中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件一元二次方程及其應(yīng)用

一元二次方程及其應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)1

一元二次方程及其解法1.概念及形式概念含有①

一

?個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的最高次數(shù)是②

2

?的整式方程一般形式ax2＋bx＋c＝0（其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)，a≠0）一22.解法解法適用情況注意事項(xiàng)/步驟直接開平方法（1）形如ax2＋c＝0（a≠0，ac＜0）的方程；（2）形如（x＋b）2＝a（a≥0）的方程開方后所取值前記得加“±”號(hào)因式分解法將方程右邊化為0后，方程的左邊可以提出含有x的公因式，形如x（ax＋b）＝0或（ax＋b）（cx＋d）＝0的方程不能在方程兩邊同除以相同的含未知數(shù)的因式解法適用情況注意事項(xiàng)/步驟公式法適用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式為x＝③

?

?（b2－4ac≥0）（1）使用求根公式時(shí)要先把一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0；（2）將a，b，c代入公式時(shí)應(yīng)注意其符號(hào)配方法適用所有一元二次方程，其中當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)化為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，配方法較簡(jiǎn)單配方時(shí)，在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，不要漏加

【提分小練】1.若xm＋3x＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為

2

?.2.若關(guān)于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x＋k2－1＝0有一根為0，則k的值為

－1

?.3.解方程x2－3x＝0較為合適的方法是（

D

）A.直接開平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法2－1D

（x－1）2＝3

知識(shí)點(diǎn)2

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系概念關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式為④

b2－4ac

?與根的關(guān)系（1）b2－4ac＞0?一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）⑤

b2－4ac＝0

??一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）⑥

b2－4ac＜0

??一元二次方程無實(shí)數(shù)根.（4）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，則x1＋x2＝－，

x1x2＝b2－4acb2－4ac＝0b2－4ac＜0【奪分寶典】根的判別式的作用：（1）直接判斷或證明一元二次方程根的情況；（2）根據(jù)方程根的情況，確定字母的值或取值范圍（注：二次項(xiàng)系數(shù)不為0）.【提分小練】5.已知關(guān)于x的方程ax2－4x＋1＝0.（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

a＜4且a≠0

?；（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a的值為

4

?；（3）若方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

a≤4

?；（4）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且和為1，則a的值為

4

?；（5）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，則a的值為

1

?.a＜4且a≠04a≤441知識(shí)點(diǎn)3

一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答類型等量關(guān)系變化率問題設(shè)a為原來量，若平均增長(zhǎng)率為x%，增長(zhǎng)次數(shù)為2，則增長(zhǎng)后的量b＝⑦

a（1＋x%）2

?；若平均下降率為x%，下降次數(shù)為2，則下降后的量b＝⑧

a（1－x%）2

?a（1＋x%）2a（1－x%）2類型等量關(guān)系面積問題（1）如圖1，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝⑨

（a－2x）（b－2x）?；（2）如圖2，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝⑩

（a－x）（b－x）

?；（3）如圖3，設(shè)陰影部分的寬為x，則S空白＝?

（a－x）（b－x）

??

?

?

?

?

?圖1

圖2

圖3（a－2x）（b－2x）（a－x）（b－x）（a－x）（b－x）類型等量關(guān)系每每問題（1）常用公式：利潤(rùn)＝售價(jià)－成本；總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售量；（2）每每問題中，單價(jià)每漲a元，少賣b件，若漲價(jià)y元，則少賣的數(shù)

量為（×b）件循環(huán)賽問題（1）單循環(huán)淘汰賽問題：設(shè)x隊(duì)進(jìn)行m場(chǎng)比賽，則＝m；（2）互贈(zèng)照片問題：全班x人，每人向其他人贈(zèng)送一張，共贈(zèng)送m張，

則x（x－1）＝m【提分小練】6.某種商品原來每件售價(jià)為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，該種商品每件售價(jià)為96元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

C

）A.150（1－x）＝96B.150（1－x2）＝96C.150（1－x）2＝96D.150（1－2x）＝96C7.如圖，在長(zhǎng)為50m，寬為38m的矩形地四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2，則道路的寬應(yīng)為

4

?m.4

命題點(diǎn)1

一元二次方程及其解法1.若關(guān)于x的一元二次方程x2－ax＋6＝0的一個(gè)根是2，則a的值為（

D

）A.2B.3C.4D.52.三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2－8x＋15＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為

12

?.D12考點(diǎn)訓(xùn)練（1）x2＋2x－1＝0；

（2）x2－3x＝0；

（2）利用因式分解法解x2－3x＝0.因式分解，得x（x－3）＝0，∴x1＝0，x2＝3.3.（2022·貴陽）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程.

（4）利用因式分解法解x2－4＝0.因式分解，得（x＋2）（x－2）＝0，∴x1＝－2，x2＝2.（3）x2－4x＝4；

（4）x2－4＝0.命題點(diǎn)2

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系4.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是（

A

）A.－7B.7C.3D.－3A5.（2022·安順）定義新運(yùn)算a*b：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足a*b＝（a＋b）（a－b）－1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如，3*2＝（3＋2）×（3－2）－1＝5－1＝4.若x*k＝2x（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（

B

）A.有一個(gè)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根B

A.7B.－7C.6D.－67.（2022·銅仁）若一元二次方程x2＋2x＋k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為

1

?.

