高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精練 第9練 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（教師版）

第9練導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

學(xué)校姓名班級(jí)

一、單選題

1.已知曲線〃x）=（x+a）e'在點(diǎn)1））處的切線與直線2x+y-l=0垂直，則實(shí)數(shù)a

的值為（）

ee

A.—2eB.2eC.—D.一

22

【答案】D

【詳解】

由〃x）=（x+a）e",得r（x）=e'+（a+x）e*=（x+a+l）e",則尸（-1）=巴因?yàn)榍€

e

/（x）=（x+a）ex

在點(diǎn)（-lj（-l））處的切線與直線2x+y-l=0垂直，所以臺(tái);，故。=|.

故選:D.

2.若點(diǎn)戶是曲線y=f一］nx上任一點(diǎn)，貝IJ點(diǎn)戶至I」直線x-y-6=。的最小距離是

（）

A.>/2B.2及C.3亞D.2>/3

【答案】C

【詳解】

解：設(shè)與直線x-y-6=0平行的直線與曲線y=/_in無(wú)切于戶（通,外），

由y=x2-lnx定義域?yàn)椋?,+8）,得了=2彳-丄，則）口=拓=2%-■-,

Xxo

由2%-丄=1,解得%=1（舍去負(fù)值）.

*0

???P（L1）,則點(diǎn)尸到直線x-y-6=0的最小距離是比2=3&.

故選：C.

3.曲線〉=工3一3%在點(diǎn)（2,2）處的切線斜率是（）

A.9B.6C.—3D.—1

【答案】A

【詳解】

解：VAy=（24-Ax）3-3（2+Ar）-23+6=9Ar+6（A￥）2+（Ar）3,

豈=9+6Ax+（Ax）“，

/.lim—lim「9+6Ar+Q)[=9,

AxAXTOL

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線丫=》3-3%在點(diǎn)（2,2）處的切線斜率是9；

故選：A

4.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

A.（x?+2）—2x+2B.^cos-^j=-sin^C.（6），=2a

D.

【答案】C

【詳解】

對(duì)于A,（爐+2）=2x?A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,(cos￡|=0.B錯(cuò)誤:

對(duì)于C,（4）'=J尸，C正確;

對(duì)于D,(e'j=-e，D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.已知函數(shù)/(x)=21nx+/'(2)W+2x+3,則〃1)=()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【詳解】

7

解：r(x)=-+2,f(2)x+2,

則〃2)=1+4八2)+2,

解得/'(2)=7,

所以/(x)=21nx-x2+2x+3,

故〃l)=T+2+3=4.

故選：D

6.方程log：-厶=0（。＞0,〃。1）有兩個(gè)不相等實(shí)根，則a的取值范圍是（)

A.(0,1)

C.D.

丿

【答案】c

【詳解】

方程log：-石=0(。＞0,4*1)有兩個(gè)不相等實(shí)根nlog：=4(a＞0,4*1)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

令&=f(f＞0),所以x=/，則log,/=，，所以log“f=；,所以y=log,J與y=；的圖象

有兩個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)0＜。＜1時(shí)，如下圖可知y=bg/與y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足.

②當(dāng)”＞1時(shí)，如下圖，當(dāng)y=；與"bg“x相切于點(diǎn)//，學(xué)，所以＞'=亠，

2I2丿xlna

1_1

T=_jx0=e

則A°na，解得：a,所以要使y=logj與y=g的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以a

￡=log“x。〔a=ec

(2\

的取值范圍是：he;.

7

故選：C.

7.若y=or+b是/(x)=xlnx的切線，則的取值范圍為()

A.[-1,+<?)B.[1,-KO)C.(9,0]D?[-叫

【答案】C

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)(%,/In%)(%>0)是函數(shù)/(x)=xlnx圖象上任意一點(diǎn)，

由7''(x)=lnx+l,/'(^)=lnx0+l,

所以過(guò)點(diǎn)(與，毛I(xiàn)n占)的切線方程為y-x0lnx0=(Inx0+l)(x-x0),

QPy=(lnx0+l)x-x0,?=Inx0+1,b=—x0,

所以。+力=In/+1-x()

