福建福州市臺江區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)模試卷含解析

福建福州市臺江區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)模試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點A在x軸正半軸上，OC是△OAB的中線，點B、C在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則△OAB的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．62．在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、O都在格點上，則的正弦值是A． B． C． D．3．二次函數(shù)（a≠0）的圖象如圖所示，則下列命題中正確的是（）A．a(chǎn)＞b＞cB．一次函數(shù)y=ax+c的圖象不經(jīng)第四象限C．m（am+b）+b＜a（m是任意實數(shù)）D．3b+2c＞04．一元二次方程（x+3）（x-7）=0的兩個根是A．x1=3，x2=-7B．x1=3，x2=7C．x1=-3，x2=7D．x1=-3，x2=-75．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()A． B．C． D．6．下列各運算中，計算正確的是（）A．a(chǎn)12÷a3=a4 B．（3a2）3=9a6C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2 D．2a?3a=6a27．估計的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間8．完全相同的6個小矩形如圖所示放置，形成了一個長、寬分別為n、m的大矩形，則圖中陰影部分的周長是（）A．6（m﹣n） B．3（m+n） C．4n D．4m9．下列方程有實數(shù)根的是（）A． B．C．x+2x?1=0 D．10．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點M(4，3)，以M為圓心，r為半徑的圓與x軸相交，與y軸相離，那么r的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如果關(guān)于x的方程（m為常數(shù)）有兩個相等實數(shù)根，那么m＝______．12．拋物線y=﹣x2+4x﹣1的頂點坐標(biāo)為．13．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的圓心A的坐標(biāo)為（1，0），半徑為1，點P為直線y=x+3上的動點，過點P作⊙A的切線，切點為Q，則切線長PQ的最小值是______________．14．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的折線圖如圖，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為S甲2、S乙2，則S甲2__S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）15．如圖，△ABC內(nèi)接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于點D，若☉O的半徑為2，則CD的長為_____16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是正方形，點C（0，4），D是OA中點，將△CDO以C為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，再將得到的三角形平移，使點C與點O重合，寫出此時點D的對應(yīng)點的坐標(biāo)：_____．17．－3的倒數(shù)是___________三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）如圖，把兩個邊長相等的等邊△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，點E、F分別是CB、DC延長上的動點，且始終保持BE=CF，連結(jié)AE、AF、EF．求證：AEF是等邊三角形．19．（5分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B（3，0），與y軸交于點C（0，3），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接DB．（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點M是拋物線上的動點，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)∠MBA＝∠BDE時，求點M的坐標(biāo)；②過點M作MN∥x軸，與拋物線交于點N，P為x軸上一點，連接PM，PN，將△PMN沿著MN翻折，得△QMN，若四邊形MPNQ恰好為正方形，直接寫出m的值．20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，其中點B的坐標(biāo)為（1，0），點C的坐標(biāo)為（0，4）；點D的坐標(biāo)為（0，2），點P為二次函數(shù)圖象上的動點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點P位于第二象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上時，連接AD，AP，以AD，AP為鄰邊作平行四邊形APED，設(shè)平行四邊形APED的面積為S，求S的最大值；（3）在y軸上是否存在點F，使∠PDF與∠ADO互余？若存在，直接寫出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．21．（10分）為紀(jì)念紅軍長征勝利81周年，我市某中學(xué)團(tuán)委擬組織學(xué)生開展唱紅歌比賽活動，為此，該校隨即抽取部分學(xué)生就“你是否喜歡紅歌”進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計后繪制成如下統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖．態(tài)度非常喜歡喜歡一般不知道頻數(shù)90b3010頻率a0.350.20請你根據(jù)統(tǒng)計圖、表，提供的信息解答下列問題：（1）該校這次隨即抽取了名學(xué)生參加問卷調(diào)查：（2）確定統(tǒng)計表中a、b的值：a=，b=；（3）該校共有2000名學(xué)生，估計全校態(tài)度為“非常喜歡”的學(xué)生人數(shù)．22．（10分）用A4紙復(fù)印文件，在甲復(fù)印店不管一次復(fù)印多少頁，每頁收費0.1元．在乙復(fù)印店復(fù)印同樣的文件，一次復(fù)印頁數(shù)不超過20時，每頁收費0.12元；一次復(fù)印頁數(shù)超過20時，超過部分每頁收費0.09元．設(shè)在同一家復(fù)印店一次復(fù)印文件的頁數(shù)為x(x為非負(fù)整數(shù))．(1)根據(jù)題意，填寫下表：一次復(fù)印頁數(shù)(頁)5102030…甲復(fù)印店收費(元)0.52…乙復(fù)印店收費(元)0.62.4…(2)設(shè)在甲復(fù)印店復(fù)印收費y1元，在乙復(fù)印店復(fù)印收費y2元，分別寫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)x＞70時，顧客在哪家復(fù)印店復(fù)印花費少？請說明理由．23．（12分）計算：﹣16+（﹣）﹣2﹣|﹣2|+2tan60°24．（14分）近幾年購物的支付方式日益增多，某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查．調(diào)查結(jié)果顯示，支付方式有：A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他，該小組對某超市一天內(nèi)購買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：本次一共調(diào)查了多少名購買者？請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；在扇形統(tǒng)計圖中A種支付方式所對應(yīng)的圓心角為度．若該超市這一周內(nèi)有1600名購買者，請你估計使用A和B兩種支付方式的購買者共有多少名？

