專題05 五大類圓錐曲線題型（試卷含解析）-2024年高考數(shù)學最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項訓練（新高考新題型專用）

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（原卷版）【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】曲線方程的定義一般地，如果曲線C與方程F(x,y)=0之間有以下兩個關(guān)系：①曲線C上的點的坐標都是方程F(x,y)=0的解；②以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點.此時，把方程F(x,y)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程F(x,y)=0的曲線.求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為(x,y)；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標x、y表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍.上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍.求軌跡方程的方法：定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點P的坐標(x,y)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P,的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知該點坐標滿足某已知曲線方程則可以設出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點P,的坐標，然后把P,的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2，y1，x1x2，y1y2等關(guān)系式，由于弦AB的中點P(x,y)的坐標滿足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB中點的軌跡方程.且與l1垂直的直線l2分別交x軸，y軸于A(x,0)，B(0,y)兩點，點P坐標為(x,y)，當M點坐標為(2,3)時，P點坐標為(8,4).(1)求雙曲線的標準方程；(2)當點M運動時，求P點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.已知A(-1,0),B(1,0)，直線AM,BM相交于M，且直線AM,BM的斜率之積為2.(1)求動點M的軌跡方程；(2)設P,Q是點M軌跡上不同的兩點且都在y軸的右側(cè)，直線AP,BQ在y軸上的截距之比為1:2，求證：直線PQ經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.，點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設點P在直線x=s(s>2)上，A、B為C的左右頂點，直線PA交C于點E（異于A,B直線PB交C于點F（異于A,BEF交AB于G，過G作x軸的垂線分別交PA、PB于R、T，問是否存在常數(shù)λ,使得RG=λTG.22 x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2 x2----------垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1.MM2=20.(1)求動點M的軌跡方程E；(2)設A1(2,0)，A2(2,0)，過點(3,0)的直線l與曲線E交于A，B兩點（點A在x軸上方6P為直線A1A，A2B的交點，當點P6時，求直線l的方程.2．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線M:一y2=1經(jīng)過點A(2,1)，點B與點A關(guān)于原點對稱，C為M上一動點，且C異于A,B兩點.(1)求M的離心率；(2)若△BCT的重心為A，點D(8,4)，求DT的最小值；(3)若△BCT的垂心為A，求動點T的軌跡方程.3．已知長為2的線段PQ的中點為原點O，圓T經(jīng)過P,Q兩點且與直線y+2=0相切，圓心T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點D(1,b)且互相垂直的直線l1,l2分別與曲線C交于點E,H和點M,N，且ED=DH，四邊形MENH的面積為15，求實數(shù)b的值.是其右焦點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設P(x0,y0)(y0>0)是橢圓C上一點，經(jīng)PFB的角平分線與直線AP交于點T.①求點T的軌跡方程；②若△TPF面積為，求x0.(1)求點P的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點O的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點.設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，記k1k2=t，是否存在t值使得‘OAB的面積為定值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.6．已知動圓過定點A(2,0)，且截y軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心C的軌跡方程；(2)若點F(1,0)，過點P(5,一4)的直線交C的軌跡于M,N兩點，求FM.FN的最小值.7．在‘ABC中，已知B(一1,0)，C(1,0)，設G,H,W分別是‘ABC的重心、垂心、外心，且存在λeR使=.(1)求點A的軌跡Γ的方程；(2)求ΔABC的外心W的縱坐標m的取值范圍；(3)設直線AW與Γ的另一個交點為M，記△AWG與ΔMGH的面積分別為S1,S2，是否存在實數(shù)λ使=？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.8．已知A(2,0)，B(-2,0)，P為平面上的一個動點.