令g(x)=lnx+l-x,XG(0,+OO),

所以g'(x)=丄_1=,

XX

所以當(dāng)0<x<l時(shí)g'(x)>0,當(dāng)X>1時(shí)g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減,

所以g(x)g=g(l)=。,所以g(x)40,apa+fee(-oo,0]；

故選：c

4

8.已知曲線尸x+]x<0)在點(diǎn)〃處的切線與直線x-3y+l=0垂直,則點(diǎn)一的橫坐標(biāo)為

()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【詳解】

4

設(shè)〃》)=*+嚏(*<0),點(diǎn)「小,先),

A

貝,

由在點(diǎn)/，處的切線與直線x-3y+l=0垂直可得了'(不)=-3,即1-*=-3,

又吃<0,與=-1,

故選：B

9.已知函數(shù)/(x)=x2+]g(x)=sinx,則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

4

A.y=/(x)+g(x)-JB.y=/(x)-g(x){

4

g(x)

C.y=f(x)g(x)

D.y=7w

【答案】C

【詳解】

解：對(duì)于A,>'=/(x)+g(x)-l=x2+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，

排除A；

對(duì)于B,y=〃x)-g(x)-；=Y-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除

B；

對(duì)于C,y=/(x)g(x)=1x2+；卜in*為奇函數(shù)，則,

當(dāng)X=f時(shí)，，與圖象相符；

4

_g(x)_sinx

對(duì)「D,'f(X)彳2+丄，是奇函數(shù)，，

A4

當(dāng)x=f時(shí)，，與圖象不符，所以排除選項(xiàng)D.

4

故選：C.

10.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸(X).若/(0)=5,且

/(x)-r(x)>2,則使不等式/(x)43e,+2成立的x的值可能為()

A.-2B.-1C.--D.2

2

【答案】D

【詳解】

設(shè)F()=,則/⑺=7'(x)[3+2,

x*必

Vf(x)-f'(x)>2,.\f(x)-f(x)+2<0,

：.F(x)<0,即F(x)在定義域R上單調(diào)遞減.

40)=5,.?"(0)=3,

二不等式〃x)43e*+2等價(jià)于丄處2?3,即尸(x)4尸⑼，解得xNO,

er

結(jié)合選項(xiàng)可知，只有D符合題意.

故選：D.

二、多選題

11.函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),若已知了'(X)的圖像如圖，則下列說(shuō)法正確的是

A.f(x)一定存在極大值點(diǎn)B./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.〃x)在(e,。)單調(diào)遞增D./(x)在x=0處的切線與x軸平行

【答案】ACD

【詳解】

由導(dǎo)函數(shù)尸（X）的圖象可知，當(dāng)X＜a時(shí)/（另20,當(dāng)X＞a時(shí)r（x）＜0,當(dāng)x=0或x=a時(shí)

r（x）=o,

則/（X）在（-8M）上單調(diào)遞增，在（。,物）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/（x）在x=。處取得極大值，且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故AC正確，B錯(cuò)誤；

因?yàn)閞（o）=o,所以曲線y=/（外在x=0處切線的斜率等于零，即/（力在x=0處的切線

與x軸平行，故D正確.

故選：ACD.

12.若函數(shù)〃x）=xln（x+2）,則（）

A.f（x）的定義域是（0,+8）

B.f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

C.在點(diǎn)（-lj（-l））處切線的斜率為-1

D.，（司在（0,+8）遞增

【答案】BCD

【詳解】

對(duì)于A：函數(shù)的定義域是（-2,y），故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：令〃x）=0,g|Jxln（x+2）=0,解得：x=0或x=—l,故函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，

故B正確；

對(duì)于C：斜率&=/'（-1）=111（-1+2）+/5=-1,故C正確；

y

對(duì)于D：/'（X）=In（x+2）+—,x＞0時(shí)，

ln（x+2）＞0,為＞0,故（（引＞0，/（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BCD.

13.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的有（)

A.（（2X+1）,'=2（2x+l）B?網(wǎng)=亦

C.（logx）=——D?(xsinx)=cosx

2x\n2

【答案】BC

【詳解】

解：對(duì)A：（（2x+l『）=2（2x+1）x2=4（2x+l），故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

故選項(xiàng)B正確;

對(duì)C：(陛2月'=一島，故選項(xiàng)C正確;

對(duì)D：(xsinx)=sinx+xcosx，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC.

