2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題15 圓中的相似含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題15圓中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如圖，AB是直徑，CD⊥AB．則：；；．（2）母子型相似如圖，若∠ABD=∠C，則△ABD∽△ACB．．（3）圓冪定理等其他相似圖常見(jiàn)問(wèn)法（1）線段求值；（2）證明乘積關(guān)系，如證或；（3）乘積求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解題關(guān)鍵如何找到恰當(dāng)?shù)南嗨平鉀Q問(wèn)題？利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等；若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問(wèn)題中的線段可能并非相似三角形中的線段；確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明．

二、典例精析（2018·徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，C為半圓AB的中點(diǎn)，P為上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q，使．若點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．

（2019·萊蕪區(qū)）如圖，已知是的直徑，，為圓上一點(diǎn)，且，連接，，，與交于點(diǎn)．（1）求證：為的切線；（2）若，求的值．

（2018·大慶）如圖，是的直徑，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與，重合），作，交于點(diǎn)，作直徑，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）當(dāng)且時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度．（2018·百色）已知為的直徑，為的切線，切點(diǎn)為，分別過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．（2019·溫州）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)，，三點(diǎn)的交于另一點(diǎn)，作直徑，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時(shí)，求的直徑長(zhǎng)．（2018·菏澤）如圖，內(nèi)接于，，，過(guò)點(diǎn)作，與的平分線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線．（2018·鹽城）如圖，在以線段為直徑的上取一點(diǎn)，連接、．將沿翻折后得到．（1）試說(shuō)明點(diǎn)在上；（2）在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使．求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)線段、相交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．（2019·鞍山）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的交于點(diǎn)，連接ED、EC，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連接，其中．（1）求證：是的切線．（2）若是的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．三、中考真題演練1．（2021?寧夏）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是弦上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．（1）求證：直線與半圓相切；（2）若已知，求的值．2．（2021?陜西）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，弦，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．3．（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長(zhǎng)．4．（2021?淮安）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，，求的直徑．5．（2021?撫順）如圖，在中，，，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求線段的長(zhǎng)．6．（2021?畢節(jié)市）如圖，是的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．7．（2021?泰州）如圖，在中，為直徑，為上一點(diǎn)，，為常數(shù)，且．過(guò)點(diǎn)的弦，為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，垂足為．連接、．（1）若．①求證：；②求的值；（2）用含的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的，對(duì)于點(diǎn)的任意位置，都有的值是一個(gè)定值，求此時(shí)的度數(shù)．8．（2021?益陽(yáng)）如圖，在等腰銳角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）求證：①；②．9．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑和的長(zhǎng)．10．如圖，是直徑，弦，垂足為點(diǎn)．弦交于點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：為切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．11．（2021?湖北）如圖，為直徑，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求和的長(zhǎng)．12．（2021?本溪）如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，以為直徑作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．13．（2021?深圳）如圖，為的弦，，為的三等分點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．14．（2021?綏化）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若弦垂直于，垂足為，，，求的半徑；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．15．（2021?衢州）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長(zhǎng)．16．（2021?