設直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=-.記P的軌跡為曲線Γ.(1)求Γ的軌跡方程；(2)直線PA，PB分別交動直線x=t于點C,D，過點C作PB的垂線交x軸于點H..是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.:已知點P(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的一個定點，A,B是橢圓上的兩個動點。kAB為定值；證明:重新建系將橢圓C上的P(x0,y0)成為新0-00,y00-000+02b2橢圓C上的定點P(x0,y0)和動點A,B分別對應橢圓C1上的定點O和動點A1,B1，設直線A1B1的方程為mx0n0m坐標滿足這個方程，所以kOA1,kOB1是這個關(guān)于若kPA+kPB=λ,由平移斜率不變可知kOA1+kOB1=λ,故kOA1OB1=λ,當λ=0時，所以-2b2x0n-2a2y0m=0，由此得kA1B1即-2b2x0nx0b22y0a。所以AB的斜率為定值，kAB為定值x0b22y0a2222y0(2b2x0)-2ay0m=λa+2aλy0n:-λm-|(λ2222y0(2b2x0)0-:若直線kPA+kPB=λ,則直線AB過定點.0平面內(nèi)的定點P(x0,y0)和橢圓C上的動點A、B分別對應橢圓C1上的定點O和動點A1、2=0（構(gòu)造齊次式2整理得，2-n2+0n+2mn2y0m-2mn++-m2kPA+kPB=λ的坐標滿足這個方程，所以kOA1和kOB1 y是關(guān)于的方程的兩根．若 y是關(guān)于x知kOA1OB1=λ所以11n2x02-2kOAOB11n2x02-2a2b2n可知直線A1B1過定點，由平移規(guī)律可得直線AB過定點.個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）設點P是橢圓C上一動點，求線段PM的中點Q的軌跡方程；（3）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，=8，探究：直線AB是否過定點，并說明理由.(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，------（1）求橢圓的標準方程；（2）過點Q(2,一1)且不過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，求證：直線PA與PB的斜率之和為定值.)，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.2=-4y的焦點.(1)求橢圓C的方程；(2)若點P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2)均在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，(ⅰ)求證：直線PQ過定點；(ⅱ)當//時，求直線PQ的方程.且E的焦距為2.(1)求E的方程和離心率；(2)過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于R，S兩點，設直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1+k2=-3，求k的值.的上頂點和下頂點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知過(0,1)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.4．在平面直角坐標系xOy中，重新定義兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為AB=x2x1+y2y1，我們把到兩定點F1(c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設c=1,a=2，作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A，過F2作直線交C于M,N兩點，ΔAMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值.5．焦點在x軸上的橢圓 1上不同三點，且當OB=λOC時，直線MB和直線MC的斜率之積為一4.(1)求b的值；(2)若ΔOAB的面積為1，求x+x和y+y的值；(3)在（2）的條件下，設AB的中點為D，求OD.AB的最大值.PDPNPMPEPDPNPMPE6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓 為B1，且AB1的方程為為B1，且AB1的方程為(1)求橢圓C的標準方程；(2)若P是直線x=3上一點，過點P的兩條不同直線分別交C于點D，E和點M，N，且=，求證：直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為定值.(1)求橢圓C的標準方程；求直線PQ與直線l的斜率之積的最小值.8．已知P為圓x2+y2=4上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點.M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B.直線l與曲線E交于C，D兩點，若直線l//直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為k1,k2.證明：k1.k2為定值.1+k21+k2弦長公式= 1-x2)2+(y1-y2= =x-x== =三角形面積問題（最常用公式，使用頻率最高）直線AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m11+k2ΔA'2 ΔAΔA'2 ΔA2+B2AB=222A'焦點三角形的面積直線AB過焦點F2,ΔABF1的面積為=F.y1y2=cy1y2=AA'2ΔAOB=|AB|d=2AA2+B2 4a2b2(a2A2+b2B2一Ca2A2+b2B2ab(a2A2+b2B2一C2)C22A2+b2B2注意：A'為聯(lián)立消去x后關(guān)于y的一元二次方程的二次項系數(shù)平行四邊形的面積mm22xx= 2)24x1x22 ΔA'mm 12注意：A'為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).