2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題15 圓中的相似含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題15圓中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如圖，AB是直徑，CD⊥AB．則：；；．（2）母子型相似如圖，若∠ABD=∠C，則△ABD∽△ACB．．（3）圓冪定理等其他相似圖常見問法（1）線段求值；（2）證明乘積關(guān)系，如證或；（3）乘積求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解題關(guān)鍵如何找到恰當(dāng)?shù)南嗨平鉀Q問題？利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等；若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問題中的線段可能并非相似三角形中的線段；確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明．

二、典例精析（2018·徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，C為半圓AB的中點，P為上一動點，延長BP至點Q，使．若點P由A運動到C，則點Q運動的路徑長為．

（2019·萊蕪區(qū)）如圖，已知是的直徑，，為圓上一點，且，連接，，，與交于點．（1）求證：為的切線；（2）若，求的值．

（2018·大慶）如圖，是的直徑，點為線段上一點（不與，重合），作，交于點，作直徑，過點的切線交的延長線于點，作于點，連接．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）當(dāng)且時，求劣弧的長度．（2018·百色）已知為的直徑，為的切線，切點為，分別過，兩點作的垂線，垂足分別為，，的延長線與相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．（2019·溫州）如圖，在中，，點在邊上，且，過，，三點的交于另一點，作直徑，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時，求的直徑長．（2018·菏澤）如圖，內(nèi)接于，，，過點作，與的平分線交于點，與交于點，與交于點．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線．（2018·鹽城）如圖，在以線段為直徑的上取一點，連接、．將沿翻折后得到．（1）試說明點在上；（2）在線段的延長線上取一點，使．求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段、相交于點，若，，求線段的長．（2019·鞍山）如圖，在中，，是上一點，過，，三點的交于點，連接ED、EC，點是線段上的一點，連接，其中．（1）求證：是的切線．（2）若是的中點，，，求的長．三、中考真題演練1．（2021?寧夏）如圖，在中，點是邊上一點，以為直徑的半圓經(jīng)過點，點是弦上一點，過點作，垂足為，交的延長線于點，且．（1）求證：直線與半圓相切；（2）若已知，求的值．2．（2021?陜西）如圖，是的切線，為切點，弦，連接并延長，與交于點，與交于點，連接并延長，與交于點，連接．（1）求證：；（2）若，，求線段的長．3．（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．4．（2021?淮安）如圖，在中，，點是的中點，以為直徑的與邊交于點，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的直徑．5．（2021?撫順）如圖，在中，，，連接，，過點作，交的延長線于點，與的延長線相交于點，與相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求線段的長．6．（2021?畢節(jié)市）如圖，是的外接圓，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．7．（2021?泰州）如圖，在中，為直徑，為上一點，，為常數(shù)，且．過點的弦，為上一動點（與點不重合），，垂足為．連接、．（1）若．①求證：；②求的值；（2）用含的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；（3）存在一個大小確定的，對于點的任意位置，都有的值是一個定值，求此時的度數(shù)．8．（2021?益陽）如圖，在等腰銳角三角形中，，過點作于，延長交的外接圓于點，過點作于，，的延長線交于點．（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）求證：①；②．9．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑和的長．10．如圖，是直徑，弦，垂足為點．弦交于點，點在延長線上，且．（1）求證：為切線；（2）若，，，求的長．11．（2021?湖北）如圖，為直徑，為上一點，于點，交于點，與的延長線交于點，平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求和的長．12．（2021?本溪）如圖，在中，，延長到點，以為直徑作，交的延長線于點，延長到點，使．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長．13．（2021?深圳）如圖，為的弦，，為的三等分點，．（1）求證：；（2）若，，求的長．14．（2021?綏化）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若弦垂直于，垂足為，，，求的半徑；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，求線段的長．15．（2021?衢州）如圖，在中，，與相切于點，過點作的垂線交的延長線于點，交于點，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長．16．（2021?濟寧）如圖，點在以為直徑的上，點是的中點，連接并延長交于點，作，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．17．（2021?恩施州）如圖，在中，，與相交于點，與相交于點，連接，已知．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．18．（2021?羅湖區(qū)）如圖1，水平放置一個直角三角板和一個量角器，三角板的邊和量角器的直徑在一條直線上，，，開始的時候，現(xiàn)在三角板以的速度向右移動．