2023-2024學(xué)年長春市外國語高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年長春市外國語高二數(shù)學(xué)下學(xué)期4月考試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆記清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．計(jì)算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．5402．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）A． B． C． D．3．用1，2，3，4，5，6寫出沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，滿足相鄰的數(shù)字奇偶性不同的數(shù)有（

）個(gè)A．18 B．36 C．72 D．864．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則（

）A．的解集為 B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)5．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．有7種不同的顏色給下圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，且相鄰的兩個(gè)格子顏色不能相同，若最多使用3種顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．462 B．630 C．672 D．8827．已知，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．當(dāng)時(shí)，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分.若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分.）9．高中學(xué)生要從必選科目（物理和歷史）中選一門，再在化學(xué)、生物、政治、地理這4個(gè)科目中，依照個(gè)人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選2個(gè)科目構(gòu)成“1＋2選考科目組合”參加高考.已知某班48名學(xué)生關(guān)于選考科目的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：選考科目名稱物理化學(xué)生物歷史地理政治選考該科人數(shù)36392412ab下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．B．選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生可能超過9人C．在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)6種不同的選考科目組合D．選考科目組合為“歷史＋生物＋地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的10．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍是 B．是極小值點(diǎn)C．時(shí)， D．11．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，若且為偶函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為4第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分；共15分）12．某種動(dòng)物從出生起活到20歲的概率為0.8，從出生起活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲的概率為.13．2024年伊始，隨著“廣西沙糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”.某班級(jí)五位同學(xué)也準(zhǔn)備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計(jì)劃，這五位同學(xué)準(zhǔn)備在行程第一天在圣索菲亞教堂，冰雪大世界，中央大街三個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)去游玩，已知每個(gè)景點(diǎn)至少有一位同學(xué)會(huì)選，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且只能選擇其中一個(gè)景點(diǎn)，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準(zhǔn)備選同一個(gè)景點(diǎn)，則不同的選法種數(shù)是.