范圍問題應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：2t2當且僅當9k2=時，等號成立225y225y9x225y9x025y0當且僅當25.=9.時等號成立.2222當且僅當m2=m2+8時，等號成立(5)2當且僅當2k2+1=2m時等號成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線C:xy -a2b2為A1，A2，經(jīng)過點B(4，0)的直線l與C的右支分別交于M，N兩點，其中點M在x軸上方.(1)若l」x軸時，MN=2，設直線MA1，NA2的斜率分別為k1，k2，求的值；(2)若經(jīng)BA2N=2經(jīng)BA1M，求‘A1MN的面積.設拋物線方程為y2=2x，過點P的直線PA,PB分別與拋物線相切于A,B兩點，且點A在x軸下方，點B在x軸上方.(1)當點P的坐標為(-1,-2)時，求AB；(2)點C在拋物線上，且在x軸下方，直線BC交x軸于點N，直線AB交x軸于點M，且3AM<2BM.若‘ABC的重心在x軸上，求的最大值.（注：S表示三角形的面積）(2)設直線l交C于不同于點A的M，N兩點，直線AM，AN的傾斜角分別為C，β,若(c,0)分別是橢圓C:+y2=1的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，------(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C的外切矩形ABCD的面積S的最大值.2．在橢圓C:+=1上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點M在線段PD上，且滿足DP=DM.(1)當點P在橢圓C上運動時，求點M的軌跡E的方程；(2)若曲線E與x，y軸的正半軸分別交于點A，B，點N是E上第三象限內(nèi)一點，線段AN與y軸交于點H，線段BN與x軸交于點G，求四邊形ABGH的面積.3．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算與橢圓E交于A,B兩點（不與P1,P2兩點重合）且直線l2:x+2y-6=0.(1)證明：AP1，BP2的交點P在直線y=2上;(2)求直線AP1,BP1,l2圍成的三角形面積的最小值.(1)求橢圓C的方程；(2)設A，B是橢圓C的左、右頂點，過F的直線l交C于D，E兩點（其中D點在x軸上方求‘DBF與ΔAEF的面積之比的取值范圍.5．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為．點M在直線x=-3(y干0)上運動，且直線MF1的斜率與直線MF2的斜率之商為2.(2)若點A、B在橢圓C上，O為坐標原點，且OA」OB，求‘AOB面積的最小值.四邊形A1B1A2B2的面積為6，若橢圓C上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(-1,0)且斜率不為0的直線l與C交于P,Q（異于A1,A2)兩點，設直線A2P與直線A1Q交于點M，探究三角形B1B2M的面積是否為定值，請說明理由.(1)求E的方程；(2)若圓x2+y2=1的兩條相互垂直的切線l1,l2均不與坐標軸垂直，且直線l1,l2分別與E相交于點A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最小值.8．已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，由其3個頂點確定的三角形的面P(2,1)在C上，A,B為直線x=4上關(guān)于x軸對稱的兩個動點，直線AP,BP與C的另一個交點分別為M,N.(1)求C的標準方程；(2)證明：直線MN經(jīng)過定點；(3)O為坐標原點，求ΔMON面積的最大值.題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x，y視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示，然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.已知拋物線C：y2=2px（p>0M是其準線與x軸的交點，過點M的直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的坐標為（4，y0）時，有|MB|=|BA|.(1)求拋物線C的方程；(2)設點A關(guān)于x軸的對稱點為點P，證明：直線BP過定點，并求出該定點坐標.已知斜率為√3的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P,Q兩點.(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點T(,0)，直線TP,TQ分別與拋物線相交于M,N兩點（異于P,Q求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標.已知雙曲線C:x2-y2=1，點A是雙曲線C的左頂點，點P坐標為(4,0).4(1)過點P作C的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線C于R，S兩點.求直線RS的方程；(2)過點P作直線l與橢圓+y2=1交于點D，E，直線AD，AE與雙曲線C的另一個交點分別是點M，N.試問：直線MN是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.長為8.(1)求C的方程.(2)設C的右頂點為點A，過點D(4,6)的直線l與C交于P,Q兩點（異于B直線AP,AQ與y軸分別交于點M,N，試問線段MN的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.2．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的上下頂點分別為B1,B2，左右頂點分別為A1,A2，四邊形A1B1A2B2的面積為6，若橢圓C上的點到右焦點距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢交于點M，證明：點M在定直線上.3．如圖，已知橢圓Γ的短軸長為4，焦點與雙曲線x2yx24-tt=1的焦點重合.點P(4,0)，斜率為1與橢圓Γ交于A,B兩點.