（1）當(dāng)與重合的時候，求三角板運動的時間；（2）如圖2，當(dāng)與半圓相切時，求；（3）如圖3，當(dāng)和重合時，求證：．19．（2021?瀘州）如圖，是的內(nèi)接三角形，過點作的切線交的延長線于點，是的直徑，連接．（1）求證：；（2）若，于點，，，求的值．20．（2021?日照）如圖，的對角線相交于點，經(jīng)過、兩點，與的延長線相交于點，點為上一點，且．連接、相交于點，若，．（1）求對角線的長；（2）求證：為矩形． 專題15圓中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如圖，AB是直徑，CD⊥AB．則：；；．（2）母子型相似如圖，若∠ABD=∠C，則△ABD∽△ACB．．（3）圓冪定理等其他相似圖常見問法（1）線段求值；（2）證明乘積關(guān)系，如證或；（3）乘積求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解題關(guān)鍵如何找到恰當(dāng)?shù)南嗨平鉀Q問題？利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等；若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問題中的線段可能并非相似三角形中的線段；確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明．

二、典例精析（2018·徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，C為半圓AB的中點，P為上一動點，延長BP至點Q，使．若點P由A運動到C，則點Q運動的路徑長為．【分析】由，易證△BPA∽△BAQ，∴∠BAQ=∠BPA=90°，即AQ⊥AB，當(dāng)點P與點C重合時，此時AQ的長即為點Q運動路徑長，此時AQ=AB=4．

（2019·萊蕪區(qū)）如圖，已知是的直徑，，為圓上一點，且，連接，，，與交于點．（1）求證：為的切線；（2）若，求的值．【分析】（1）∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，連接OD，易證△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是圓O的切線．（2）記OC與BD交點為H，易證，設(shè)AD=a，則，代入得：，解得：，∴．

（2018·大慶）如圖，是的直徑，點為線段上一點（不與，重合），作，交于點，作直徑，過點的切線交的延長線于點，作于點，連接．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）當(dāng)且時，求劣弧的長度．【分析】（1）∵AF⊥PF，OC⊥PF，∴AF∥OC，∴∠FAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OAC，∴AC平分∠FAB．（2）易證△ACF≌△ACE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCP=90°，∴∠BCE=∠BCP，延長CE與BD交于點Q，易證CQ=CP，在Rt△BCQ中，根據(jù)射影定理可得：，∴．（3）易證△AEC∽△DCP，∴，∴，，∴，△OBC是等邊三角形，∴∠BOD=120°，∴，故弧BD的長為．（2018·百色）已知為的直徑，為的切線，切點為，分別過，兩點作的垂線，垂足分別為，，的延長線與相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）∵AD是直徑，∴∠AMD=90°，又∠ABM=∠DCM=90°，易證△ABM∽△MCD．（2）∵AB=5，，∴DC=3，易證△EDC∽△EOM，∴，設(shè)ED=x，代入得：，解得：x=12，易證（切割線定理），∴，∴．故ME的長度為．（2019·溫州）如圖，在中，，點在邊上，且，過，，三點的交于另一點，作直徑，連結(jié)并延長交于點，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時，求的直徑長．【分析】（1）連接AE，∵∠BAC=90°，∴CF是圓O的直徑，又CA=CE，∴AE⊥CF，∵AD是直徑，∴AE⊥DE，∴CF∥DG，又∠DCA=∠CAF=90°，∴∠DCA+∠CAF=180°，∴CD∥AB，∴四邊形DCFG是平行四邊形．（2）易證CD=GF=AF，∴DC:BG=3:2，易證△EGB∽△EDC，∴，∴CE=6，CA=6，AB=8，CD=3，∴AD=，故圓O的直徑長為．（2018·菏澤）如圖，內(nèi)接于，，，過點作，與的平分線交于點，與交于點，與交于點．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線．【分析】（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=72°，∴∠BAD=108°，∵∠BAC=36°，∠CAF=∠CBF=36°，∴∠DAF=36°．（2）易證△AEF∽△DEA，∴，∴．（3）∵△AEF∽△DEA，∴∠EAD=∠EFA=72°，連接OA、OB、OC，易證△AOB≌△AOC（SSS），∴∠COA=∠BOA=18°，∴∠OAD=18°+72°=90°，∴OA⊥AD，∴AD是圓O的切線．（2018·鹽城）如圖，在以線段為直徑的上取一點，連接、．將沿翻折后得到．（1）試說明點在上；（2）在線段的延長線上取一點，使．求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長線段、相交于點，若，，求線段的長．【分析】（1）連接OC、OD，則OD=OC=r，∴點D在圓O上．（2）∵AD=AC，∴，∴△ADB∽△ABE，∴∠ABE=∠ADB=90°，∴BE⊥AB，∴BE是圓O的切線．（3）連接CD，則CD⊥AB，垂足記為H，∵BD=BC=2，AD=AC=4，且，∴DE=1，，，∴，設(shè)EF=x，易證△FEB∽△FDC，∴，∴，解得：，故EF的長為．（2019·鞍山）如圖，在中，，是上一點，過，，三點的交于點，連接ED、EC，點是線段上的一點，連接，其中．（1）求證：是的切線．（2）若是的中點，，，求的長．【分析】（1）連接BD、DE，∵∠BCD=90°，∴BD是直徑，∵∠DCE+∠BCE=90°，∠FDE=∠DCE，∠EDB=∠ECB，∴∠FDE+∠EDB=90°，∴∠FDB=90°，即FD⊥DB．∴DF是圓O的切線．（2）過點F作FH⊥AC交AC于H點，易證△FHD∽△DCB，設(shè)FH=x，則，解得：，又∠A=30°，∴，∴，解得：，，∴．∴DF的長為．三、中考真題演練1．（2021?寧夏）如圖，在中，點是邊上一點，以為直徑的半圓經(jīng)過點，點是弦上一點，過點作，垂足為，交的延長線于點，且．