14．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù).(1)若在處的切線垂直于直線，求的方程；(2)討論的單調(diào)性.16．某中學(xué)預(yù)計(jì)在“五?四”青年節(jié)當(dāng)天，為高三學(xué)生舉辦成人禮活動(dòng)，用以激勵(lì)在備考中的高三學(xué)生．學(xué)工處共準(zhǔn)備了五首勵(lì)志歌曲，一個(gè)往屆優(yōu)秀學(xué)生視頻發(fā)言，一個(gè)教師代表發(fā)言，一個(gè)應(yīng)屆學(xué)生代表發(fā)言．根據(jù)不同的要求，求本次活動(dòng)的安排方法．(1)三個(gè)發(fā)言不能相鄰，有多少種安排方法？(2)勵(lì)志歌曲甲不排在第一個(gè)，勵(lì)志歌曲乙不排在最后一個(gè)，有多少種安排方法？(3)往屆優(yōu)秀學(xué)生視頻發(fā)言必須在應(yīng)屆學(xué)生代表發(fā)言之前，有多少種安排方法？（結(jié)果用數(shù)字作答）17．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)記曲線在處的切線為，求證，與有唯一公共點(diǎn)．18．已知函數(shù)．(1)判斷的單調(diào)性；(2)設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，求證：．19．固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．(1)類比正、余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，，，請(qǐng)寫出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證明）；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求的最小值．1．A【分析】利用組合和排列數(shù)公式計(jì)算【詳解】故選：A2．D【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.【詳解】由已知得．故選：D．3．C【分析】可先對(duì)計(jì)數(shù)進(jìn)行全排列，再在連續(xù)前三個(gè)空隙或后相鄰的三個(gè)空隙中放入偶數(shù)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，可先對(duì)計(jì)數(shù)進(jìn)行全排列，共有種排法；再對(duì)構(gòu)成的4個(gè)空隙中，連續(xù)前三個(gè)空隙或后相鄰的三個(gè)空隙，放入偶數(shù)，共有種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的排法.故選：C.4．D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由圖可知，的解集即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖，的左右兩邊，所以不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：D.5．D【分析】令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，?duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，因此由.故選：D.6．C【分析】根據(jù)題意，按使用顏色的數(shù)目分兩種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況討論：若用兩種顏色涂色，有種涂色方法；若用三種顏色涂色，有種涂色方法；所以有種不同的涂色方法.故選：C.7．D【分析】由函數(shù)性質(zhì)，得，，將問題轉(zhuǎn)化為求的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，，由得，由可得，由圖可知，，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，所以，令，其中，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，所以的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵就是利用正弦型函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，求值域時(shí)，除函數(shù)的單調(diào)性外還要注意函數(shù)的取值特點(diǎn).8．D【分析】根據(jù)題意，化簡得到在上恒成立，令，求得，得到在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，得到，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．9．AC【分析】結(jié)合統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得.【詳解】對(duì)A：由，則，故A正確；對(duì)B：由選擇化學(xué)的有39人，選擇物理的有36人，故至少有三人選擇化學(xué)并選擇了歷史，故選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生最多有9人，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：確定選擇化學(xué)后，還需在物理、歷史中二選一，在生物、地理、政治中三選一，故共有種不同的選考科目組合，故C正確；對(duì)D：由于地理與政治選考該科人數(shù)不確定，故該說法不正確，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)已知條件，求導(dǎo)得出有兩個(gè)不同正實(shí)根，設(shè)，根據(jù)單調(diào)性和極值，就能判斷選項(xiàng)ABC；利用極值定義得到兩個(gè)式子，兩式相除即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不同正實(shí)根，即有兩個(gè)不同正實(shí)根，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)；時(shí)，.所以有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增，故是極小值點(diǎn)，B正確；當(dāng)時(shí)，，，，C正確；由及，得及，兩式相除得，D正確.故選：BCD11．AC【分析】對(duì)于A，根據(jù)為偶函數(shù)求出的表達(dá)式，然后給的表達(dá)式兩邊求導(dǎo)，然后取特值求解；對(duì)于D，根據(jù)和為偶函數(shù)找到的關(guān)系，求出周期；B：根據(jù)的性質(zhì)，取特值求解；C：根據(jù)已知推導(dǎo)出.【詳解】A：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，令，則，所以，故A正確；D：因?yàn)?，所以，用代替原來的得，①又為偶函?shù)，所以，用代替原來的得：，②由①②得，③又，用代替原來的得：，④由③④聯(lián)立得：，⑤用代替原來的得：，⑥⑥減去⑤得：，故為周期函數(shù)，且周期為，用代替原來的得：，⑦因?yàn)?，用代替原來的得：，⑧因?yàn)?，用代替原來的得：，⑨由⑦⑧⑨得：，用代替原來的得：，所以為周期函?shù)，且周期為，故D錯(cuò)誤；B：因?yàn)槌：瘮?shù)為滿足題意得一組解，但，故B錯(cuò)誤；C：由，則，即，又，則，即，故C正確；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)可任意賦值（符合已知條件）得到函數(shù)的周期，再根據(jù)周期性和奇偶性取特值代入求解.12．【分析】利用條件概率的計(jì)算公式即可得出.【詳解】設(shè)事件A表示某動(dòng)物活到20歲，則；事件B表示該動(dòng)物活到25歲，則，所以.故答案為：.13．36【分析】先根據(jù)甲乙選的景點(diǎn)其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照分組計(jì)算方法數(shù)；②還有人選，按照部分平均分組計(jì)算方法數(shù).最后用分類加法原理計(jì)算總的方法數(shù)即可.【詳解】若甲乙選的景點(diǎn)沒有其他人選，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，若甲乙選的景點(diǎn)還有其他人選擇，則分組方式為：的選法總數(shù)為：，所以不同的選法總數(shù)為:.故答案為：36.14．【分析】由基本不等式可得.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，進(jìn)而，則，解出a、，得，再次利用基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】由基本不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即，令，得，所以，解得，由，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值是．故答案為：15．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得參數(shù)m的值，即可求得答案；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論m的取值，結(jié)合解不等式，求得導(dǎo)數(shù)大于0和小于0時(shí)的解，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得；因?yàn)樵谔幍那芯€垂直于直線，所以，即，解之得；又，所以的方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，由?）得；所以當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得或，令得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.16．(1)14400(2)30960(3)20160【分析】（1）分2步進(jìn)行分析，先排列三個(gè)發(fā)言以外節(jié)目，產(chǎn)生6個(gè)空，再從6個(gè)空位中任選3個(gè)，安排三個(gè)發(fā)言節(jié)目即可；（2）分勵(lì)志歌曲甲不排在第一個(gè)，勵(lì)志歌曲乙排在第一個(gè)和勵(lì)志歌曲甲不排在第一個(gè)并且勵(lì)志歌曲乙不排在最后一個(gè)求解；（3）根據(jù)題意共有8個(gè)的先后位次，往屆優(yōu)秀學(xué)生視頻發(fā)言必須在應(yīng)屆學(xué)生代表發(fā)言之前，是固定順序，從8個(gè)位置選2個(gè)放置，其它位置任意排列求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先排列三個(gè)發(fā)言以外節(jié)目，全排列，有種情況，排好后有6個(gè)空位，②在6個(gè)空位中任選3個(gè)，安排三個(gè)發(fā)言節(jié)目，有種情況，則三個(gè)發(fā)言不能相鄰的排法有＝14400種；（2）勵(lì)志歌曲甲不排在第一個(gè)，勵(lì)志歌曲乙排在第一個(gè)，方法數(shù)為：種情況，勵(lì)志歌曲甲不排在第一個(gè)并且勵(lì)志歌曲乙不排在第一個(gè)與最后一個(gè)，方法數(shù)為：種情況，共有：＝30960種情況．（3）根據(jù)題意，五首勵(lì)志歌曲，一個(gè)往屆優(yōu)秀學(xué)生視頻發(fā)言，一個(gè)教師代表發(fā)言，一個(gè)應(yīng)屆學(xué)生代表發(fā)言．共有8個(gè)的先后位次；往屆優(yōu)秀學(xué)生視頻發(fā)言必須在應(yīng)屆學(xué)生代表發(fā)言之前，是固定順序，8個(gè)位置選2個(gè)，有種方法，其它位置，任意排列，共有的方法數(shù)：＝20160種情況．17．(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算證明即可.【詳解】（1），令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為；（2）由（1）可知：，而，所以切線的方程為，由，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以由，即，此時(shí)