(1)求常數(shù)t的取值范圍，并求橢圓Γ的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進行解答)極點與極線是法國數(shù)學家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對于橢圓Γ:+=1，極點P(x0,y0)（不是原點）對應的極線為xx xx2a+y0yb2=1，且若極點P在x軸上，則過點P作橢圓的割線交Γ于點A1,B1，則對于lP上任意一點Q，均有kQA+kQB=2kPQ（當斜率均存在時）.已知點Q是直線l1上的一點，且點Q的橫坐標為2.連接PQ交y軸于點E.連接PA,PB分別交橢圓Γ于M,N兩點.①設直線AB、MN分別交y軸于點D、點T，證明：點E為D、T的中點；②證明直線：MN恒過定點，并求出定點的坐標.----------F1B+F----------(1)求C的方程.(2)設C的右頂點為點A，過點D(4,6)的直線l與C交于P,Q兩點（異于B直線AP,AQ與y軸分別交于點M,N，試問線段MN的中點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.(1)求橢圓C的方程；(2)設過點P(0,1)且不與坐標軸垂直的直線l與橢圓C交于A,B兩點，過A,B分別作y軸的垂線，垂足為點M,N，求證：直線AN與BM的交點在某條定直線上，并求該定直線的方程.圓L于C，D（不同于橢圓的頂點）兩點，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標準方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點P在一條定直線上運動.7．在平面直角坐標系xOy中，動點M到點F(1,0)的距離與到直線x=4的距離之比為.(1)求動點M軌跡W的方程；(2)過點F的兩條直線分別交W于A，B兩點和C，D兩點，線段AB，CD的中點分別為P，Q．設直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，且+=1，試判斷直線PQ是否過定點．若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.8．已知動圓M經(jīng)過定點F1(-,0)，且與圓F2(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設軌跡C與x軸從左到右的交點為A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設PB交直線x=4于點T，連接AT交軌跡C于點Q，直線AP，AQ的斜率分別為kAP，kAQ.①求證：kAP·kAQ為定值；②證明：直線PQ經(jīng)過x軸上的定點，并求出該定點的坐標.圓錐曲線的極點與極線已知橢圓C:+=1（a＞b＞0則稱點P(x0,y0)和直線+=1為橢圓的一對極點和極線．極點和極線是成對出現(xiàn)的.我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點與極線.從幾何角度看極點與極線如圖，設P是不在圓錐曲線上的一點，過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則直線MN為點P對應的極線.若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.由圖同理可知，PM為點N對應的極線，PN為點M所對應的極線．因而將ΔMNP稱為自極三點形.設直線MN交圓錐曲線于點A，B兩點，則PA，PB恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1）當P在圓錐曲線Γ上時，則點P的極線是曲線Γ在P點處的切線；（2）當P在Γ外時，過點P作Γ的兩條切線，設其切點分別為A，B，則點P的極線是直線AB（即切點弦所在的直線（3）當P在Γ內(nèi)時，過點P任作一割線交Γ于A，B，設Γ在A，B處的切線交于點Q，則點P的極線是動點Q的軌跡.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點的距離的最小值4.(1)求p；(2)若點P在圓M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點，求‘PAB面積的最大值.已知F為拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點，直線l:y=2x+1與C交于A，B兩點且（1）求C的方程.（2）若直線m:y=2x+t(t子1)與C交于M，N兩點，且AM與BN相交于點T，證明：點T在定直線上.1(a>b>0)共頂點，且它們的離心率之積為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線A1P與A2Q的斜率分別為k1，k2，且k1一k2=0．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.x2a2,A2分別是橢圓x2a2（1）若B.AB=4，求橢圓Γ的方程；（2）設a=，F(xiàn)2是橢圓的右焦點，點Q是橢圓第二象限部分上一點，若線段F2Q的中點M在y軸上，求△F2BQ的面積.（3）設a=3，點P是直線x=6上的動點，點C和D是橢圓上異于左右頂點的兩點，且C，D分別在直線PA1和PA2上，求證：直線CD恒過一定點.2y42．已知A，B分別是雙曲線E:y4且與雙曲線E交于C，D兩點.（1）若=3，求直線l的方程；（2）若直線AC與BD相交于點P，求證：點P在定直線上.3．已知橢圓C:+=1(a>0,b>0)與y焦點，原點O到直線FA的距離為b.（1）求橢圓C的離心率；（2）設b=2，直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點M,N，求證：直線BM與直線AN的交點G在定直線上.4．已知橢圓C的離心率e=，長軸的左、右端點分別為A1(一2,0)，A2(2,0)2(1)求橢圓C的方程；(2)設直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點，直線A1P與A2Q交于點S，試問：當m變化時，點S是否恒在一條直線上？若是，請寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.(1)求橢圓C的方程：(2)設經(jīng)過點B(-1,0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，點E關(guān)于x軸的對稱點為F，直線DF與x軸相交于點G，求△DEG的面積S的取值范圍.C上的兩點(異于A,B)，連結(jié)AM,BN,MN，且BN斜率是AM斜率的3倍.