eq\o(x,\s\up6(－))，s2＝eq\f(1,10)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，則所求平均數(shù)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝eq\f(1,10)(10eq\o(x,\s\up6(－))＋10×100)＝eq\o(x,\s\up6(－))＋100.而所求方差t2＝eq\f(1,10)[(x1＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋(x2＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋…＋(x10＋100－eq\o(y,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,10)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x10－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝s2.答案：D9．解析：A.E與G不是互斥事件；B.F與I是互斥事件，且是對立事件；C.F與G不是互斥事件；D.G與I不是互斥事件．故選BC.答案：BC10．解析：對A,小明得分的極差為33－8＝25，小張得分的極差為34－9＝25.故A錯誤．對B,小明得分的中位數(shù)為eq\f(17＋23,2)＝20.小張得分的中位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21.故B正確．對C,小明得分的平均數(shù)為eq\f(30＋15＋23＋33＋17＋8,6)＝21.小張得分的平均數(shù)為eq\f(22＋20＋31＋10＋34＋9,6)＝21.故C錯誤．對D，計算可得小明和小張平均分相等，但小明分數(shù)相對集中，更穩(wěn)定，故D正確．答案：BD11．解析：設新農(nóng)村建設前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a，則新農(nóng)村建設后，農(nóng)村經(jīng)濟收入為2a.新農(nóng)村建設前后，各項收入的對比如下表：新農(nóng)村建設前新農(nóng)村建設后新農(nóng)村建設后變化情況結論種植收入60%a37%×2a＝74%a增加A錯其他收入4%a5%×2a＝10%a增加一倍以上B對養(yǎng)殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C對養(yǎng)殖收入＋第三產(chǎn)業(yè)收入(30%＋6%)a＝36%a(30%＋28%)×2a＝116%a超過經(jīng)濟收入2a的一半D對故選BCD.答案：BCD12．解析：A中平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))≤3，可能是第一天0人，第二天6人，不符合題意；B中每天感染的人數(shù)均為10，標準差也是0，顯然不符合題意；C符合，若極差等于0或1，在eq\o(x,\s\up6(－))≤3的條件下，顯然符合指標；若極差等于2且eq\o(x,\s\up6(－))≤3，則每天新增感染人數(shù)的最小值與最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指標．D符合，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過5，符合指標．故選CD.答案：CD13．解析：這10人成績的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(5×3＋4×1＋3×2＋2×1＋1×3)＝eq\f(1,10)×(15＋4＋6＋2＋3)＝eq\f(1,10)×30＝3.因為10×20%＝2，所以這10人成績的20%分位數(shù)為eq\f(1＋1,2)＝1.答案：3114．解析：由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點數(shù)約為10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高鐵個數(shù)為10＋20＋10＝40，所以該站所有高鐵平均正點率約為eq\f(39.2,40)＝0.98.答案：0.9815．解析：從6個數(shù)中任取2個數(shù)的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)16．解析：因為eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\f(1,5)×(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，eq\o(x,\s\up6(－))B＝eq\f(1,5)×(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，由eq\o(x,\s\up6(－))A＝eq\o(x,\s\up6(－))B，得x＋y＝17.①因為seq\o\al(2,A)＝eq\f(1,5)×(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，seq\o\al(2,B)＝eq\f(1,5)×[4＋(8－x)2＋0.25＋0.25＋(8－y)2]，由seq\o\al(2,A)＝seq\o\al(2,B)，得x2＋y2＝145.②由①②可得(x＋y)2＝145＋2xy＝289，解得xy＝72.答案：7217．解析：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51.(2)中位數(shù)為eq\f(41＋44,2)＝42.5.(3)平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值(2個95)影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位數(shù)描述公司每天的用水量更合適．18．解析：(1)所有企業(yè)的中標情況為：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF.共15種．(2)在中標的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的情況有：AB，AC，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，共9種，在中標的企業(yè)中，至少有一家來自山東省的概率是P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).19．解析：(1)由累積頻率為1知，第四小組的頻率為1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)設參加這次測試的學生有x人，則0.1x＝5，所以x＝50.即參加這次測試的學生有50人．(3)達標率為0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估計該年級學生跳繩測試的達標率為90%.20．解析：(1)甲的平均成績?yōu)椋?1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69m，乙的平均成績?yōu)椋?1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68m；(2)根據(jù)方差公式可得：甲的方差為0.0006，乙的方差為0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成績更為穩(wěn)定；(3)若跳過1.65m就很可能獲得冠軍，甲成績均過1.65米，乙3次未過1.65米，因此選甲；若預測跳過1.70m才能得冠軍，甲成績過1.70米3次，乙過1.70米5次，因此選乙．21．解析：(1)記“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則P(A)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,9).因為P(C)＞P(B)＞P(A)．所以丙獲得合格證書的可能性大．(2)設“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則P(D)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\f(5,9)＝eq\f(11,30).22．解析：(1)設A藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，B藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－)).由觀測結果可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計算結果可得，eq\o(x,\s\up6(－))＞eq\o(y,\s\up6(－))，因此可以看出A藥的療效更好．(2)由觀測結果可繪制莖葉圖如圖．從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“2.”，“3.”上，而B藥療效的試驗結果有eq\f(7,10)的葉集中在莖“0.”，“1.”上，由此可看出A藥的療效更好．第六章一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量a，b是兩個非零向量，eq\o(AO,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))分別是與a，b同方向的單位向量，則以下各式正確的是()A．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→)) B．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→))或eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))C．eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→)) D．|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝|eq\o(BO,\s\up7(→))|D[因為a與b方向關系不確定且a≠0，b≠0，又eq\o(AO,\s\up7(→))與a同方向，eq\o(BO,\s\up7(→))與b同方向，所以eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(BO,\s\up7(→))方向關系不確定，所以A，B，C項均不對．又eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(BO,\s\up7(→))均為單位向量，所以|eq\o(AO,\s\up7(→))|＝|eq\o(BO,\s\up7(→))|＝1．]2．已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為頂點的四邊形是()A．梯形B．鄰邊不相等的平行四邊形C．菱形D．兩組對邊均不平行的四邊形B[因為eq\o(AD,\s\up7(→))＝(8,0)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(8,0)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))，因為eq\o(BA,\s\up7(→))＝(4，－3)，所以|eq\o(BA,\s\up7(→))|＝5，而|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝8，故為鄰邊不相等的平行四邊形．]3．設e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則|a＋b|等于()A．(0,6) B．6C．eq\r(6) D．(6，－2)B[因為|e1|＝|e2|＝1，e1與e2垂直，設e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則a＝(3,2)，b＝(－3,4)．所以|a＋b|＝eq\r(3－32＋2＋42)＝6.]4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝()A．(4,0) B．(0,4)C．(4，－8) D．(－4,8)C[由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故選C．]5．在重600N的物體上系兩根繩子，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，重物平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為()A．300eq\r(3)N,300eq\r(3)N B．150N,150NC．300eq\r(3)N,300N D．300N,300NC[如圖，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|cos30°＝300eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|sin30°＝300N，|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝300N．故選C．]6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0D[∵a∥b，∴存在實數(shù)k，使得a＝kb成立，∴e1＋λe2＝k·2e1，∵e1≠0，∴e1∥e2，或λ＝0，故選D．]7．如圖，已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設eq\o(AD,\s\up7(→))＝a，eq\o(BE,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BC,\s\up7(→))等于()A．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bB[eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BE,\s\up7(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]8．設0≤θ＜2π，已知兩個向量eq\o(OP1,\s\up7(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up7(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))長度的最大值是()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)C[∵eq\o(P1P2,\s\up7(→))＝eq\o(OP2,\s\up7(→))－eq\o(OP1,\s\up7(→))＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|eq\o(P1P2,\s\up7(→))|＝eq\r(2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).]二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．9．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中正確的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)) B．eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→)) D．eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝0ABD[在平行四邊形ABCD中，根據(jù)向量的減法法則知eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DB,\s\up7(→))，所以結論中錯誤的是C．A、B、D均正確．]10．已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(PA,\s\up7(→))＋2eq\o(PB,\s\up7(→))＋3eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，如果E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列結論中正確的是()A．向量eq\o(PA,\s\up7(→))與eq\o(PC,\s\up7(→))可能平行B．向量eq\o(PA,\s\up7(→))與eq\o(PC,\s\up7(→))不可能垂直C．點P在線段EF上D．PE∶PF＝2∶1CD[由E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，可得eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))，eq\o(PA,\s\up7(→))＋2eq\o(PB,\s\up7(→))＋3eq\o(PC,\s\up7(→))＝0，即(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＋2(eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝0，可得eq\o(PE,\s\up7(→))＋2eq\o(PF,\s\up7(→))＝0，可得P在線段EF上，且PE∶PF＝2∶1，向量eq\o(PA,\s\up7(→))與eq\o(PC,\s\up7(→))不可能平行，可能垂直，則CD正確．AB錯誤．]11．下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點，則“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．若a∥b，b∥c，則a∥cBC[A不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．B正確，由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))得|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且方向相同，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|.因此，eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).故“eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件．C正確，因為a＝b，所以a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，則b，c的長度相等且方向相同，所以a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.D不正確，當b＝0時不成立．]12．設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，則點M是邊BC的中點B．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，則點M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝－eq\o(BM,\s\up7(→))－eq\o(CM,\s\up7(→))，則點M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)ACD[若eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，則點M是邊BC的中點，故A正確；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝2eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，即有eq\o(AM,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))，即eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，則點M在邊CB的延長線上，故B錯誤；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝－eq\o(BM,\s\up7(→))－eq\o(CM,\s\up7(→))，即eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝0，則點M是△ABC的重心，故C正確；若eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up7(→))＝2xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(AC,\s\up7(→))，設eq\o(AN,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，由圖可得M為AN的中點，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確，故選ACD．]