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．17．（2021?恩施州）如圖，在中，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，已知．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．18．（2021?羅湖區(qū)）如圖1，水平放置一個(gè)直角三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊和量角器的直徑在一條直線上，，，開(kāi)始的時(shí)候，現(xiàn)在三角板以的速度向右移動(dòng)．（1）當(dāng)與重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（2）如圖2，當(dāng)與半圓相切時(shí)，求；（3）如圖3，當(dāng)和重合時(shí)，求證：．19．（2021?瀘州）如圖，是的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，是的直徑，連接．（1）求證：；（2）若，于點(diǎn)，，，求的值．20．（2021?日照）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．連接、相交于點(diǎn)，若，．（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）求證：為矩形． 專題15圓中的相似一、方法突破基本相似模型（1）射影定理如圖，AB是直徑，CD⊥AB．則：；；．（2）母子型相似如圖，若∠ABD=∠C，則△ABD∽△ACB．．（3）圓冪定理等其他相似圖常見(jiàn)問(wèn)法（1）線段求值；（2）證明乘積關(guān)系，如證或；（3）乘積求值，如求的值；（4）比例求值，如求的值；解題關(guān)鍵如何找到恰當(dāng)?shù)南嗨平鉀Q問(wèn)題？利用圓周角定理等盡可能找相等角，兩組角相等即可證全等；若有相等線段轉(zhuǎn)化線段，問(wèn)題中的線段可能并非相似三角形中的線段；確定相等線段、角之后，猜想可能存在的相似并證明．

二、典例精析（2018·徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝4，C為半圓AB的中點(diǎn)，P為上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q，使．若點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【分析】由，易證△BPA∽△BAQ，∴∠BAQ=∠BPA=90°，即AQ⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)AQ的長(zhǎng)即為點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，此時(shí)AQ=AB=4．

（2019·萊蕪區(qū)）如圖，已知是的直徑，，為圓上一點(diǎn)，且，連接，，，與交于點(diǎn)．（1）求證：為的切線；（2）若，求的值．【分析】（1）∵AB是直徑，∴AD⊥BD，∵AD∥OC，∴OC⊥BD，連接OD，易證△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD是圓O的切線．（2）記OC與BD交點(diǎn)為H，易證，設(shè)AD=a，則，代入得：，解得：，∴．

（2018·大慶）如圖，是的直徑，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與，重合），作，交于點(diǎn)，作直徑，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接．（1）求證：平分；（2）求證：；（3）當(dāng)且時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度．【分析】（1）∵AF⊥PF，OC⊥PF，∴AF∥OC，∴∠FAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OAC，∴AC平分∠FAB．（2）易證△ACF≌△ACE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCP=90°，∴∠BCE=∠BCP，延長(zhǎng)CE與BD交于點(diǎn)Q，易證CQ=CP，在Rt△BCQ中，根據(jù)射影定理可得：，∴．（3）易證△AEC∽△DCP，∴，∴，，∴，△OBC是等邊三角形，∴∠BOD=120°，∴，故弧BD的長(zhǎng)為．（2018·百色）已知為的直徑，為的切線，切點(diǎn)為，分別過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）∵AD是直徑，∴∠AMD=90°，又∠ABM=∠DCM=90°，易證△ABM∽△MCD．（2）∵AB=5，，∴DC=3，易證△EDC∽△EOM，∴，設(shè)ED=x，代入得：，解得：x=12，易證（切割線定理），∴，∴．故ME的長(zhǎng)度為．（2019·溫州）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)，，三點(diǎn)的交于另一點(diǎn)，作直徑，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）當(dāng)，時(shí)，求的直徑長(zhǎng)．【分析】（1）連接AE，∵∠BAC=90°，∴CF是圓O的直徑，又CA=CE，∴AE⊥CF，∵AD是直徑，∴AE⊥DE，∴CF∥DG，又∠DCA=∠CAF=90°，∴∠DCA+∠CAF=180°，∴CD∥AB，∴四邊形DCFG是平行四邊形．（2）易證CD=GF=AF，∴DC:BG=3:2，易證△EGB∽△EDC，∴，∴CE=6，CA=6，AB=8，CD=3，∴AD=，故圓O的直徑長(zhǎng)為．（2018·菏澤）如圖，內(nèi)接于，，，過(guò)點(diǎn)作，與的平分線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線．【分析】（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=72°，∴∠BAD=108°，∵∠BAC=36°，∠CAF=∠CBF=36°，∴∠DAF=36°．（2）易證△AEF∽△DEA，∴，∴．（3）∵△AEF∽△DEA，∴∠EAD=∠EFA=72°，連接OA、OB、OC，易證△AOB≌△AOC（SSS），∴∠COA=∠BOA=18°，∴∠OAD=18°+72°=90°，∴OA⊥AD，∴AD是圓O的切線．（2018·鹽城）如圖，在以線段為直徑的上取一點(diǎn)，連接、．將沿翻折后得到．（1）試說(shuō)明點(diǎn)在上；（2）在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使．求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)線段、相交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC、OD，則OD=OC=r，∴點(diǎn)D在圓O上．（2）∵AD=AC，∴，∴△ADB∽△ABE，∴∠ABE=∠ADB=90°，∴BE⊥AB，∴BE是圓O的切線．（3）連接CD，則CD⊥AB，垂足記為H，∵BD=BC=2，AD=AC=4，且，∴DE=1，，，∴，設(shè)EF=x，易證△FEB∽△FDC，∴，∴，解得：，故EF的長(zhǎng)為．