（1）求橢圓C的方程；（2）證明:直線MN恒過定點.x2的傾斜角為135。.（1）求橢圓C的方程；（2）過D且斜率存在的動直線與橢圓C交于M、N兩點，直線A1M與A2N交于P，求證：P在定直線上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線BN的斜率為k(k干0)，直線AM的斜率為3k，求證：直線MN過定點.專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項訓練（解析版）【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題】曲線方程的定義一般地，如果曲線C與方程F(x,y)=0之間有以下兩個關(guān)系：①曲線C上的點的坐標都是方程F(x,y)=0的解；②以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都是曲線C上的點.此時，把方程F(x,y)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程F(x,y)=0的曲線.求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為(x,y)；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標x、y表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍.上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍.求軌跡方程的方法：定義法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點P的坐標(x,y)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P,的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知該點坐標滿足某已知曲線方程則可以設出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點P,的坐標，然后把P,的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2，y1，x1x2，y1y2等關(guān)系式，由于弦AB的中點P(x,y)的坐標滿足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB中點的軌跡方程.且與l1垂直的直線l2分別交x軸，y軸于A(x,0)，B(0,y)兩點，點P坐標為(x,y)，當M點坐標為(2,3)時，P點坐標為(8,4).(1)求雙曲線的標準方程；(2)當點M運動時，求P點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.破解1）第一步：設點設線聯(lián)立化解韋達判別由題設，l2:y-3=-(x-2)，令y=0，則x=3k+2，令x=0，則y=+3，所以l1:y=2x-1，代入-=1并整理得(b2-4a2)x2+4a2x-a2-a2b2=0，第二步：判別式等于04第一步：設點設線聯(lián)立化解韋達判別所以(3-k2)x2-2mkx-m2-3=0，則Δ=4m2k2+4(3-k2)(m2+3)=0，整理得m2+3=k2，第二步：多元合一元22=(x+)，令y=0，則x=，令x=0，則y=，2，故P點的軌跡方程為x2=16+3y2，即所以軌跡是去掉頂點的雙曲線.x23yx2已知A(一1,0),B(1,0)，直線AM,BM相交于M，且直線AM,BM的斜率之積為2.(1)求動點M的軌跡方程；(2)設P,Q是點M軌跡上不同的兩點且都在y軸的右側(cè)，直線AP,BQ在y軸上的截距之比為1:2，求證：直線PQ經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.破解1）直接法設M(x,y)(x子土1)，則直線AM的斜率是k1=，直線BM的斜率是k2=，（2）第一步：設點設線聯(lián)立化解韋達判別設直線AP在y軸上的截距為t，則直線BQ在y軸上的截距為2t，顯然t子0，2又雙曲線x2又雙曲線x2一2=1的漸近線方程為y=土x，顯然直線AP與雙曲線兩支各交于一點，22=-t消去y化簡整理得：(t2-2)2t1-1),消去y化簡整理得：(2t2-1)x2-4t2x+(2t2QQ2t2Qx=Q2t22t2-12t2-1第二步：含參點表示向量2t2+1t2+24(t4-1)4txQ-xP=2t2-1+t2-2=(2t2-1)(t2-2)，yQ-yP=-2t2-1+=0，設點P(xQ,yQ)，4t2t2-14t (2t2-1)(t2-2)t2-2于是=(t2-1,t)，設直線PQ上任意一點R(x,y)，則顯然//，因此t(x+)=(t2-1)(y+)，即x=(y+)-，整理得x=y+3，顯然直線x=y+3恒過定點(3,0)，所以直線PQ經(jīng)過定點(3,0).=4，點M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設點P在直線x=s(s>2)上，A、B為C的左右頂點，直線PA交C于點E（異于A,B直線PB交C于點F（異于A,BEF交AB于G，過G作x軸的垂線分別交PA、PB于R、T，問是否存在常數(shù)λ,使得RG=λTG.所以點M的軌跡以F1、F2為焦點的橢圓，x24所以橢圓x242（2）第一步：設點設線聯(lián)立化解韋達判別x24設PA:x=myx24x24x242+4y2即(n2F第二步：含參點表示向量ExG,yE),=(xFxE,yFyE)，由//得(xExG)(yFyE)=(xFxE)yE，得xExG=yEFE)，得xG=xEyEFE)=xExF2m284n2n2+84m m2=4n4mn22m282n2m2)mn2)m+n代入PA:x=my一2，得yR=，代入PB:x=ny+所以存在常數(shù)λ=1，使得RG=λTG.5252x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2 x2----------垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1.MM2=20.(1)求動點M的軌跡方程E；(2)設A1(2,0)，A2(2,0)，過點(3,0)的直線l與曲線E交于A，B兩點（點A在x軸上方6P為直線A1A，A2B的交點，當點P6時，求直線l的方程. 