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.－1[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1．]14．下列命題中正確命題的個數(shù)為________個．①在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；②若eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；③若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．1[①真命題；②假命題，當A，B，C三點共線時，也可以有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0；③假命題，只有當a與b同向時才相等．]15．在直角坐標系xOy中，已知點A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐標平面內(nèi)的一點．(1)若四邊形APBM是平行四邊形，則點M的坐標為________；(2)若eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PM,\s\up7(→))，則點M的坐標為________．(本題第一空2分，第二空3分)(1)(6,3)(2)(4,2)[(1)設M(x，y)，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，－2)，eq\o(MB,\s\up7(→))＝(5－x,1－y)．因為四邊形APBM是平行四邊形，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))，所以(－1，－2)＝(5－x,1－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－1，,1－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3，))所以點M的坐標為(6,3)．(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝(1,2)，eq\o(PB,\s\up7(→))＝(3,0)，eq\o(PM,\s\up7(→))＝(x－2，y－1)，因為eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝2eq\o(PM,\s\up7(→))，所以(1,2)＋(3,0)＝2(x－2，y－1)，所以(4,2)＝(2(x－2)，2(y－1))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2＝4，,2y－1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2，))所以點M的坐標為(4,2)．]16．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，則x的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))[設eq\o(CO,\s\up7(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up7(→))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋yeq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋y(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).]四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知P是△ABC內(nèi)一點，且eq\o(AP,\s\up7(→))＋2eq\o(BP,\s\up7(→))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，設Q為CP的延長線與AB的交點，令eq\o(CP,\s\up7(→))＝p，用p表示eq\o(CQ,\s\up7(→)).[解]∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\o(BQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))，∴(eq\o(AQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))＋2(eq\o(BQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0，即eq\o(AQ,\s\up7(→))＋3eq\o(QP,\s\up7(→))＋2eq\o(BQ,\s\up7(→))＋3eq\o(CP,\s\up7(→))＝0.又∵A，Q，B三點共線，C，P，Q三點共線，∴設eq\o(AQ,\s\up7(→))＝λeq\o(BQ,\s\up7(→))，eq\o(CP,\s\up7(→))＝μeq\o(QP,\s\up7(→)).∴λeq\o(BQ,\s\up7(→))＋3eq\o(QP,\s\up7(→))＋2eq\o(BQ,\s\up7(→))＋3μeq\o(QP,\s\up7(→))＝0，∴(λ＋2)eq\o(BQ,\s\up7(→))＋(3＋3μ)eq\o(QP,\s\up7(→))＝0，又∵eq\o(BQ,\s\up7(→))，eq\o(QP,\s\up7(→))為不共線的向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0.))解得λ＝－2，μ＝－1，∴eq\o(CP,\s\up7(→))＝－eq\o(QP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))，故eq\o(CQ,\s\up7(→))＝eq\o(CP,\s\up7(→))＋eq\o(PQ,\s\up7(→))＝2eq\o(CP,\s\up7(→))＝2p.18．(本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．[解]設eq\o(BM,\s\up7(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up7(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實數(shù)λ，μ，使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up7(→))＝μeq\o(BN,\s\up7(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(BP,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up7(→))，∴AP∶PM＝4∶1．19．(本小題滿分12分)設eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(3,0)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(m,3)．(1)當m＝8時，將eq\o(OC,\s\up7(→))用eq\o(OA,\s\up7(→))和eq\o(OB,\s\up7(→))表示；(2)若A，B，C三點能構成三角形，求實數(shù)m應滿足的條件．[解](1)當m＝8時，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(8,3)，設eq\o(OC,\s\up7(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up7(→))，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3)，))∴eq\o(OC,\s\up7(→))＝－3eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up7(→)).(2)若A，B，C三點能構成三角形，則有eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))不共線，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，則有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.20．(本小題滿分12分)設e1，e2是正交單位向量，如果eq\o(OA,\s\up7(→))＝2e1＋me2，eq\o(OB,\s\up7(→))＝ne1－e2，eq\o(OC,\s\up7(→))＝5e1－e2，若A，B，C三點在一條直線上，且m＝2n，求m，n的值．[解]以O為原點，e1，e2的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標系xOy(圖略)，則eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2，m)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(n，－1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(5，－1)，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(3，－1－m)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(5－n,0)，又因為A，B，C三點在一條直線上，所以eq\o(AC,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以3×0－(－1－m)(5－n)＝0，與m＝2n構成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,,m＝2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))21．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up7(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up7(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線．