14.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)數(shù)f'(x),若存在為,使得〃%)=/(％),則稱為是/(X)的一個(gè)

“巧值點(diǎn)”.下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是()

A.小)=/B./(x)=e-A

C./(x)=lnxD."x)=T

【答案】ACD

【詳解】

對(duì)于A,/(x)=P/(x)=2x由Y=2x,解得x=0,2,因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”0,2；

對(duì)于B,〃x)=e-，，r(x)=-eT由ef-eT,即ex=O，無(wú)解，因此此函數(shù)無(wú)“巧

值”；

對(duì)于C,f(x)=\nx,f'(x)=-,由lnx=丄，分別畫(huà)出圖象：y=lmc,y2(x>()),由圖象可

xxx

知：兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；

對(duì)于D,小)4,(力+，由1+,解得“一，因此此函數(shù)有“巧值點(diǎn)”一

故選：ACD.

三、填空題

15.已知函數(shù)"x)=lnx-2x,則〃x)在x=l處的切線方程為.

【答案】x+y+l=O

【詳解】

r(x)=l-2,易得f(l)=-2,/'(l)=l-2=-l,所以切線方程為y=—(x—1)—2,即

x+y+l=O.

故答案為：x+y+\=O.

16.已知函數(shù)〃x)=r(-i)x3+x2-x,則r(—i)的值為.

3

【答案】

2

【詳解】

/(x)=/z(-l)x3+x2-x,//(x)=3/,(-l)x2+2x-l,

/(-1)=3r(-i)-3.-.r(-i)=^.

3

故答案為：—.

17.集美中學(xué)高101組高二(15)班小美同學(xué)通過(guò)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，對(duì)直線與曲線相切產(chǎn)生濃

厚興趣，并試著定義：若曲線G與曲線Cz存在公共點(diǎn)P,且C1、G在點(diǎn)尸處的切線重合,

稱曲線G與C?相切.現(xiàn)出一問(wèn)題：若函數(shù)y="與y=log“x(a>0,a")相切，則。=

【答案】[

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)為(毛,%),則%>1,則%=*,%=k)g.x°=啓，即八=譬①

InaIna

x

因?yàn)楹瘮?shù)丫="與丁=logaX的導(dǎo)數(shù)分別為y'=aIna,y'=—^―

xln“

所以a&lna=-；—②，聯(lián)立①②可得lnx()=-j—

x<>InaxnIna

因?yàn)楹瘮?shù)>="與y=log丿的圖象關(guān)于)'=x對(duì)稱

1

所以%=%)=警③，所以E%一%?一―]n/，GPInx0=1,x0=e

Ina------Inau

Ina

代入③可得lna=：,a=/

故答案為：1

18.雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=q匚和雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=￡(二在工程學(xué)中有廣泛的

應(yīng)用，也具有許多迷人的數(shù)學(xué)性質(zhì).若直線、=，”與雙曲余弦函數(shù)G和雙曲正弦函數(shù)C?的

圖象分別相交于點(diǎn)A、B,曲線G在A處的切線與曲線G在5處切線相交于點(diǎn)P,則如下

命題中為真命題的有(填上所有真命題的序號(hào)).

①(sinh(x))=cosh(x)?(cosh(x))=sinh(x);

②sinh2(x)+cosh2(x)=l；

③點(diǎn)夕必在曲線尸e'上；

④△PA8的面積隨團(tuán)的增大而減小.

【答案】①④

【詳解】

對(duì)于①，(sinh(x)j=『；j=e=cosh(x)，

(cosh(x))=~~~j=~~~~=sinh(x),①對(duì)；

對(duì)于②，sinh2(x)+cosh2(x)=?6一+-=e-+e—不恒為1,②錯(cuò);

、2丿I2丿2

對(duì)于③，厶,二二)、,肛?二)，

所以，切線融的方程為)「上常=上手一口-加)，

切線尸8的方程為=

em+e-rae'-'-e"'、

y—一二=1—(―機(jī))\x=m+\