【詳解】（1）設M(x,y)，直線y=x的傾斜角為θ,則tanθ=經(jīng)M1OM2為鈍角，x+y(5)2x+y(5)2（2) 會=911 x2y(5)2（2)5x2y 3所以MM.MM x2y20由于M1位于第一象限，M2位于第四象限，所以M的軌跡方程E:xy 452(x2)聯(lián)立消去y得：226m6mmm4|xy1y1-5y2y1-5y23故點P,，直線AA1的斜率為：242，消去x化簡得：242，消去x化簡得：, 3y2y2x-333m===y220直線l的方程為x=y+32．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線M:-y2=1經(jīng)過點A(2,1)，點B與點A關(guān)于原點對稱，C為M上一動點，且C異于A,B兩點.(1)求M的離心率；(2)若△BCT的重心為A，點D(8,4)，求DT的最小值；(3)若△BCT的垂心為A，求動點T的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)-=1（去除點(-2,士1),(2【詳解】（1）因為雙曲線M:x2-y22所以M的離心率e=22a 20所以T的軌跡不含(6,3),(10,5)兩點.之，當且僅當y=4時，等號成立，即DT的最小值為.（3）因為A為△BCT的垂心，所以AT」BC,BT」AC，設C(x0,y0),T(x,y)，此時點T與點C重合，不合題意，舍.當直線BC或AC的斜率不為0時，直線AT與BT的斜率存在，4因為kAT.kBT.kAC.kBC=1，所以kAT.kBT==2，lx2lx22x2442則=1，因為B,C,T構(gòu)成三角形，故B不能在軌跡上，3．已知長為2的線段PQ的中點為原點O，圓T經(jīng)過P,Q兩點且與直線y+2=0相切，圓心T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點D(1,b)且互相垂直的直線l1,l2分別與曲線C交于點E,H和點M,N，且ED=DH，四邊形MENH的面積為15，求實數(shù)b的值.【答案】(1)x2=4y+2(2)【詳解】（1）由題意知圓心T在線段PQ的垂直平分線上，則OT2+OP2=TP2,設T(x,y)，圓T的半徑為r，2又圓T與直線y+2=0相切，故r=y+2，+2，化簡得x2=4y+2，所以曲線C的方程為x2=4y+2.（2）設E(x1,y1),H(x2,y2)，根據(jù)ED=DH可得D為EH的中點，x22x22-4-4b即kl12由Δ1所以x1+x2=2,x1.x2=-4b，所以EH=2.設M(x3,y3),N(x4,y4)，因為l1,l2互相垂直，易知直線l2:y=-2(x-1)+b，得x2+8x-4b-10=0，所以x3+x4=-8,x3.x4=-4b-10，則四邊形MENH的面積為EHMN=xxx2x=5.化簡得4b2+27b-7=0， 1.4解得b=-7（舍）或b=，符合Δ>0，所以b= 1.4是其右焦點.(1)求橢圓C的標準方程； +3-x-(x0-1) 2y0y0(2)設P(x0,y0)(y0>0)是橢圓C上一點，ZPFB的角平分線與直線AP交于點T.①求點T的軌跡方程；②若△TPF面積為，求x0.22（2）①：由（1）知，A(-2,0),B(2,0),F(1,0),P(x0,y0)，設ZBFT=θ,則ZPFB=2θ, 12 12x+1,FT:y=x-1，x+1xx+1x-1當x0FP1，sin2θ==y，設直線FT的k=tanθ=1-cos2θ11-(x0-1)sin2θsin2θtan2所以直線FT方程為y=(x-1)，又直線AT方程為y=(x+2)，y=(x-1)3(2-x0)y03(4-x2)-2y3(4-x2)+4y0(x-1)0解得x=3(4-x)+4y012-3x+4(3-x)2(12-3解得x=3(4-x)-2y0=12-3x-2(3-3x)=1(12-3x)=2將x=4代入直線AT方程，得y=，即T(4,)，故點T的軌跡方程為x=4(y>0)；PFPF.(1)求點P的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點O的直線l與點P的軌跡交于A，B兩點.設直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，記k1k2=t，是否存在t值使得‘OAB的面積為定值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.（2）設A(x1,k1x1)，B(x2,k,設直線OA與OB的傾斜角分別為c，β,則k1-k2k2tanc-tanβ1+k1-k2k2tanc-tanβ1+tanc.tanβ k2 k22.同理x=， -k2)2k222，所以當t=-時，SAOB為定值，即‘OAB面積為定值.6．已知動圓過定點A(2,0)，且截y軸所得的弦長為4.(1)求動圓圓心C的軌跡方程；(2)若點F(1,0)，過點P(5,-4)的直線交C的軌跡于M,N兩點，求FM.FN的最小值.【答案】(1)y2=4x(2)【詳解】（1）設動圓圓心為C(x,y),CA=(x-2)2+y2，C到y(tǒng)軸距離為x，動圓截y軸所得半弦長為2，則(x-2)2+y2=|x|2+22，化簡得y2=4x；所以動圓圓心C的軌跡方程為y2=4x.設M(x1,y1),N(x2,y2)，當直線MN斜率存在時，由題易知直線MN的斜率不為0，設直線MN的方程為y=k(x-5)-4=kx-5k-4(k牛0)，,5k-4,消去y得k2x2-(10k2+8k+4)x+(5k+4)2=0，由P(5,-4)在拋物線內(nèi)部，故Δ>0，所以x1由（1）知，F(xiàn)(1,0)為軌跡C的焦點，由拋物線定義得，xxx48k+20(16)2363648k+20(16)23636所以當=-,k=-時，F(xiàn)M.FN的最小值為；當直線MN斜率不存在時，x1=x2=5.36.5綜上，F(xiàn)M.FN的最小值為36.57．在ΔABC中，已知B(-1,0)，C(1,0)，設G,H,W分別是ΔABC的重心、垂心、外心，且存在λeR使=.3(1)求點A的軌跡Γ的方程；(2)求ΔABC的外心W的縱坐標m的取值范圍；(3)設直線AW與Γ的另一個交點為M，記△AWG與ΔMGH的面積分別為S1,S2，是否存在實數(shù)λ使=？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.B(-1,0)，C(1,0)，則=(2,0)，H為垂心，故H(x,yh)（2）由外心的定義知點W在y軸上，則W(0,m)，(x-1y)---(x-1y-2m)(x-1y)---(x-1y-2m)4（3）由對稱性，不妨設點A在第一象限，設A(x1,y1)，M(x2,y2)，直線AM：x=t(y-m)，2)得(3t2+1)y2-6mt2y+3m2t2-3=0，Δ=36m2t4-4(3t2+1)(3m2t2-3)>0，整理得3t2-m2t2+1>0；t2+1y22t2+1y22(x1y1)(y1)(x1y1)(y1) 12舍去）.