B1

命題點(diǎn)3

一元二次方程的應(yīng)用9.如圖，把一塊長(zhǎng)為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則可列方程為（

D

）A.（30－2x）（40－x）＝600B.（30－x）（40－x）＝600C.（30－x）（40－2x）＝600D.（30－2x）（40－2x）＝600D10.某校八年級(jí)組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)砂嘀g都賽一場(chǎng)），共需安排15場(chǎng)比賽，則八年級(jí)班級(jí)的個(gè)數(shù)為（

B

）A.5B.6C.7D.8B11.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了

10

?個(gè)人.1012.在水果銷售旺季，某水果店購(gòu)進(jìn)一種優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/kg，售價(jià)不低于20元/kg，且不超過32元/kg，根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y（kg）與該天的售價(jià)x（元/kg）滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.銷售量y/kg…34.83229.628…售價(jià)x/（元·kg－1）…22.62425.226…（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/kg，求當(dāng)天該水果的銷售量；

（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少？解：（2）根據(jù)題意，得（x－20）（－2x＋80）＝150，解得x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：該天水果的售價(jià)為25元/kg.

?

?（一題多解）端午節(jié)期間，某水果超市調(diào)查某種水果的銷售情況，下面是調(diào)查員的對(duì)話：小王：“①該水果的進(jìn)價(jià)是每千克22元.”小李：“②當(dāng)銷售價(jià)為每千克38元時(shí)，每天可售出160kg；③若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120kg.”根據(jù)他們的對(duì)話，解答下列問題：④超市每天要獲得銷售利潤(rùn)3640元；⑤又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠；⑥求這種水果的銷售價(jià)為每千克多少元.

（38－x－22）

【自主解答】

答：這種水果的銷售價(jià)為每千克29元.

（x－22）

【自主解答】

答：這種水果的銷售價(jià)為每千克29元.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商對(duì)一款成本價(jià)為每件40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件.（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？

（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元.為提高市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對(duì)該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？

答：該商品至少需打8折銷售.2.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛.某商店以每件35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件58元的價(jià)格出售.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，4月份的銷售量為256件，6月份的銷售量為400件.（1）求該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率；解：（1）設(shè)該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意，得256（1＋x）2＝400，解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25（不符合題意，舍去）.答：該款吉祥物4月份到6月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為25%.（2）從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款

吉祥物每件每降價(jià)1元，月銷售量就會(huì)增加20件.當(dāng)該款吉祥物售價(jià)為每件

多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元？解：（2）設(shè)該吉祥物售價(jià)為每件y元，則每件的銷售利潤(rùn)為（y－35）元，月銷售量為400＋20（58－y）＝1560－20y（件）.根據(jù)題意，得（y－35）（1560－20y）＝8400，整理，得y2－113y＋3150＝0，解得y1＝50，y2＝63（不符合題意，舍去）.答：當(dāng)該款吉祥物售價(jià)為每件50元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)8400元.1.（2023·貴陽白云區(qū)期末）用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（

D

）A.（x＋6）2＝28B.（x－6）2＝28C.（x＋3）2＝1D.（x－3）2＝12.（2023·畢節(jié)期末）一元二次方程x2＋3x－2＝0的根的情況為（

A

）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定DA鞏固訓(xùn)練3.（2023·銅仁模擬）若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的兩個(gè)根，則（

A

）A.x1＋x2＝6B.x1＋x2＝－6C.x1x2＝D.x1x2＝74.（2023·遵義期末）某市2020年人均可支配收入為2.36萬元，2022年達(dá)到2.7萬元.若2020年至2022年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為x，則下面所列方程正確的是（

B

）A.2.7（1＋x）2＝2.36B.2.36（1＋x）2＝2.7C.2.7（1－x）2＝2.36D.2.36（1－x）2＝2.7AB5.（2023·六盤水模擬）關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m－2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

D

）A.m＜B.m＞3C.m≤3D.m＜3D6.（2023·貴陽模擬）已知關(guān)于x的方程x2＋mx－20＝0的一個(gè)根是－4，則它的另一個(gè)根是

5

?.7.若x＝3是關(guān)于x的方程ax2－bx＝6的解，則2023－6a＋2b的值為

2019

?.8.關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋4c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為

0（答案不唯一）

?.（寫出一個(gè)滿足條件的值）9.解下列方程：（1）x2－3x＋2＝0；解：分解因式，得（x－1）（x－2）＝0，∴x－1＝0或x－2＝0，∴x1＝1，x2＝2.520190（答案不唯一）（2）2x2＋x－2＝0.

10.如圖，在長(zhǎng)為50m、寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？解：設(shè)道路的寬應(yīng)為xm.根據(jù)題意，得（50－2x）（38－2x）＝1260，解得x1＝4，x2＝40（不合題意，舍去）.答：道路的寬應(yīng)為4m.11.已知關(guān)于x的一元二次方程kx2－（2k＋4）x＋k－6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k＝1時(shí)，用配方法解方程.

12.若一元二次方程mx2＋2x＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

D

）A.m≥－1B.m≤1C.m≥－1且m≠0D.m≤1且m≠013.如圖，在長(zhǎng)為100m、寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（

A

）A.5mB.70mC.5m或70mD.10mDA14.若關(guān)于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1，x2，且x1＝3x2，則m的值為（

C

）A.4B.8C.12D.1615.（2023·內(nèi)江）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b＝b2－ab