解線性方程組的解法

關(guān)于解線性方程組的解法2線性方程組是線性代數(shù)中最重要最基本的內(nèi)容之一，是解決很多實際問題的的有力工具，在科學技術(shù)和經(jīng)濟管理的許多領(lǐng)域（如物理、化學、網(wǎng)絡理論、最優(yōu)化方法和投入產(chǎn)出模型等）中都有廣泛應用.第一章介紹的克萊姆法則只適用于求解方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，且系數(shù)行列式非零的線性方程組.本章研究一般線性方程組，主要討論線性方程組解的判定、解法及解的結(jié)構(gòu)等問題，還要討論與此密切相關(guān)的向量線性相關(guān)性等.其主要知識結(jié)構(gòu)如下：第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天3線性方程組第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天4§3.1

消元法第一章討論了含n個方程的n元線性方程組的求解問題.下面我們討論一般的n元線性方程組(systemoflinearequations)（3.1）寫成矩陣形式為其中第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天5分別稱為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣(coefficientmatrix)、未知量矩陣和常數(shù)項矩陣.當時，稱為n元齊次線性方程組；當時，稱為n元非齊次線性方程組.并稱為方程組（3.1）的增廣矩陣(augmentedmatrix).因為一個線性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項完全確定，所以線性方程組與它的增廣矩陣是一一對應的.如果可以使（3.1）中的每個等式都成立，則稱為線性方程組（3.1）的一個解(solution).線性方程組（3.1）的解的全體稱為它的解第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天6集(solutionset).若兩個線性方程組的解集相等，則稱它們同解(samesolution).若線性方程組（3.1）的解存在，則稱它有解或相容的.否則稱它無解或矛盾的.解線性方程組實際上先要判斷它是否有解，在有解時求出它的全部解.消元法是求解線性方程組的一種基本方法，其基本思想是通過消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組.在中學代數(shù)里我們學過用消元法求解二元或三元線性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、并與矩陣的初等變換結(jié)合起來，使它適用于求解含更多未知量或方程的線性方程組.為此，先看一個例子.第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天7例1

解線性方程組解原方程組顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組）同解，所以原方程組有唯一解第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天8由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可以對方程組反復施行以下三種變換：1.交換兩個方程的位置；2.用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊；

3.把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換.顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性.在例1的求解過程中，我們只對方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行了運算，對線性方程組施行一次初等變換，就相當于對它的增廣矩陣施行一次相應的初等行變換，用方程組的初等變換化簡線性方程組就相當于用矩陣的初等行變換化簡它的增廣矩陣.下面我們將例1的求解過程寫成矩陣形式：第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天9所以原方程組有唯一解即第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天10一般地，不妨設(shè)線性方程組（3.1）的增廣矩陣可通過適當?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線性方程組（3.1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩分別為第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天11與由線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性可知：線性方程組（3.1）與階梯形方程組（3.2）同解，且其解有三種情形：情形1，當，即時，方程組（3.1）無解.情形2，當，即時，方程組（3.1）有唯一解第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天12情形3，當，即時，方程組（3.2）可變成其中在相應數(shù)域上可任意取值，稱為自由未知量，以下我們在實數(shù)域R上討論，任意給定自由未知量一組值：代人可求得的相應值，把這兩組數(shù)合并起來就得到方程組（3.1）的一個解，因此方程組（3.1）有無窮多個解，其一般解為第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天13（為自由未知量）或綜上所述，我們可得以下重要定理.第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天14定理3.1（線性方程組有解判別定理）線性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣等秩，即推論3.1（解的個數(shù)定理）（1）n元線性方程組有唯一解的充要條件是.（2）n元線性方程組有無窮多解的充要條件是.此時它的一般解中含個自由未知量.（3）n元線性方程組無解的充要條件是.由于上述討論并未涉及常數(shù)項的取值，因此對時的n元齊次線性方程組第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天15(3.3)即，顯然有，由定理3.1可得下述定理.定理3.2（1）n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.（2）n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的秩.推論3.2（1）n個方程的n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.（2）n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式.第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天16（3）若n元齊次線性方程組中方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n，則它必有非零解.書例

解線性方程組解對方程組的增廣矩陣作初等行變換，有第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天17所以同解方程組為一般解為（為自由未知量）第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天18或注自由未知量的選取不唯一，如例2中，可化為所以一般解為（為自由未知量）第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天19例3解線性方程組解解得唯一解第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天20例4解線性方程組解最后一個為矛盾方程組故方程組無解.第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天21例5t為何值時線性方程組

解有解?并求解.方程組有無窮多解。第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天22例6解線性方程組

解這是一個齊次線性方程組，且方程個數(shù)小于未知個數(shù)，故必有非零解。只需對系數(shù)矩陣施以初等行變換。第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天23求得全部解為第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天24例7下面的線性方程組當a、b為何值時有解？在有解解的情況下，求出全部解。第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天25此時一般解為

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