又點A(x1,y1)在直線AM：x=t(y-m)上，所以x1=t(y1-m)，即x1=y1-，所以y1=3x1.又x+又=，所以=λ，即=2λ,所以λ=.λ=-所以，當點A在第一、四象限時，λ=λ=-1.3.8．已知A(2,0)，B(-2,0)，P為平面上的一個動點.設直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=-3.記P的軌跡為曲線Γ.(1)求Γ的軌跡方程；(2)直線PA，PB分別交動直線x=t于點C,D，過點C作PB的垂線交x軸于點H..是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.（2）由題意知直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=一，設直線PA的方程為y=k1(x+2)，令x=t，則可得直線PB:y=k2(x2)，同理求得D(t,k2(t2))，k223t242------即HC.HD存在最大值，最大值為------:已知點P(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的一個定點，A,B是橢圓上的兩個動點。kAB為定值；證明:重新建系將橢圓C上的P(x0,y0)成為新0,y00-000+b2橢圓C上的定點P(x0,y0)和動點A,B分別對應橢圓C1上的定點O和動點A1,B1，設直線坐標滿足這個方程，所以kOA1,kOB1是這個關(guān)于的方程的兩個根.若kPA+kPB=λ,由平移斜率不變可知kOA1+kOB1=λ,故xkOA1OB1=λ,當λ=0時，所以-2b2x0n-2a2y0m=0，由此得kA1B1mnx0b22y0a。所以AB的斜率為定值x0b22y0a即-2b2x0n-2a2y0m=λa2+2a2λy0n:-mkAB為定值；(2b2x0)(2b2x0)0在直線A1B1:mx,+ny,=1上，從而直線AB過定點0-:若直線kPA+kPB=λ,則直線AB過定點.0,y0)喻0-0平面內(nèi)的定點P(x0,y0)和橢圓C上的動點A、B分別對應橢圓C1上的定點O和動點A1、2=0（構(gòu)造齊次式2整理得，2-n2+0n+2mn2y0m-2mn++-m2因為點A1、B1的坐標滿足這個方程，所以kOA1和kOB1是關(guān)于的方程的兩根．若kPAkOA1OB1m-2mn=λ整理可得到m和n的關(guān)系，從而可知直線A1B1過定點，由平移規(guī)律可得直線AB過定點.個頂點，△F1MF2是等腰直角三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）設點P是橢圓C上一動點，求線段PM的中點Q的軌跡方程；（3）過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k1，k2，=8，探究：直線AB是否過定點，并說明理由.解1）由點M(0,2)是橢圓的一個頂點，可知b=2，(（2）設P(（2）設P(x0,y0)，線段PM的中點坐標Q(x,y)，可得〈0 2(x02+y0ly0=2y-22(2x)28+又點(2x)28+(2y-2)24x22x22x22所以線段PM的中點x22齊次化方法齊次化方法第一步：明確定點M(0,2)第二步：重新建系:2+2y,2第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx+2y,2第四步：同時除以x,222:一(|14)|第五步：還原成原直角坐標系的定點(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，（1）求橢圓的標準方程；（2）過點Q(2,一1)且不過點P的直線l交橢圓于A，B兩點，求證：直線PA與PB的斜率之和為定值.2x2x24齊次化方法第一步：明確定點P0,1P0,1第二步：重新建系2222第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx22222第四步：同時除以x/2222（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.:齊次化方法齊次化方法第一步：明確定點第二步：重新建系ly=y-1+2y,2-4y,=0牽ly=y-1+2y,2-4y,=0牽,2x2:2,2x第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx+2y,2-4y,=0牽x,2+2y,2-4y,(mx,+ny,)=0牽x,2+2y,2-4mx,-4ny,2=0第四步：同時除以x,2:m=12n2一一2(1)求橢圓C的方程；(2)若點P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2)均在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，(ⅰ)求證：直線PQ過定點；(ⅱ)當//時，求直線PQ的方程.【答案】(1)+y2=1(2)(ⅰ)證明見解析；(ⅱ)y=土x+32x2x242（2）(ⅰ)當直線PQ的斜率不存在時，設P(x0,y0)，則Q(x0,一y0)，所以直線PQ的斜率存在，由已知直線AP,AQ斜率同號，因此直線PQ的斜率存在且不為0，設直線PQ的方程為y=kx+m，設P(x1,y1),Q(x2,y2)，由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0，可得4k2+1>m2，xx=4m2-4xx=4m2-42x1x22x1x222當m=-1時直線PQ方程為y=kx-1，令x=0，可得y=-1，所以直線PQ恒過定點(0,-1)，不合題意，當m=3時直線PQ方程為y=kx+3，令x=0，可得y=3，所以直線PQ恒過定點(0,3)，符合題意.綜上可得直線PQ恒過定點(0,3).(ⅱ)設直線PQ恒過定點為M(0,3)，MOMA------由OP//MOMA------224kxx=xx=,，所以7222，解得k2=，滿足k2>2，且E的焦距為2.(1)求E的方程和離心率；(2)過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于R，S兩點，設直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1+k2=-3，求k的值.