（2019·鞍山）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的交于點(diǎn)，連接ED、EC，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，連接，其中．（1）求證：是的切線．（2）若是的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接BD、DE，∵∠BCD=90°，∴BD是直徑，∵∠DCE+∠BCE=90°，∠FDE=∠DCE，∠EDB=∠ECB，∴∠FDE+∠EDB=90°，∴∠FDB=90°，即FD⊥DB．∴DF是圓O的切線．（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC交AC于H點(diǎn)，易證△FHD∽△DCB，設(shè)FH=x，則，解得：，又∠A=30°，∴，∴，解得：，，∴．∴DF的長(zhǎng)為．三、中考真題演練1．（2021?寧夏）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為直徑的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是弦上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．（1）求證：直線與半圓相切；（2）若已知，求的值．【解答】（1）證明：如圖，連接．，，，，，，，，，，是半徑，是的切線．（2）解：連接．是直徑，，，，，，，，，，，，．2．（2021?陜西）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，弦，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的切線，，，，為的直徑，，；（2），，，，，，，即，解得：，，，，四邊形為矩形，，．3．（2021?西寧）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：是的直徑，，即，，，，，，，，即，，又是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，．4．（2021?淮安）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，，求的直徑．【解答】（1）證明：連接，如圖，，為的中點(diǎn)，，，又，，而，，即，，與相切；（2）由（1）得，，，，，，，，，，，，直徑的長(zhǎng)為．5．（2021?撫順）如圖，在中，，，連接，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為2，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，連接，，，又，，，，、是等邊三角形，，四邊形是菱形，，又，，是的切線；（2）由（1）得，，，在中，，，，，在中，由勾股定理得，，，，，又，，，，即．6．（2021?畢節(jié)市）如圖，是的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：點(diǎn)是的內(nèi)心，平分，平分，，，又與所對(duì)弧為，．，，即，故．（2）解：，，，①，，，設(shè)，由（1）可得，則①式化為，解得：，（不符題意，舍去），則．7．（2021?泰州）如圖，在中，為直徑，為上一點(diǎn)，，為常數(shù)，且．過(guò)點(diǎn)的弦，為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，垂足為．連接、．（1）若．①求證：；②求的值；（2）用含的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的，對(duì)于點(diǎn)的任意位置，都有的值是一個(gè)定值，求此時(shí)的度數(shù)．【解答】解：（1）①連接，如圖：即，，，，，是中點(diǎn)，又，是的垂直平分線，，即是等邊三角形，；②連接，如圖：是直徑，，，，，，，，，由①知：，，；（2）連接、，如圖：是直徑，，，又，，，，，，，，與（1）中②同理，可得：，；（3）由（2）得，，即，，若是定值，則的值與無(wú)關(guān)，當(dāng)時(shí)，的定值為1，此時(shí)與重合，如圖：，，是等腰直角三角形，，，，故存在半徑為1的，對(duì)的任意位置，都有是定值1，此時(shí)為．8．（2021?益陽(yáng)）如圖，在等腰銳角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）求證：①；②．【解答】解：（1）平分，理由如下：，，又，，，，，平分，（2）①由（1）知：平分，，，，在和中，，，，②由（1）知，，，，，，，，，，，，，，，，，即．9．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑和的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，是的直徑，，即，平分，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，設(shè)的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，，解得：，的半徑為15；，，，，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，，，，，，，，即，．10．如圖，是直徑，弦，垂足為點(diǎn)．弦交于點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．（1）求證：為切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，，，是半徑，為切線；（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，是直徑，，，，，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，，，，，即，解得：，的長(zhǎng)為5．11．（2021?湖北）如圖，為直徑，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，平分．（1）求證：是的切線；（2）若，，求和的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接，平分．，又，，，又，，，，即，是的切線；（2）解：連接交于點(diǎn)，為直徑，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，．12．（2021?本溪）如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，以為直徑作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【解答】證明：（1）連接，，，在中，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，，，，，，是的直徑，，在中，，，在中，，，，，，，，是的切線，，，，，，，，，．13．（2021?深圳）如圖，為的弦，，為的三等分點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，，為的三等分點(diǎn)，，，，（2）解：由（1）知，，，，，，即，解得，．14．（2021?