（1）求證：直線與半圓相切；（2）若已知，求的值．【解答】（1）證明：如圖，連接．，，，，，，，，，，是半徑，是的切線．（2）解：連接．是直徑，，，，，，，，，，，，．2．（2021?陜西）如圖，是的切線，為切點，弦，連接并延長，與交于點，與交于點，連接并延長，與交于點，連接．（1）求證：；（2）若，，求線段的長．【解答】（1）證明：延長交于點，是的切線，，，，為的直徑，，；（2），，，，，，，即，解得：，，，，四邊形為矩形，，．3．（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點，過點作，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長．【解答】（1）證明：是的直徑，，即，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，．4．（2021?淮安）如圖，在中，，點是的中點，以為直徑的與邊交于點，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的直徑．【解答】（1）證明：連接，如圖，，為的中點，，，又，，而，，即，，與相切；（2）由（1）得，，，，，，，，，，，，直徑的長為．5．（2021?撫順）如圖，在中，，，連接，，過點作，交的延長線于點，與的延長線相交于點，與相交于點．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求線段的長．【解答】解：（1）如圖，連接，，，又，，，，、是等邊三角形，，四邊形是菱形，，又，，是的切線；（2）由（1）得，，，在中，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，又，，，，即．6．（2021?畢節(jié)市）如圖，是的外接圓，點是的內(nèi)心，的延長線交于點，交于點，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：點是的內(nèi)心，平分，平分，，，又與所對弧為，．，，即，故．（2）解：，，，①，，，設(shè)，由（1）可得，則①式化為，解得：，（不符題意，舍去），則．7．（2021?泰州）如圖，在中，為直徑，為上一點，，為常數(shù)，且．過點的弦，為上一動點（與點不重合），，垂足為．連接、．（1）若．①求證：；②求的值；（2）用含的代數(shù)式表示，請直接寫出結(jié)果；（3）存在一個大小確定的，對于點的任意位置，都有的值是一個定值，求此時的度數(shù)．【解答】解：（1）①連接，如圖：即，，，，，是中點，又，是的垂直平分線，，即是等邊三角形，；②連接，如圖：是直徑，，，，，，，，，由①知：，，；（2）連接、，如圖：是直徑，，，又，，，，，，，，與（1）中②同理，可得：，；（3）由（2）得，，即，，若是定值，則的值與無關(guān)，當(dāng)時，的定值為1，此時與重合，如圖：，，是等腰直角三角形，，，，故存在半徑為1的，對的任意位置，都有是定值1，此時為．8．（2021?益陽）如圖，在等腰銳角三角形中，，過點作于，延長交的外接圓于點，過點作于，，的延長線交于點．（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）求證：①；②．【解答】解：（1）平分，理由如下：，，又，，，，，平分，（2）①由（1）知：平分，，，，在和中，，，，②由（1）知，，，，，，，，，，，，，，，，，即．9．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑和的長．【解答】（1）證明：連接，是的直徑，，即，平分，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，設(shè)的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，，解得：，的半徑為15；，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，，，，，，，，即，．10．如圖，是直徑，弦，垂足為點．弦交于點，點在延長線上，且．（1）求證：為切線；（2）若，，，求的長．【解答】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，，，是半徑，為切線；（2）解：連接，過點作，垂足為，如圖，是直徑，，，，，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，的長為5．11．（2021?湖北）如圖，為直徑，為上一點，于點，交于點，與的延長線交于點，平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求和的長．【解答】（1）證明：連接，平分．，又，，，又，，，，即，是的切線；（2）解：連接交于點，為直徑，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，．12．（2021?本溪）如圖，在中，，延長到點，以為直徑作，交的延長線于點，延長到點，使．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長．【解答】證明：（1）連接，，，在中，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，，，，，，是的直徑，，在中，，，在中，，，，，，，，是的切線，，，，，，，，，．13．（2021?深圳）如圖，為的弦，，為的三等分點，．（1）求證：；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：，，，為的三等分點，，，，（2）解：由（1）知，，，，，，即，解得，．14．（2021?綏化）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若弦垂直于，垂足為，，，求的半徑；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，求線段的長．【解答】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖2，連接，，且為的直徑，，，設(shè)的半徑為，則，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，即的半徑為1；（3）如圖3，作的平分線交于，在中，，，，，，設(shè)，在中，，，，，由（2）知，的半徑為1，，，，，，，，或（舍，，連接，為的直徑，，，，，，，，，，．15．（2021?衢州）如圖，在中，，與相切于點，過點作的垂線交的延長線于點，交于點，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長．