(1)求實數(shù)λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up7(→))的坐標；(3)已知點D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點A的坐標．[解](1)eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因為A，E，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得eq\o(AE,\s\up7(→))＝keq\o(EC,\s\up7(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因為e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,λ＝k－1，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BE,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)因為A，B，C，D四點按逆時針順序構成平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→)).設A(x，y)，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝(3－x,5－y)，因為eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即點A的坐標為(10,7)．22．(本小題滿分12分)平面內(nèi)有四邊形ABCD，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))，且AB＝CD＝DA＝2，eq\o(AD,\s\up7(→))＝a，eq\o(BA,\s\up7(→))＝b，M是CD的中點．(1)試用a，b表示eq\o(BM,\s\up7(→))；(2)AB上有點P，PC和BM的交點Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.[解](1)eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b.(2)設eq\o(BP,\s\up7(→))＝teq\o(BA,\s\up7(→))，則eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CQ,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CP,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)teq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(a＋tb)．設eq\o(BQ,\s\up7(→))＝λeq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(3λ,2)a＋eq\f(λ,2)b，由于eq\o(BA,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))不共線，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3λ,2)＝\f(2,3)，,\f(λ,2)＝\f(2,3)t，))解方程組，得λ＝eq\f(4,9)，t＝eq\f(1,3).故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.綜合測試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．計算lg4＋lg25＝()A．2 B．3C．4 D．10A[lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2.]2．下列等式中正確的是()A．eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0 D．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))D[起點相同的向量相減，則取終點，并指向被減向量，eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))；eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BA,\s\up7(→))是一對相反向量，它們的和應該為零向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝0；0·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0才對，故選D．]3．甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)A[因為甲、乙兩人參加學習小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中兩人參加同一個小組事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個，所以兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).選A．]4．設f(x)為奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ex－1，則當x＜0時，f(x)＝()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1D[當x<0時，－x>0，∵當x≥0時，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1．又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．故選D．]5．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，則λ＝()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)A[由題意知eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，①eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))，②且eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(BD,\s\up7(→))＝0.①＋②×2得3eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋2eq\o(CB,\s\up7(→))，∴eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]6．生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)B[設5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能．故恰有2只測量過該指標的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故選B．]7．質(zhì)點P在平面上做勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設開始時點P的坐標為(－10,10)，則5秒后點P的坐標為()A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)C[設(－10,10)為A，設5秒后P點的坐標為A1(x，y)，則eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(x＋10，y－10)，由題意有eq\o(AA1,\s\up7(→))＝5v.即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋10＝20，,y－10＝－15))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－5.))]8．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)D[當x≤0時，函數(shù)f(x)＝2－x是減函數(shù)，則f(x)≥f(0)＝1．作出f(x)的大致圖像如圖所示，結合圖像可知，要使f(x＋1)<f(2x)，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0，故選D．]二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．9．設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，則可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的向量組是()A．eq\o(AD,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(DA,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(CA,\s\up7(→))與eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))AC[平面內(nèi)任意兩個不共線的向量都可以作為基底，如圖：對于A，eq\o(AD,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))不共線，可作為基底；對于B，eq\o(DA,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))為共線向量，不可作為基底；對于C，eq\o(CA,\s\up7(→))與eq\o(DC,\s\up7(→))是兩個不共線的向量，可作為基底；對于D，eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB,\s\up7(→))在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底．]10．對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2(x1≠x2)，當f(x)＝2－x時，下列結論中正確的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2