遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1.集合，若且，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，因為且，所以滿足條件的集合的個數(shù)為.故選：C.2.已知函數(shù)，設(shè)甲：，乙：是偶函數(shù)，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，，為偶函數(shù)，甲是乙的充分條件；若為偶函數(shù)，則，則反向無法推出，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A．3.有一天，數(shù)學(xué)家笛卡爾在反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達(dá)到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，這樣就可以用一組數(shù)表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組有順序的兩個數(shù)來表示，這就是我們常用的平面直角坐標(biāo)系雛形.如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，請利用平面直角坐標(biāo)系與向量坐標(biāo)，計算的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為原點，以所在的直線為軸，以過點垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，且分別為的中點，則，可得，可得，則，且，因為即為向量與的夾角，可得.故選：A.4.若等差數(shù)列的前項和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗依題意，則；又，則則，且，所以等差數(shù)列單調(diào)遞減，，且最小.所以若對任意正整數(shù)，都有，則有．故選：B．5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，，，∵冪函數(shù)在單調(diào)遞增，且，∴，即；又∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，即；又∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴，即；綜上所述，，，的大小關(guān)系是.故選：D.6.在正方體中，點為棱上的動點，則與平面所成角的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，連接，則，因為在正方體中，平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．設(shè)，，因為，所以，因為，所以，故選：C．7.已知奇函數(shù)滿足：，當(dāng)時，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，，而，所以在上單調(diào)遞增，所以時，，時因為所以，由，即關(guān)于對稱，又因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以為的周期，所以，因為所以所以，故選：C.8.如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗延長與雙曲線交于點P＇，因為，根據(jù)對稱性知，設(shè)，則，，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B.二、多選題9.已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（

）A.若，則B.若，則C.若復(fù)數(shù)，滿足．則D.若，則的最大值為4〖答案〗BD〖解析〗A：令，，則，但是虛數(shù)不能比較大小，錯誤；B：因為，所以，即，則或，所以或，所以，正確；C：設(shè)（，），（，），由可得，所以，而，不一定為0，錯誤；D：設(shè)，，，因為，所以，即，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在圓上，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在圓上，因為兩圓的圓心距為，所以兩圓相外切，則兩圓上的兩點的連線段最大值為，正確.故選：BD.10.如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（

）A.若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；B.數(shù)列是等比差數(shù)列；C.所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；D.存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．〖答案〗ACD〖解析〗對A，數(shù)列滿足，則，滿足等比差數(shù)列的定義，故A正確；對B，數(shù)列，，不滿足等比差數(shù)列的定義，故B錯誤；對C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，滿足等比差數(shù)列，故C正確；對D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故當(dāng)時，滿足，故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即D正確；故選：ACD.11.已知點，在圓上，點在直線上，則（