綏化）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點(diǎn)，，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若弦垂直于，垂足為，，，求的半徑；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖2，連接，，且為的直徑，，，設(shè)的半徑為，則，，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，，即的半徑為1；（3）如圖3，作的平分線交于，在中，，，，，，設(shè)，在中，，，，，由（2）知，的半徑為1，，，，，，，，或（舍，，連接，為的直徑，，，，，，，，，，．15．（2021?衢州）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：連接，如圖，，．，．與相切于點(diǎn)，．．．在和中，，．．是的切線．（2）由（1）得：，，．．，，，，．．在中，．16．（2021?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【解答】解：（1）證明：為直徑，，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故，，．，，又，，，又，．，，．又為半徑，故是的切線．（2），由（1）得，又，．，，．，即，．．故的半徑為．17．（2021?恩施州）如圖，在中，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，已知．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，，，，為的切線；（2）解：作于，，，，，即，，，，，，，，即，，，，，，．18．（2021?羅湖區(qū)）如圖1，水平放置一個(gè)直角三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊和量角器的直徑在一條直線上，，，開(kāi)始的時(shí)候，現(xiàn)在三角板以的速度向右移動(dòng)．（1）當(dāng)與重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（2）如圖2，當(dāng)與半圓相切時(shí)，求；（3）如圖3，當(dāng)和重合時(shí)，求證：．【解答】（1）解：由題意可得：，；（2）解：如圖2，連接與切點(diǎn)，則，又，，；（3）證明：如圖3，連接，，，為直徑，，，，又，，，．19．（2021?瀘州）如圖，是的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，是的直徑，連接．（1）求證：；（2）若，于點(diǎn)，，，求的值．【解答】（1）證明：如圖1，連接，是的切線，，，，，是的直徑，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，，，即．20．（2021?日照）如圖，的對(duì)角線相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．連接、相交于點(diǎn)，若，．（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）求證：為矩形．【解答】（1）解：是直徑，，，又，，．（2）證明：，是平行四邊形，為矩形．專題16圓中求陰影部分的面積一、方法突破求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過(guò)轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時(shí)，通過(guò)對(duì)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件．二、典例精析類型1公式法求面積1．如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為的扇形，則此扇形的面積為A． B． C． D．類型2和差法求面積2．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，點(diǎn)E在OB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為3時(shí)，則陰影部分的面積為（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣183．如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點(diǎn)，則陰影部分的面積為．4．如圖，，，，為上一點(diǎn)，，以為圓心，以為半徑的圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接、，則圖中陰影部分的面積是．5．如圖，分別以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個(gè)曲邊三角形，已知是的內(nèi)切圓，則陰影部分面積為．類型3整體思想求面積6．如圖，分別以五邊形的頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑作五個(gè)圓，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．7．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分面積）是A． B． C． D．8．把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個(gè)恒星圖形的面積等于．類型4利用等積轉(zhuǎn)化法求面積9．如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于A． B． C． D．10．如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．11．運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖，是的直徑，、是的弦，且，，，．則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．12．如圖，為半圓的直徑，且，將半圓繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則圖中陰影部分的面積為．13．如圖，是半圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑的長(zhǎng)為，，，將繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，點(diǎn)在上，則邊掃過(guò)的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為A． B． C． D．三、中考真題演練1．如圖，已知的半徑為1，是直徑，分別以點(diǎn)、為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫?。畠苫∠嘟挥?、兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．2．如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為A． B． C． D．3．如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形的圓心是的中點(diǎn)，且扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，半徑、交于點(diǎn)，半徑、交于點(diǎn)，則圖中陰影面積等于A． B． C． D．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．