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、B【解析】

作BD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，∴BD∥CE，∴，∵OC是△OAB的中線，∴，設(shè)CE=x，則BD=2x，∴C的橫坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為，∴OD=，OE=，∴DE=OE-OD=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=OE+AE=，∴S△OAB=OA?BD=×=1．故選B.點睛：本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，熟知反比例函數(shù)的圖象上點的特征和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】

由題意根據(jù)勾股定理求出OA，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義進(jìn)行分析解答即可．【詳解】解：由題意得，，，由勾股定理得，，．故選：A．【點睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3、D【解析】解：A．由二次函數(shù)的圖象開口向上可得a＞0，由拋物線與y軸交于x軸下方可得c＜0，由x=﹣1，得出=﹣1，故b＞0，b=2a，則b＞a＞c，故此選項錯誤；B．∵a＞0，c＜0，∴一次函數(shù)y=ax+c的圖象經(jīng)一、三、四象限，故此選項錯誤；C．當(dāng)x=﹣1時，y最小，即a﹣b﹣c最小，故a﹣b﹣c＜am2+bm+c，即m（am+b）+b＞a，故此選項錯誤；D．由圖象可知x=1，a+b+c＞0①，∵對稱軸x=﹣1，當(dāng)x=1，y＞0，∴當(dāng)x=﹣3時，y＞0，即9a﹣3b+c＞0②①+②得10a﹣2b+2c＞0，∵b=2a，∴得出3b+2c＞0，故選項正確；故選D．點睛：此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值．4、C【解析】

根據(jù)因式分解法直接求解即可得．【詳解】∵（x+3）（x﹣7）=0，∴x+3=0或x﹣7=0，∴x1=﹣3，x2=7，故選C．【點睛】本題考查了解一元二次方程——因式分解法，根據(jù)方程的特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.5、C【解析】

由一元二次方程有實數(shù)根可知△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+k+2=0有實數(shù)根，∴△=(?2)2?4(k+2)?0，解得：k??1，在數(shù)軸上表示為：故選C.【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式.根據(jù)一元二次方程根的情況利用根的判別式列出不等式是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法、積的乘方、完全平方公式、單項式乘法的法則逐項計算即可得.【詳解】A、原式=a9，故A選項錯誤，不符合題意；B、原式=27a6，故B選項錯誤，不符合題意；C、原式=a2﹣2ab+b2，故C選項錯誤，不符合題意；D、原式=6a2，故D選項正確，符合題意，故選D．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法、積的乘方、完全平方公式、單項式乘法等運算，熟練掌握各運算的運算法則是解本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

尋找小于26的最大平方數(shù)和大于26的最小平方數(shù)即可.【詳解】解：小于26的最大平方數(shù)為25，大于26的最小平方數(shù)為36，故，即：，故選擇D.【點睛】本題考查了二次根式的相關(guān)定義.8、D【解析】

