2024屆黑龍江省哈爾濱名校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱名校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．2．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．53．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}4．已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經(jīng)過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．6．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．8．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．9．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．410．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．11．本次模擬考試結(jié)束后，班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表，若化學(xué)排在生物前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．360種12．是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則_____，（的值為______．14．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.15．設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍為________.16．三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．18．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學(xué)歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.19．（12分）已知，均為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當為中點時，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對角線將折起，使點A到達點P，點M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.2、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模3、C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因為或，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)題意，設(shè)點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，，又以為直徑的圓經(jīng)過點，則，即，解得，，所以，，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.6、A【解析】

在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.7、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.8、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.9、D【解析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當時，，此時不滿足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．10、B【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結(jié)論.【詳解】∵，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調(diào)遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個，有種排法，所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題12、B【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，求出面的法向量，設(shè)的坐標，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標的關(guān)系，進而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為，設(shè)為的中點，以為坐標原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.【點睛】考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7201【解析】

利用二項展開式的通式可求出；令中的，得兩個式子，代入可得結(jié)果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式，，故，，故（=，故答案為：720；1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，考查賦值法，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行，數(shù)形結(jié)合可知當且僅當目標函數(shù)過點，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】

當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足，且，解得答案.【詳解】，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)為常數(shù)，需滿足，且，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.16、【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個小朋友之間準備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】

利用比較法進行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因為,，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。18、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結(jié)果；分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設(shè)當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由進行變換，得到，兩邊開方并化簡，證得不等式成立.（2）將化為，然后利用基本不等式，證得不等式成立.【詳解】（1），兩邊加上得，即，當且僅當時取等號，∴.（2）.當且僅當時取等號.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.20、（1）見證明；（2）【解析】

（1）設(shè)是的中點，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建空間直角坐標系，分別計算各個點坐標，計算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)是的中點，連接、，是的中點，，，，，，，是平行四邊形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面，，；（2）由（1）得平面，，平面平面，過點作，垂足為，平面，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，，令，則，，，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標系解決線面夾角問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.21、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點.法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設(shè)，，，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知，，，，，，設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.【點睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．22、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結(jié)果.（2）根據(jù)二