5．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．6．如圖，在菱形中，，，以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫，點(diǎn)為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．7．如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．8．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊掃過(guò)區(qū)域（陰影部分）面積的最大值是A． B． C． D．9．如圖，，，兩兩不相交，且半徑都等于2，則圖中三個(gè)扇形（即陰影部分）的面積之和為．（結(jié)果保留10．如圖，作的任意一條直徑，分別以、為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，與相交于點(diǎn)、和、，順次連接、、、、、，得到六邊形，則的面積與陰影區(qū)域的面積的比值為．11．如圖，在中，為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交對(duì)角線于點(diǎn)，若，，，則扇形的面積為．12．如圖，是的弦，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則圖中陰影部分面積的最大值是．13．如圖，等腰直角三角形中，，．分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交、、于點(diǎn)、、，則圖中陰影部分的面積為．14．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別以，為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)，那么圖中陰影部分的面積為．15．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，以為直徑的半圓交對(duì)角線于點(diǎn)，以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是．16．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，已知，，則線段掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為． 專題16圓中求陰影部分的面積一、方法突破求陰影部分面積的常用方法：①公式法：所求圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形等，可直接利用公式計(jì)算；②和差法：所求圖形是不規(guī)則圖形，可通過(guò)轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和或差；③等積變換法：直接求面積較麻煩或根本求不出時(shí)，通過(guò)對(duì)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等，為公式法或和差法創(chuàng)造條件．二、典例精析類型1公式法求面積1．如圖，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為的扇形，則此扇形的面積為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得出為圓的直徑，解直角三角形求出，根據(jù)扇形面積公式求出即可．【解答】解：連接，從一塊直徑為的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為的扇形，即，為直徑，即，（扇形的半徑相等），，，陰影部分的面積是，故選：．類型2和差法求面積2．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，點(diǎn)E在OB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為3時(shí)，則陰影部分的面積為（）A．18﹣π B．π﹣9 C．π﹣9 D．π﹣18【分析】連接OC，根據(jù)勾股定理可求OC的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得出陰影部分的面積＝扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積，依此列式計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖，連接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的頂點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝6，∴陰影部分的面積＝扇形BOC的面積﹣三角形ODC的面積＝﹣×（3）2＝π﹣9．故選：C．3．如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點(diǎn)，則陰影部分的面積為．【分析】連接半徑和弦，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得：，可得和的長(zhǎng)，所以圖中弓形的面積為扇形的面積與面積的差，因?yàn)椋缘拿娣e是面積的一半，可得結(jié)論．【解答】解：連接、，是的直徑，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，故答案為：．4．如圖，，，，為上一點(diǎn)，，以為圓心，以為半徑的圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接、，則圖中陰影部分的面積是．【分析】根據(jù)扇形面積公式以及三角形面積公式即可求出答案．【解答】解：，，，，是等邊三角形，，，扇形的面積為：為半徑的圓與相切于點(diǎn)，，，，，由勾股定理可知：的面積為：的面積為：，陰影部分面積為：故答案為：5．如圖，分別以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作弧，三段弧所圍成的圖形是一個(gè)曲邊三角形，已知是的內(nèi)切圓，則陰影部分面積為．【分析】連接，作于，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，再根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得為的半徑，，再計(jì)算出，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用陰影部分面積進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：連接，作于，如圖，為等邊三角形，，，是的內(nèi)切圓，為的半徑，，點(diǎn)為等邊三角形的外心，，在中，，，陰影部分面積．故答案為．類型3整體思想求面積6．如圖，分別以五邊形的頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑作五個(gè)圓，則圖中陰影部分的面積之和為A． B． C． D．【分析】圓心角之和等于邊形的內(nèi)角和，由于半徑相同，根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可求出圓形中的空白面積，再用5個(gè)圓形的面積減去圓形中的空白面積可得陰影部分的面積．