解：設(shè)小長方形的寬為a，長為b，則有b=n-3a，陰影部分的周長：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故選D．9、C【解析】分析：根據(jù)方程解的定義，一一判斷即可解決問題；詳解：A．∵x4＞0，∴x4+2=0無解；故本選項不符合題意；B．∵≥0，∴=﹣1無解，故本選項不符合題意；C．∵x2+2x﹣1=0，△=8=4=12＞0，方程有實數(shù)根，故本選項符合題意；D．解分式方程=，可得x=1，經(jīng)檢驗x=1是分式方程的增根，故本選項不符合題意．故選C．點睛：本題考查了無理方程、根的判別式、高次方程、分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10、D【解析】

先求出點M到x軸、y軸的距離，再根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得出即可．【詳解】解：∵點M的坐標(biāo)是（4，3），

∴點M到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離是4，

∵點M（4，3），以M為圓心，r為半徑的圓與x軸相交，與y軸相離，

∴r的取值范圍是3＜r＜4，

故選：D．【點睛】本題考查點的坐標(biāo)和直線與圓的位置關(guān)系，能熟記直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、1【解析】析：本題需先根據(jù)已知條件列出關(guān)于m的等式，即可求出m的值．解答：解：∵x的方程x2-2x+m=0（m為常數(shù)）有兩個相等實數(shù)根∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案為112、（2，3）【解析】試題分析：利用配方法將拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+4x﹣1轉(zhuǎn)化為頂點式解析式y(tǒng)=﹣（x﹣2）2+3，然后求其頂點坐標(biāo)為：（2，3）．考點：二次函數(shù)的性質(zhì)13、2【解析】分析：因為BP＝，AB的長不變，當(dāng)PA最小時切線長PB最小，所以點P是過點A向直線l所作垂線的垂足，利用△APC≌△DOC求出AP的長即可求解.詳解：如圖，作AP⊥直線y＝x＋3，垂足為P，此時切線長PB最小，設(shè)直線與x軸，y軸分別交于D，C.∵A的坐標(biāo)為(1，0)，∴D(0，3)，C(﹣4，0)，∴OD＝3，AC＝5，∴DC＝＝5，∴AC＝DC，在△APC與△DOC中，∠APC＝∠COD＝90°，∠ACP＝∠DCO，AC＝DC，∴△APC≌△DOC，∴AP＝OD＝3，∴PB＝＝2．故答案為2.點睛：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定性質(zhì)，勾股定理及垂線段最短，因為直角三角形中的三邊長滿足勾股定理，所以當(dāng)其中的一邊的長不變時，即可根據(jù)另一邊的取值情況確定第三邊的最大值或最小值.14、＞【解析】

要比較甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；首先根據(jù)折線統(tǒng)計圖結(jié)合根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；接下來根據(jù)方差的公式求出甲、乙兩個樣本的方差，然后比較即可解答題目.【詳解】甲組的平均數(shù)為：=4，S甲2=×[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]=，乙組的平均數(shù)為：=4，S乙2=×[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=，∵＞，∴S甲2＞S乙2.故答案為：>.【點睛】本題考查的知識點是方差,算術(shù)平均數(shù),折線統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握方差,算術(shù)平均數(shù),折線統(tǒng)計圖.15、【解析】

連接OA，OC，根據(jù)∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函數(shù)即可求得CD的長.【詳解】解：連接OA，OC，∵∠COA=2∠CBA=90°，∴在Rt△AOC中，AC=，∵CD⊥AB，∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，故答案為.【點睛】本題考查了圓周角定理以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意作出常用輔助線是解題關(guān)鍵.16、（4，2）．【解析】

利用圖象旋轉(zhuǎn)和平移可以得到結(jié)果.【詳解】解：∵△CDO繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBD′，則BD′=OD=2，∴點D坐標(biāo)為（4，6）；當(dāng)將點C與點O重合時，點C向下平移4個單位，得到△OAD′′，∴點D向下平移4個單位．故點D′′坐標(biāo)為（4，2），故答案為（4，2）．【點睛】平移和旋轉(zhuǎn)：平移是指在同一平面內(nèi)，將一個圖形整體按照某個直線方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移.定義在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.17、【解析】