【解答】解：（1）證明：連接，如圖，，．，．與相切于點，．．．在和中，，．．是的切線．（2）由（1）得：，，．．，，，，．．在中，．16．（2021?濟寧）如圖，點在以為直徑的上，點是的中點，連接并延長交于點，作，交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【解答】解：（1）證明：為直徑，，又為中點，為中點，故，，．，，又，，，又，．，，．又為半徑，故是的切線．（2），由（1）得，又，．，，．，即，．．故的半徑為．17．（2021?恩施州）如圖，在中，，與相交于點，與相交于點，連接，已知．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．【解答】（1）證明：，，，，，為的切線；（2）解：作于，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，．18．（2021?羅湖區(qū)）如圖1，水平放置一個直角三角板和一個量角器，三角板的邊和量角器的直徑在一條直線上，，，開始的時候，現(xiàn)在三角板以的速度向右移動．（1）當(dāng)與重合的時候，求三角板運動的時間；（2）如圖2，當(dāng)與半圓相切時，求；（3）如圖3，當(dāng)和重合時，求證：．【解答】（1）解：由題意可得：，；（2）解：如圖2，連接與切點，則，又，，；（3）證明：如圖3，連接，，，為直徑，，，，又，，，．19．（2021?瀘州）如圖，是的內(nèi)接三角形，過點作的切線交的延長線于點，是的直徑，連接．（1）求證：；（2）若，于點，，，求的值．【解答】（1）證明：如圖1，連接，是的切線，，，，，是的直徑，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，即．20．（2021?日照）如圖，的對角線相交于點，經(jīng)過、兩點，與的延長線相交于點，點為上一點，且．連接、相交于點，若，．（1）求對角線的長；（2）求證：為矩形．【解答】（1）解：是直徑，，，又，，．（2）證明：，是平行四邊形，為矩形．專題16圓中求陰影部分的面積一、方法突破求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時，通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件．二、典例精析類型1公式法求面積1．如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為A． B． C． D．類型2和差法求面積2．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長為3時，則陰影部分的面積為（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣183．如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點，則陰影部分的面積為．4．如圖，，，，為上一點，，以為圓心，以為半徑的圓與相切于點，與相交于點，連接、，則圖中陰影部分的面積是．5．如圖，分別以邊長為2的等邊三角形的三個頂點為圓心，以邊長為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個曲邊三角形，已知是的內(nèi)切圓，則陰影部分面積為．類型3整體思想求面積6．如圖，分別以五邊形的頂點為圓心，以1為半徑作五個圓，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．7．如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是A． B． C． D．8．把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個恒星圖形的面積等于．類型4利用等積轉(zhuǎn)化法求面積9．如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于A． B． C． D．10．如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．11．運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，是的直徑，、是的弦，且，，，．則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．12．如圖，為半圓的直徑，且，將半圓繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點的位置，則圖中陰影部分的面積為．13．如圖，是半圓內(nèi)一點，直徑的長為，，，將繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)至△，點在上，則邊掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為A． B． C． D．三、中考真題演練1．如圖，已知的半徑為1，是直徑，分別以點、為圓心，以的長為半徑畫?。畠苫∠嘟挥凇牲c，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，連接，則陰影部分的面積為A． B． C． D．3．如圖，兩個半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形的圓心是的中點，且扇形繞著點旋轉(zhuǎn)，半徑、交于點，半徑、交于點，則圖中陰影面積等于A． B． C． D．4．如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，點，分別為，的中點．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．5．如圖，在中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，交于點，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．6．如圖，在菱形中，，，以為圓心、長為半徑畫，點為菱形內(nèi)一點，連接，，．當(dāng)為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．7．如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作，垂足為點，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．8．