中考數(shù)學壓軸題(動點)

中考數(shù)學壓軸題(動點)中考數(shù)學壓軸題總結（動點）（一）因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應成比例列關于m的方程．滿分解答（1）將M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）當m＝4時，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最?。O對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標為．（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．設點F的坐標為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．例2，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．,圖1思路點撥1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設交點式比較簡便．2．數(shù)形結合，用解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設拋物線的解析式為，代入點C的坐標（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．（2）設點P的坐標為．①如圖2，當點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時點P的坐標為（2，1）．②如圖3，當點P在點A的右側時，x＞4，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得不合題意．③如圖4，當點P在點B的左側時，x＜1，，．解方程，得．此時點P的坐標為．解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點P的坐標為（2，1）或或．圖2圖3圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設點D的橫坐標為m，那么點D的坐標為，點E的坐標為．所以．因此．當時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標為（2，1）．（二）因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例3，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1．思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以拋物線的函數(shù)關系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標為(1,2)．圖2（3）點M的坐標為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設點M的坐標為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標為(1,1)．②如圖4，當AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標為(1,)或(1,)．③如圖5，當CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標為(1,0)．圖3圖4圖5例4，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉120°至OB的位置．（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設點P的坐標為(2,y)．①當OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．（三）因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例5：在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點B(－1,－k)．（1）當k＝－2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．思路點撥1．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是．題目中的k都是一致的．2．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標還可以知道，A、B關于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O．3．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是．當k＝－2時，反比例函數(shù)的解析式是．（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．當k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側，y隨x增大而增大．拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對稱軸是直線．圖1所以當k＜0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，當OQ＝OA＝OB時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得（如圖2），（如圖3）．圖2圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當A、C關于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以OA與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖5例6，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C(0，－3)，對稱軸是直線x＝1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．①當線段時，求tan∠CED的值；②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．溫馨提示：考生可以根據(jù)第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．圖1思路點撥1．第（1）、（2）題用待定系數(shù)法求解析式，它們的結果直接影響后續(xù)的解題．2．第（3）題的關鍵是求點E的坐標，反復用到數(shù)形結合，注意y軸負半軸上的點的縱坐標的符號與線段長的關系．3．根據(jù)C、D的坐標，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，這樣寫點E的坐標就簡單了．滿分解答（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，代入點C(0，－3)，得．所以拋物線的函數(shù)表達式為．（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．設直線BC的函數(shù)表達式為，代入點B(3，0)和點C(0，－3)，得解得，．所以直線BC的函數(shù)表達式為．（3）①因為AB＝4，所以．因為P、Q關于直線x＝1對稱，所以點P的橫坐標為．于是得到點P的坐標為，點F的坐標為．所以，．進而得到，點E的坐標為．直線BC:與拋物線的對稱軸x＝1的交點D的坐標為（1，－2）．過點D作DH⊥y軸，垂足為H．在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．②，．圖2圖3圖4考點伸展第（3）題②求點P的坐標的步驟是：如圖3，圖4，先分兩種情況求出等腰直角三角形CDE的頂點E的坐標，再求出CE的中點F的坐標，把點F的縱坐標代入拋物線的解析式，解得的x的較小的一個值就是點P的橫坐標．（四）因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例7，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標都表示出來．3．構造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標為．于是得到．因此．所以當t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構造點F關于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3（五）因動點產(chǎn)生的梯形問題例8：已知直線y＝3x－3分別與x軸、y軸交于點A，B，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點A，B．（1）求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）記該拋物線的對稱軸為直線l，點B關于直線l的對稱點為C，若點D在y軸的正半軸上，且四邊形ABCD為梯形．①求點D的坐標；②將此拋物線向右平移，平移后拋物線的頂點為P，其對稱軸與直線y＝3x－3交于點E，若，求四邊形BDEP的面積．圖1思路點撥1．這道題的最大障礙是畫圖，A、B、C、D四個點必須畫準確，其實拋物線不必畫出，畫出對稱軸就可以了．2．拋物線向右平移，不變的是頂點的縱坐標，不變的是D、P兩點間的垂直距離等于7．3．已知∠DPE的正切值中的7的幾何意義就是D、P兩點間的垂直距離等于7，那么點P向右平移到直線x＝3時，就停止平移．滿分解答（1）直線y＝3x－3與x軸的交點為A(1，0)，與y軸的交點為B(0,－3)．將A(1，0)、B(0,－3)分別代入y＝ax2＋2x＋c，得解得所以拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3．對稱軸為直線x＝－1，頂點為(－1,－4)．（2）①如圖2，點B關于直線l的對稱點C的坐標為(－2,－3)．因為CD//AB，設直線CD的解析式為y＝3x＋b，代入點C(－2,－3)，可得b＝3．所以點D的坐標為（0，3）．②過點P作PH⊥y軸，垂足為H，那么∠PDH＝∠DPE．由，得．而DH＝7，所以PH＝3．因此點E的坐標為（3，6）．所以．圖2圖3考點伸展第（2）①用幾何法求點D的坐標更簡便：因為CD//AB，所以∠CDB＝∠ABO．因此．所以BD＝3BC＝6，OD＝3．因此D（0，3）．例9：已知，矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0)，點C的坐標為，直線與邊BC相交于點D．(1)求點D的坐標；(2)拋物線經(jīng)過點A、D、O，求此拋物線的表達式；(3)在這個拋物線上是否存在點M，使O、D、A、M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，設交點式比較簡便．2．過△AOD的三個頂點分別畫對邊的平行線與拋物線相交，可以確定存在三個梯形．3．用拋物線的解析式可以表示點M的坐標．滿分解答(1)因為BC//x軸，點D在BC上，C(0,－2)，所以點D的縱坐標為－2．把y＝－2代入，求得x＝3．所以點D的坐標為(3,－2)．(2)由于拋物線與x軸交于點O、A(4,0)，設拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入D(3,－2)，得．所求的二次函數(shù)解析式為．(3)設點M的坐標為．①如圖2，當OM//DA時，作MN⊥x軸，DQ⊥x軸，垂足分別為N、Q．由tan∠MON＝tan∠DAQ，得．因為x＝0時點M與O重合，因此，解得x＝7．此時點M的坐標為（7，14）．②如圖3，當AM//OD時，由tan∠MAN＝tan∠DOQ，得．因為x＝4時點M與A重合，因此，解得x＝－1．此時點M的坐標為．③如圖4，當DM//OA時，點M與點D關于拋物線的對稱軸對稱，此時點M的坐標為（1，－2）．圖2圖3圖4因動點產(chǎn)生的面積問題例10，在平面直角坐標系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）設點P的橫坐標為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為9∶10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．圖1思路點撥1．第（1）題由于CP//y軸，把∠ACP轉化為它的同位角．2．第（2）題中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．4．兩個三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．滿分解答（1）設直線與y軸交于點E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因為PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．（2）由，，得．所以．所以PD的最大值為．（3）當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，；當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．圖2考點伸展第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個三角形，面積比等于對應高DN與BM的比．而，BM＝4－m．①當S△PCD∶S△PCB＝9∶10時，．解得．②當S△PCD∶S△PCB＝10∶9時，．解得．（七）因動點產(chǎn)生的相切問題例11，A(－5,0)，B(－3,0)，點C在y軸的正半軸上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．點P從點Q(4,0)出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t秒．（1）求點C的坐標；（2）當∠BCP＝15°時，求t的值；（3）以點P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點P的運動而