【詳解】（1）由題意可得A(-a,0)，C(0,b)，可得a2-b2=c2=3，a2+b2所以橢圓的方程為x2+y2=1，離心率e=；（2）由（1）可得C(0,1)， m由題意設直線RS的方程為x=my+1(m子0)，則 m2則k1+k22my1y2+(1-m)(y1+y2)-2=2-3-2mm-1，2-3-2mm-1，242所以直線RS的斜率k==3．即k的值為3.的上頂點和下頂點.(1)求橢圓E的標準方程；(2)已知過(0,1)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.k1k2【答案】(1)k1k2:a2=8，b2=4，22橢圓E的標準方程為+=1.（2）設直線CD：y=kx+1，聯(lián)立直線CD和橢圓方程，2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ>0牽keR，記C(x2,y2)，D(x1,y1)，||x2|x1-4k2k22k2-62k2由題意知A(0,2)和B(0,-2).kx1x22)-3x1kx1x2-x1-x-x -18k3x-6k-6k 1-x1所以k1k2所以4．在平面直角坐標系xOy中，重新定義兩點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為AB=x2-x1+y2-y1，我們把到兩定點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設c=1,a=2，作出“橢圓”的圖形，設此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A，過F2作直線交C于M,N兩點，‘AMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值.【答案】(1)x+c+x-c+2y=2a(a>c>0)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設“橢圓”上任意一點為P(x,y)，則PF1+PF2=2a，（2）由方程x+c+x-c+2y=2a，得2y=2a-x+c-x-c，解得-a<x<a，所以“橢圓”的范圍為-a<x<a，c-a<y<a-c，將點(-x,y)代入得，-x+c+-x-c+2y=2a，即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于y軸對稱，將點(x,-y)代入得，x+c+x-c+2-y=2a，2即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于x軸對稱，將點(-x,-y)代入得，-x+c+-x-c+2-y=2a，即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點對稱，所以“橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點對稱；所以橢圓C的方程為x23y2 +由題意可設直線MN的方程為x=my+1(m士0),M(x1m22則y1+y2y2則y1+y2因為AM因為AM y1,所以直線AM的中垂線的方程為y=-x-y1，同理直線AN的中垂線的方程為y=-x-y2，設Q(x0,y0)，則y1,y2是方程y0=x0y的兩根，即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y所以直線OQ與MN的斜率之積為定值一3.5．焦點在x軸上的橢圓上不同三點，且當=時，直線MB和直線MC的斜率之積為一.(1)求b的值；(2)若ΔOAB的面積為1，求x+x和y+y的值；(3)在（2）的條件下，設AB的中點為D，求OD.AB的最大值.【詳解】（1）因為=，所以O,B,C三點共線，則必有點B和點C關(guān)于點O對稱，所以y2=一y3,x2=x3，設直線MB和直線MC的斜率分別為kMB，kMC，2因為點M為橢圓的左頂點，所以MMC(-2,0)， y3-0y3所以114 -y2(x2+2)(2-x2),（2）設過A,B兩點的直線為l，當直線l的斜率不存在時，A,B兩點關(guān)于x對稱，所以x2=x1，y2=-y1，( 因為O到直線l的距離d=，所以S‘OAB=1AB.d=1， 12 12所以.44k2-m2+1..1+4k2m m,整理的4k2-2m2+1=0，符合①式，x22+y2此時ΔOAB為直角三角形且經(jīng)AOB為直角，x2+y1y2x2)x1x22222解得m2=1，從而k2=，此時等號可成立.所以OD.AB的最大值為.>b>0)的左、右焦點，左頂點為A，則上頂點(1)求橢圓C的標準方程；PDPNPDPNPMPE..(2)若P是直線x=3上一點，過點P的兩條不同直線分別交C于點D，E和點M，N，且=，求證：直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為定值.【答案】(1)xy +【答案】(1)xy +可知可知PDPNPMPEPDPDPNPMPE因為點P在直線x=3上，可設點P(3,n)，由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在.設D(x1,y1)，E(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，x+(n3k1)2x2又因為PD=1x3，PE=12x3，212..則PD.PE1x31 4n2.又因為PDPE=PMPN，則4n2+15=4n2+15，.=，整理可得k=k，所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0.(1)求橢圓C的標準方程；求直線PQ與直線l的斜率之積的最小值.【詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c，（2）設直線l的方程為x=my-2(m>0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)， 4m所以y1+y2=故點Q的坐標為,.PQ因為直線l的斜率k=，所以kPQ.k=當且僅當m=時，等號成立，即直線PQ與直線l斜率之積的最小值為2.8．已知P為圓x2+y2=4上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點.M的軌跡曲線E.2(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點A，交y軸正半軸于點B.直線l與曲線E交于C，D兩點，若直線l//直線AB，設直線AC，BD