）A.直線與圓相離B.當(dāng)時，的最大值是C.當(dāng)、為圓的兩條切線時，為定值D.當(dāng)、為圓的兩條切線時，直線過定點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為到直線的距離，即直線與圓相離，A正確；對于B，令的中點為，則，，點在以為圓心，為半徑的圓上，，顯然當(dāng)在上運動時，無最大值，B不正確；對于C，當(dāng)、為切線時，，，所以在中，，同理，，故C正確.對于D，設(shè)，當(dāng)、為切線時，，，點、在以為直徑的圓上，此圓的方程為，由圓，作差得直線為，即，即有，解得，所以直線過定點，D正確.故選：ACD.12.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四面體P－ACD是鱉臑 B.陽馬P－ABCD的體積為C.陽馬P－ABCD的外接球表面積為 D.D到平面PAC的距離為〖答案〗BD〖解析〗設(shè)，，，由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，，，，可得，解得即，，．對于A，由，，可得△PAC不是直角三角形，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，將陽馬補(bǔ)形為長為2，寬為1，高為1的長方體，可知其外接球直徑為，故陽馬的外接球半徑，表面積，故C錯誤；對于D，設(shè)D到平面的距離為h，由，，可得的面積為，由等體積法，可得，解得，故D正確．故選：BD.三、填空題13.拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù)___________.〖答案〗〖解析〗拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線方程是，而所以，即，故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列中，，若對任意，則數(shù)列的前項和______．〖答案〗〖解析〗由，且，可知，則可化為，則有，即是等比數(shù)列，且公比為2，首項為，則，所以，即數(shù)列的前項和為．故〖答案〗為：.15.已知，，，則_____〖答案〗〖解析〗由，得，得①，由，得，得②，①②得：，即，.故〖答案〗：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為_______________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，可知的定義域為，則，所以為奇函數(shù)，因為，可知在上單調(diào)遞增，對于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價于對任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取到最小值，可得，所以實數(shù)的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數(shù)列中，對于任意正整數(shù)，，都有且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2024項和.解：（1）令，則由已知得，即，又因為，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即有.（2）因為當(dāng)時，，故由，故.18.在鈍角中，內(nèi)角，，的對邊為，，，已知.（1）若，求；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，所以即，即，即,因為，所以，因為，所以，，所以（2）由（1）知，，所以，因為，，所以或，又因為在鈍角中，故，所以，所以為銳角，且，解得，所以由正弦定理可得，令，則，，對應(yīng)函數(shù)為，，所以在為減函數(shù)，所以，當(dāng)趨近于時，趨近于，所以的值域為，即的取值范圍為19.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的瑰寶，中國象棋使用方形格狀棋盤，圓形棋子共有32個，紅黑各有16個棋子，擺動和活動在交叉點上．雙方交替行棋，先把對方的將（帥）將死的一方獲勝，為豐富學(xué)生課余生活，現(xiàn)某中學(xué)舉辦象棋比賽，經(jīng)過3輪的篩選，最后剩下甲乙丙三人進(jìn)行最終決賽．甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙與甲，乙比賽獲勝的概率都為（1）如果甲與乙采用5局3勝制比賽（其中一人勝3局即結(jié)束比賽），那么甲勝乙的概率是多少；（2）若第一輪甲與乙比賽，丙輪空；第二輪由丙與第一輪的勝者比賽，敗者輪空；第三輪由第二輪比賽的勝者與第二輪比賽的輪空者比賽，如此繼續(xù)下去（每輪都只比賽一局），先勝兩局者獲得冠軍，每場比賽相互獨立且每場比賽沒有平局，求乙獲得冠軍的概率．解：（1）記比三局甲獲勝的概率為，則，比四局甲獲勝的概率為，則，比五局甲獲勝的概率為，則，則甲獲勝的概率為，答：甲勝乙的概率為（2）若第一輪乙勝，則第二輪由乙丙比賽，若第二輪乙勝，則結(jié)束比賽，且概率為；若第二輪丙勝，則進(jìn)入第三輪甲丙比賽，必須甲勝，再進(jìn)入第四輪由甲乙比賽，并且乙獲勝結(jié)束比賽，且概率為；若第一輪甲勝，則第二輪由甲丙比賽，必須丙勝，再進(jìn)入第三輪由丙乙比賽，必須乙勝，再進(jìn)入第四輪由甲乙比賽，乙獲勝，結(jié)束比賽，且概率為，故乙獲得冠軍的概率為，答：乙獲得冠軍概率為.20.如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點．（1）證明：//平面；（2）若二面角的正切為，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，，連接BO并延長交AC于點M，連接.因為，所以.因為是三棱柱的高，所以面，又面，所以.因為，面，面，所以面，因為面，所以.因為，所以，故為的中點.因為為的中點，所以，又，平，所以平面.（2）解：由（1）可知，為二面角的平面角，因為且二面角的正切為，所以.在中，，所以，則在中，，因為，且根據(jù)最小角定理，，，所以，，所以，，，.如圖以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，所以所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個法向量為；又，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.21.已知：平面內(nèi)的動點P到定點為和定直線距離之比為，（1）求動點P的軌跡曲線C的方程；（2）若直線與曲線C交點為M，N，點，當(dāng)滿足a時，求證：b.①;②;③直線過定點，并求定點的坐標(biāo).④直線的斜率是定值，并求出定值.請在①②里選擇一個填在a處，在③④里選擇一個填在b處，構(gòu)成一個真命題，在答題卡上陳述你的命題，并證明你的命題.解：（1）設(shè)，P到的距離為d，依題意，，則，化簡得，所以動點P的軌跡曲線C的方程是.（2）選①③，當(dāng)滿足時，求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo).由消去并整理得：，，設(shè)，于是，由，得，即，整理得，于是，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，舍去，當(dāng)時，直線過點，所以直線過定點，該定點坐標(biāo)為.選①④，當(dāng)滿足時，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.由選①③的〖解析〗知，直線繞定點旋轉(zhuǎn)，其斜率不是定值，則①④構(gòu)成的命題不是真命題.選②④，當(dāng)滿足時，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.由消去并整理得：，，設(shè)，于是，由，得，整理得，，化簡得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，舍去，當(dāng)時，直線的斜率是定值，此定值為.若選②③，當(dāng)滿足時，求證：直線過定點，并求定點的坐標(biāo).由選②④的〖解析〗知，當(dāng)滿足時，直線的斜率是定值，直線是平行直線，不可能過定點，因此②④構(gòu)成的命題不是真命題.22.已知函數(shù).（1）求