【解答】解：邊形的內(nèi)角和，圓形的空白部分的面積之和．所以圖中陰影部分的面積之和為：．故選：．7．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個(gè)月牙形的面積之和（陰影部分面積）是A． B． C． D．【分析】圖中陰影部分面積等于6個(gè)小半圓的面積和（大圓的面積正六邊形的面積）即可得到結(jié)果．【解答】解：6個(gè)月牙形的面積之和，故選：．8．把半徑為1的圓分割成四段相等的弧，再將這四段弧依次相連拼成如圖所示的恒星圖形，那么這個(gè)恒星圖形的面積等于．【分析】恒星的面積邊長(zhǎng)為2的正方形面積半徑為1的圓的面積，依此列式計(jì)算即可．【解答】解：如圖：新的正方形的邊長(zhǎng)為，恒星的面積．故答案為．類型4利用等積轉(zhuǎn)化法求面積9．如圖，等邊三角形內(nèi)接于，若的半徑為2，則圖中陰影部分的面積等于A． B． C． D．【分析】連接，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得，，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用圖中陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：連接，如圖，為等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故選：．10．如圖，是的直徑，弦，，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】要求陰影部分的面積，由圖可知，陰影部分的面積等于扇形的面積，根據(jù)已知條件可以得到扇形的面積，本題得以解決．【解答】解：，，又弦，，，，故選：．11．運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖，是的直徑，、是的弦，且，，，．則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．【分析】作直徑，連接、、、，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，證明，則，然后根據(jù)三角形的面積公式證明，，則，即可求解．【解答】解：作直徑，連接、、、．是圓的直徑，，則，又，，，，，，，．故選：．12．如圖，為半圓的直徑，且，將半圓繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則圖中陰影部分的面積為．【分析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是半圓的面積與扇形的面積之和減去半圓的面積．【解答】解：由圖可得，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．13．如圖，是半圓內(nèi)一點(diǎn)，直徑的長(zhǎng)為，，，將繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，點(diǎn)在上，則邊掃過(guò)的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【解答】解：，△是繞圓心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，△，，，，，，，，，，陰影部分面積；故選：．三、中考真題演練1．如圖，已知的半徑為1，是直徑，分別以點(diǎn)、為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫?。畠苫∠嘟挥凇牲c(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是A． B． C． D．【分析】連接、，如圖，先判斷為等邊三角形，則，由于，所以圖中陰影部分的面積，然后利用扇形的面積公式、等邊三角形的面積公式和圓的面積公式計(jì)算．【解答】解：連接，如圖，由作法可知，為等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故選：．2．如圖，在矩形中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)，連接，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，求出，再分別求出扇形和矩形、的面積，即可得出答案．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，陰影部分的面積．故選：．3．如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧上，扇形的圓心是的中點(diǎn)，且扇形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，半徑、交于點(diǎn)，半徑、交于點(diǎn)，則圖中陰影面積等于A． B． C． D．【分析】根據(jù)扇形的面積公式求出面積，再過(guò)點(diǎn)作，作，垂足分別為、，然后證明與全等，從而得到中間空白區(qū)域的面積等于以為對(duì)角線的正方形的面積，從而得出陰影部分的面積．【解答】解：兩扇形的面積和為：，過(guò)點(diǎn)作，作，垂足分別為、，則四邊形是矩形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，，矩形是正方形，，，，在與中，，，中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對(duì)角線是的正方形面積，空白區(qū)域的面積為：，圖中陰影部分的面積兩個(gè)扇形面積和個(gè)空白區(qū)域面積的和．故選：．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．【解答】解：連接，，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，．弓形弓形．陰影部分的面積等于弓形的面積．．故選：．5．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)直角三角形中的勾股定理求得，再將求不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積：，將相關(guān)量代入求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，則，設(shè)，，，，即，，故選：．6．如圖，在菱形中，，，以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫，點(diǎn)為菱形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，延長(zhǎng)，交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是等邊三角形，進(jìn)而通過(guò)三角形全等證得，從而求得、，利用即可求得．【解答】解：連接，延長(zhǎng)，交于，在菱形中，，，，，是等邊三角形，，在和中，，，，，，為等腰直角三角形，，在中，，，，故選：．7．如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，，先通過(guò)直徑所對(duì)是圓周角是直角，證出，從而得出，再通過(guò)計(jì)算即可．【解答】解：連接，為直徑，，，，，，，，，，，，，，，作于，在中，，，，，．故選：．8．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，繞點(diǎn)順時(shí)