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點，點是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交直線于點，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，邊掃過區(qū)域（陰影部分）面積的最大值是A． B． C． D．9．如圖，，，兩兩不相交，且半徑都等于2，則圖中三個扇形（即陰影部分）的面積之和為．（結(jié)果保留10．如圖，作的任意一條直徑，分別以、為圓心，以的長為半徑作弧，與相交于點、和、，順次連接、、、、、，得到六邊形，則的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為．11．如圖，在中，為的中點，以為圓心，長為半徑畫弧交對角線于點，若，，，則扇形的面積為．12．如圖，是的弦，，點是上的一個動點，且，若點，分別是，的中點，則圖中陰影部分面積的最大值是．13．如圖，等腰直角三角形中，，．分別以點、點為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、于點、、，則圖中陰影部分的面積為．14．如圖，正方形的邊長為2，分別以，為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相交于點，那么圖中陰影部分的面積為．15．如圖，在邊長為4的正方形中，以為直徑的半圓交對角線于點，以為圓心、長為半徑畫弧交于點，則圖中陰影部分的面積是．16．如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，已知，，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為． 專題16圓中求陰影部分的面積一、方法突破求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時，通過對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件．二、典例精析類型1公式法求面積1．如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，則此扇形的面積為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出為圓的直徑，解直角三角形求出，根據(jù)扇形面積公式求出即可．【解答】解：連接，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為的扇形，即，為直徑，即，（扇形的半徑相等），，，陰影部分的面積是，故選：．類型2和差法求面積2．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，點D在OB上，點E在OB的延長線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長為3時，則陰影部分的面積為（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣18【分析】連接OC，根據(jù)勾股定理可求OC的長，根據(jù)題意可得出陰影部分的面積＝扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積，依此列式計算即可求解．【解答】解：如圖，連接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點C是的中點，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝6，∴陰影部分的面積＝扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積＝﹣×（3）2＝π﹣9．故選：C．3．如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點，則陰影部分的面積為．【分析】連接半徑和弦，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：，可得和的長，所以圖中弓形的面積為扇形的面積與面積的差，因為，所以的面積是面積的一半，可得結(jié)論．【解答】解：連接、，是的直徑，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，故答案為：．4．如圖，，，，為上一點，，以為圓心，以為半徑的圓與相切于點，與相交于點，連接、，則圖中陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案．【解答】解：，，，，是等邊三角形，，，扇形的面積為：為半徑的圓與相切于點，，，，，由勾股定理可知：的面積為：的面積為：，陰影部分面積為：故答案為：5．如圖，分別以邊長為2的等邊三角形的三個頂點為圓心，以邊長為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個曲邊三角形，已知是的內(nèi)切圓，則陰影部分面積為．【分析】連接，作于，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得為的半徑，，再計算出，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分面積進行計算．【解答】解：連接，作于，如圖，為等邊三角形，，，是的內(nèi)切圓，為的半徑，，點為等邊三角形的外心，，在中，，，陰影部分面積．故答案為．類型3整體思想求面積6．如圖，分別以五邊形的頂點為圓心，以1為半徑作五個圓，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．【分析】圓心角之和等于邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，根據(jù)扇形的面積公式計算即可求出圓形中的空白面積，再用5個圓形的面積減去圓形中的空白面積可得陰影部分的面積．【解答】解：邊形的內(nèi)角和，圓形的空白部分的面積之和．所以圖中陰影部分的面積之和為：．故選：．7．如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是A． B． C． D．【分析】圖中陰影部分面積等于6個小半圓的面積和（大圓的面積正六邊形的面積）即可得到結(jié)果．【解答】解：6個月牙形的面積之和，故選：．8．把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個恒星圖形的面積等于．【分析】恒星的面積邊長為2的正方形面積半徑為1的圓的面積，依此列式計算即可．【解答】解：如圖：新的正方形的邊長為，恒星的面積．故答案為．類型4利用等積轉(zhuǎn)化法求面積9．如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于A． B． C． D．