乘積為1的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a的倒數(shù)即為，符號一致【詳解】∵－3的倒數(shù)是∴答案是三、解答題（共7小題，滿分69分）18、見解析【解析】分析：由等邊三角形的性質(zhì)即可得出∠ABE=∠ACF，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.詳解：證明：∵△ABC和△ACD均為等邊三角形∴AB=AC，∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°，∵BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴∠EAB=∠FAC，∴∠EAF=∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形．點睛：此題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是判斷出△ABE≌△ACF.19、（1）（1，4）（2）①點M坐標(biāo)（﹣，）或（﹣，﹣）；②m的值為或【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）①根據(jù)tan∠MBA=，tan∠BDE==，由∠MBA=∠BDE，構(gòu)建方程即可解決問題；②因為點M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，四邊形MPNQ是正方形，推出點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OP=1，易證GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解決問題.【詳解】解：（1）把點B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D坐標(biāo)（1，4）；（2）①作MG⊥x軸于G，連接BM．則∠MGB=90°，設(shè)M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=，∵DE⊥x軸，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE==，∵∠MBA=∠BDE，∴=，當(dāng)點M在x軸上方時，=，解得m=﹣或3（舍棄），∴M（﹣，），當(dāng)點M在x軸下方時，=，解得m=﹣或m=3（舍棄），∴點M（﹣，﹣），綜上所述，滿足條件的點M坐標(biāo)（﹣，）或（﹣，﹣）；②如圖中，∵M(jìn)N∥x軸，∴點M、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∵四邊形MPNQ是正方形，∴點P是拋物線的對稱軸與x軸的交點，即OP=1，易證GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，當(dāng)﹣m2+2m+3=1﹣m時，解得m=，當(dāng)﹣m2+2m+3=m﹣1時，解得m=，∴滿足條件的m的值為或.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．20、(1)y＝﹣x2﹣3x+4；(2)當(dāng)時，S有最大值；（3）點P的橫坐標(biāo)為﹣2或1或或.【解析】

（1）將代入，列方程組求出b、c的值即可；（2）連接PD，作軸交于點G，求出直線的解析式為，設(shè)，則，，，當(dāng)時，S有最大值；（3）過點P作軸，設(shè)，則，，根據(jù)，列出關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：（1）將、代入，，∴二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接，作軸交于點，如圖所示．在中，令y＝0，得，∴直線AD的解析式為．設(shè)，則，，∴．，∴當(dāng)時，S有最大值．（3）過點P作軸，設(shè)，則，，，即，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，，，或，（舍去）或（舍去），當(dāng)點P在y軸左側(cè)時，x＜0，，或，（舍去），或（舍去），綜上所述，存在點F，使與互余點P的橫坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．21、（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.【解析】

（1）根據(jù)“一般”和“不知道”的頻數(shù)和頻率求總數(shù)即可（2）根據(jù)（1）的總數(shù)，結(jié)合頻數(shù)，頻率的大小可得到結(jié)果（3）根據(jù)“非常喜歡”學(xué)生的比值就可以計算出2000名學(xué)生中的人數(shù).【詳解】解：（1）“一般”頻數(shù)30，“不知道”頻數(shù)10，兩者頻率0.20，根據(jù)頻數(shù)的計算公式可得，總數(shù)=頻數(shù)/頻率=（名）；（2）“非常喜歡”頻數(shù)90，a=;（3）.故答案為（1）200,；（2）a=0.45，b=70；（3）900名.【點睛】此題重點考察學(xué)生對頻數(shù)和頻率的應(yīng)用，掌握頻率的計算公式是解題的關(guān)鍵.22、（1）1，3；1.2，3.3；（2）見解析；（3）顧客在乙復(fù)印店復(fù)印花費少.【解析】

（1）根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)，列代數(shù)式求得即可；

（2）根據(jù)收費等于每頁收費乘以頁數(shù)即可求得y1=0.1x（x≥0）；當(dāng)一次復(fù)印頁數(shù)不超過20時，根據(jù)收費等于每頁收費乘以頁數(shù)即可求得y2=0.12x，當(dāng)一次復(fù)印頁數(shù)超過20時，根據(jù)題意求得y2=0.09x+0.6；

（3）設(shè)y=y1-y2，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式即可作出判斷．【詳解】解：（1）當(dāng)x=10時，甲復(fù)印店收費為：0，1×10=1；乙復(fù)印店收費為：0.12×10=1.2；當(dāng)x=30時，甲復(fù)印店收費為：0，1×30=3；乙復(fù)印店收費為：0.12×20+0.09×10=3.3