【分析】連接，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進行計算．【解答】解：連接，如圖，為等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故選：．10．如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】要求陰影部分的面積，由圖可知，陰影部分的面積等于扇形的面積，根據(jù)已知條件可以得到扇形的面積，本題得以解決．【解答】解：，，又弦，，，，故選：．11．運用圖形變化的方法研究下列問題：如圖，是的直徑，、是的弦，且，，，．則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．【分析】作直徑，連接、、、，根據(jù)勾股定理求得的長，證明，則，然后根據(jù)三角形的面積公式證明，，則，即可求解．【解答】解：作直徑，連接、、、．是圓的直徑，，則，又，，，，，，，．故選：．12．如圖，為半圓的直徑，且，將半圓繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)到點的位置，則圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是半圓的面積與扇形的面積之和減去半圓的面積．【解答】解：由圖可得，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．13．如圖，是半圓內(nèi)一點，直徑的長為，，，將繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)至△，點在上，則邊掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進行計算即可得出答案．【解答】解：，△是繞圓心逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，，△，，，，，，，，，，陰影部分面積；故選：．三、中考真題演練1．如圖，已知的半徑為1，是直徑，分別以點、為圓心，以的長為半徑畫?。畠苫∠嘟挥?、兩點，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．【分析】連接、，如圖，先判斷為等邊三角形，則，由于，所以圖中陰影部分的面積，然后利用扇形的面積公式、等邊三角形的面積公式和圓的面積公式計算．【解答】解：連接，如圖，由作法可知，為等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故選：．2．如圖，在矩形中，，，以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，連接，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，求出，再分別求出扇形和矩形、的面積，即可得出答案．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，陰影部分的面積．故選：．3．如圖，兩個半徑長均為的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形的圓心是的中點，且扇形繞著點旋轉(zhuǎn)，半徑、交于點，半徑、交于點，則圖中陰影面積等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出面積，再過點作，作，垂足分別為、，然后證明與全等，從而得到中間空白區(qū)域的面積等于以為對角線的正方形的面積，從而得出陰影部分的面積．【解答】解：兩扇形的面積和為：，過點作，作，垂足分別為、，則四邊形是矩形，點是的中點，平分，，矩形是正方形，，，，在與中，，，中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對角線是的正方形面積，空白區(qū)域的面積為：，圖中陰影部分的面積兩個扇形面積和個空白區(qū)域面積的和．故選：．4．如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，點，分別為，的中點．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對的弦分別相等，利用面積割補法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．【解答】解：連接，，如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點，由題意可得：，經(jīng)過點，且，．點，分別為，的中點，，，．弓形弓形．陰影部分的面積等于弓形的面積．．故選：．5．如圖，在中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，交于點，以點為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，交于點，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)直角三角形中的勾股定理求得，再將求不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積：，將相關(guān)量代入求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，則，設(shè)，，，，即，，故選：．6．如圖，在菱形中，，，以為圓心、長為半徑畫，點為菱形內(nèi)一點，連接，，．當(dāng)為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，延長，交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是等邊三角形，進而通過三角形全等證得，從而求得、，利用即可求得．【解答】解：連接，延長，交于，在菱形中，，，，，是等邊三角形，，在和中，，，，，，為等腰直角三角形，，在中，，，，故選：．7．如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點，，過點作，垂足為點，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，，先通過直徑所對是圓周角是直角，證出，從而得出，再通過計算即可．【解答】解：連接，為直徑，，，，，，，，，，，，，，，作于，在中，，，，，．故選：．8．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點，點是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交直線于點，繞點順時